Cập nhật nội dung chi tiết về Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
1. Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x, y ∈ D.
* Lưu ý: Từ định lý trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau:
¤ Bài toán yêu cầu giải PT: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa PT về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) (với u = (x) và v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến):
– Nếu là PT: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất.
– Nếu là PT: f(u) = f(v) thì ta có ngay u = v giải PT này ta tìm được nghiệm
¤ Định lý này cũng được áp dụng cho bài toán chứng minh PT có nghiệm duy nhất.
2. Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn 1.
* Lưu ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) = g(x) trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình.
⇒ f(x) là hàm đồng biến
– Mặt khác f(1) = 1 2019 + 1 = 2 nên theo định lý 1 và 3: x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
* Nhận xét: Với bài toán này các em thấy không phải dạng quen thuộc và số mũ khá lớn nên cần nghĩ đến việc ứng dụng hàm số để giải, và các em thấy việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nhiều.
b) Điều kiện x ≥ 1 và ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình.
⇒ f(x) là hàm đồng biến
* Nhận xét: – Với bài toán này nếu vận dụng phương pháp giải phương trình căn thức thì phép biến đổi và điều kiện khá phức tạp và gây khó khăn hơn việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
– Mặt khác, ta thấy f(1) = 4 nên theo định lý 1 và 3, x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình.
⇒ f(x) là hàm đồng biến trên D
– Mặt khác, ta thấy f(1) = 3 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
– Mặt khác, ta có: f(1) = 4 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
⇒ f(t) là hàm đồng biến. nên theo định lý 2 ta có:
– Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -1/2.
– Để ý các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
(2x 2 + 4x + 5) – (x 2 + x + 3) = x 2 + 3x + 2. nên ta có phương trình ban đầu trở thành:
⇒ f(t) là hàm đồng biến.
– Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = -2. Tức tập nghiệm S = {-1;-2}.
– Chia 2 vế của pt (1) cho 5 x ta được:
– Mặt khác, ta có f(2) = 1 nên x = 2 là nghiệm duy nhất.
* Nhận xét: Với bài toán này rất khó để ta sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ để giải. Tuy nhiên khi ứng dụng hàm số để giải sẽ dễ dàng hơn.
– Đối chiếu điều kiện t = -1 < 0 (loại)
– Với t = 5 – 2x ⇔ 3 x = 5 – 2x ⇔ 3 x + 2x – 5 = 0
⇒ f(x) là hàm đồng biến
– Mặt khác, f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
⇒ f(x) là hàm số nghịch biến và f(1) = 6.
– Đặt log 7x = t ⇔ x = 7 t bất phương trình đã cho trở thành:
⇒ f(t) là hàm đồng biến trên khoảng [1;3]
– Kết hợp với điều kiện (TXĐ) ta có tập nghiệm là: 2<x≤3.
Bài 1. Giải các phương trình sau sử dụng tính đơn điệu của hàm số
III. Bài tập Ứng dụng hàm số giải phương trình bất phương trình tự làm.
Như vậy, đối với rất nhiều bài toán giải phương trình và bất phương trình mà nếu ta áp dụng giải theo các phương pháp đã biết (như phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ,…) thì sẽ rất khó để giải quyết bài toán, tuy nhiên nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì bài toán trở lên dễ dàng hơn rất nhiều.
Hy vọng qua bài viết trên, các em đã có thể rèn được kỹ năng giải toán và nhận dạng được một số bài toán giải phương trình và bất phương trình sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Đạo Hàm Và Bài Toán Giải Phương Trình, Bất Phương Trình Lượng Giác
Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác
A. Phương pháp giải
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình
+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f’ ( x)=0?
Hướng dẫn giải
+ Ta có đạo hàm: f,m ‘ (x)=2cos2x
+ Để f’ ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0
A. x≠π/6+kπ B. x≠π/6+k2π C. x≠π/3+kπ D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ
+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:
Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y’=0
Hướng dẫn giải
Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y’=0
Hướng dẫn giải
Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos( 2x- π/3). Giải phương trình y’=4
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số đã cho :
Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y’= 0
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số là : y’=1+2cos2x
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có đạo hàm: y’=3+2sin2x
Với mọi x ta luôn có: – 1 ≤sin2x ≤1 ⇔ – 2 ≤2sin2x ≤2
⇔ ≤3+2sin2x ≤5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.
Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số y=x 3+ 3x+ sin 3 x. Giải bất phương trình y’ ≥0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y’=3x 2+ 3+ 3sin 2 x. cosx
Với mọi x ta có; cosx ≥ – 1 ⇒ 3sin 2 x.cosx ≥ – chúng tôi 2 x
⇒ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ 3- chúng tôi 2 x ⇔ 3+ 3sin 2x.cosx ≥ chúng tôi 2 x ( 1)
Lại có 3x 2 ≥0 ∀ x (2)
Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:
Vậy với mọi x ta luôn có: y’ ≥0
Chọn C.
Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y’=0 có nghiệm là:
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot 2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y’=0 là:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11. Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y’= 0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm : y’= -6 sin3x-6cos2x
Để y’= 0 thì – 6 sin 3x – 6 cos2x= 0
⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= – cos2x
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f’ ( x)=0?
Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx – 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y’=0
Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y’=0
Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos( 4x- π/6). Giải phương trình y’=1
Hiển thị lời giải
Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y’= 2
A. x=π/3+kπ B. x=π/6+kπ C. x=kπ/2 D. x=kπ
Câu 7: Cho hàm số y= x 3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^’ ≤0
Hiển thị lời giải
Ta có đạo hàm: y’=3x 2+3+3cos3x
⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)
Chọn B. .
Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin 2 x. Giải bất phương trình y’≥0
Hiển thị lời giải
Điều kiện: x ≥0
Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2
Hiển thị lời giải
Câu 10: Cho hàm số y= tan( x 3 + 3x 2+ 3x+ 9). Giải phương trình y’=0?
A. x= 0 B. x = 2 C. x= -1 D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Điều kiện cos( x 3+3x 2+3x+9)≠0
Chọn C.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Chuyên Đề Giải Phương Trình Và Hệ Phương Trình Bằng Phương Pháp Hàm Số
Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 1 SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ----------------------------------- CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ NGƯỜI VIẾT : LÊ HỒNG KHÔI TỔ CHUYÊN MÔN : TOÁN LẬP THẠCH – THÁNG 10 NĂM 2015 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 2 LỜI NÓI ĐẦU Năm học 2015 – 2016 Bộ Giáo dục và Đào tạo tiếp tục tổ chức kì thi THPT quốc gia nhằm cả hai mục đích là xét tốt nghiệp và tuyển sinh ĐH – CĐ. Đề thi cũng phải đảm bảo hai mục đích đó, đề thi sẽ có khoảng 60% ở mức độ cơ bản và khoảng 40% ở mức độ phân hóa học sinh, trong 40% mức độ phân hóa học sinh thì đề thi thường xuất hiện câu giải phương trình hoặc hệ phương trình mà phương pháp giải có sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số. Kết quả kì thi THPT Quốc gia năm học 2014 – 2015 cho thấy số những thí sinh nào làm được nhiều phần phân hóa học sinh thì cơ hội để xét tuyển vào các trường ĐH – CĐ tốp trên sẽ cao hơn. Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải toán và có cơ hội đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, tôi đã viết chuyên đề “Giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”, đây là quá trình tích lũy kinh nghiệm của bản thân và sự giúp đỡ của đồng nghiệp. Hy vọng chuyên đề này là tài liệu giảng dạy và học tập hữu ích cho giáo viên và học sinh. Chuyên đề này tùy theo từng đơn vị và đối tượng học sinh, giáo viên có thể dạy trong 3 đến 6 tiết đồng thời chọn lọc những ví dụ phù hợp. Trong quá trình viết chuyên đề khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đồng nghiệp và học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề được áp dụng rộng rãi. Xin chân thành cảm ơn ! Người viết chuyên đề : LÊ HỒNG KHÔI Giáo viên Trường THPT Liễn Sơn – Lập Thạch – Vĩnh Phúc Chức vụ : Tổ trưởng tổ Toán Điện Thoại : 0983.020.234 Mail : lehongkhoi.gvlienson@vinhphuc.edu.vn Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 3 PHẦN I. PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT I. Một số tính chất 1. Tính chất 1. Nếu y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên ;a b thì phương trình 0f x có nhiều nhất một nghiệm ;x a b 2. Tính chất 2. Nếu ' 0f x có n nghiệm ;x a b thì phương trình 0f x có nhiều nhất 1n nghiệm ;x a b 3. Tính chất 3. Nếu 0 ;nf x x a b hoặc 0 ;nf x x a b thì phương trình 0f x có nhiều nhất n nghiệm ;x a b 4. Tính chất 4. Nếu y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên ;a b thì , ;f u f v u v u v a b Lưu ý : Có thể thay ;a b bằng ; , ; , ;a b a b a b II. Phương pháp 1. Phương trình có nghiệm duy nhất a. Dấu hiệu : Phương trình cần giải là phương trình không mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải được hoặc giải phức tạp b. Thuật toán - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình về dạng 0f x - Chứng minh y f x luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên ;a b ( ;a b là miền xác định của phương trình) - Nhẩm 1 nghiệm 0x x của phương trình (Có thể sử dụng MTCT – lệnh “SHIFT+SOLVE”) - Kết luận : Phương trình có nghiệm duy nhất 0x x 2. Phương trình có tối đa n nghiệm (thông thường 2 hoặc 3 nghiệm) a. Dấu hiệu : Phương trình cần giải là phương trình không mẫu mực, phức tạp mà phương pháp thông thường không giải được hoặc giải phức tạp b. Thuật toán - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình về dạng 0f x - Chỉ ra 0 ;nf x x a b hoặc 0 ;nf x x a b ( ;a b là miền xác định của phương trình) - Nhẩm n nghiệm của phương trình Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 4 - Kết luận : Phương trình có đúng n nghiệm nhẩm được 3. Xét hàm đặc trưng a. Dấu hiệu : Phương trình cần giải có thể đưa về phương trình đồng bậc b. Thuật toán - Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo) - Biến đổi phương trình về phương trình đồng bậc - Cố định một vế (vế đơn giản hơn), suy ra hàm đặc trưng f t - Biến đổi vế còn lại theo quy luật của hàm đặc trưng, ta được phương trình f u f v - Chỉ ra hàm đặc trưng luôn đồng biến hay nghịch biến trên miền giá trị của ,u v - Giải phương trình f u f v u v - Kết luận Ví dụ minh họa: Giải phương trình : 3 23 4 2 3 2 3 1x x x x x (*) Phân tích : - Đặt 3 1u x thì VP(*) là biểu thức bậc 3 ẩn u , như thế 2 vế của (*) là đồng bậc - Cố định VP(*) = 2 33 2 3 1 1x x u u u u , Suy ra hàm đặc trưng 3f t t t -VT(*) 3v v , VT(*) là biểu thức bậc 3 ẩn x , cùng bậc với bậc của hàm đặc trưng, suy ra v ax b , khi đó 3 3 2 3 3 2 2 2 3 3 4 2 1 3 3 3 4 2 0 ax b ax b x x x a x a b x ab a x b 3 2 2 3 1 0 3 3 0 1 13 4 0 2 0 a a b a bab a b b 1v x Phương trình (1) trở thành 3 3v v u u Lưu ý : Có thể tìm hàm đặc trưng nhờ MTCT : Cho một vài giá trị của x, tính y rồi tìm mối quan hệ của x và y Lời giải : ĐK : 1 3 x (*) 333 23 4 2 3 2 3 1 1 1 3 1 3 1x x x x x x x x x Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 5 Xét hàm số 3 ,f t t t t Ta có : ' 23 1 0f t t t , suy ra f t đồng biến trên Khi đó : (1) 1 3 1 1 3 1f x f x x x 2 2 1 3 1x x x (do 1 3 x nên 1 0x ) 2 0 0 1 x x x x Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm là : 0, 1x x . Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 6 B. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải phương trình : 5 3 1 3 4 0x x x (1) Giải : ĐK : 1 3 x Xét hàm số 5 3 1 1 3 4, 3 f x x x x x Hàm số trên liên tục trên 1 ; 3 Ta có : ' 4 2 3 1 5 3 0 ; 32 1 3 f x x x x x Suy ra f x đồng biến trên 1; 3 Suy ra phương trình 0f x (Phương trình (1)) có nhiều nhất 1 nghiệm 1 3 x Mặt khác 1 0f , tức 1x là một nghiệm của phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1x . Chú ý : Có thể nhẩm nghiệm 1x trên máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” Ví dụ 2: Giải phương trình : 22 1 3 4x x x (1) Giải : ĐK : 2 1 0 1 4 4 0 2 x x x (2) 22 1 3 4 0x x x Xét hàm số 2 1 2 1 3 4, ;4 2 f x x x x x Hàm số trên liên tục trên 1 ;4 2 Ta có : ' 3 1 1 1 0 ;4 22 1 3 x f x x x x Suy ra f x đồng biến trên 1 ;4 2 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 7 Suy ra phương trình 0f x (Phương trình (1)) có nhiều nhất 1 nghiệm 1 ;4 2 x Mặt khác 1 0f , tức 1x là một nghiệm của phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1x . Chú ý : - ĐK :2 1 0x là điều kiện thông thường ĐK : 4 0x là điều kiện kéo theo (Phương trình này có thể bỏ qua) - Có thể nhẩm nghiệm 1x trên máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE” Ví dụ 3: Giải phương trình : 2 215 3 2 8x x x (1) Giải : Ta có : (1) 2 215 8 3 2x x x Do 2 215 8 0x x nên 2 3 2 0 3 x x Xét hàm số 2 2 2 15 8 3 2, 3 f x x x x x Ta có : 2 2 ' 2 2 2 2 8 15 2 3 3 0 315 8 15 8 x x xx x f x x x x x x Suy ra f x nghịch biến trên 2 ; 3 Suy ra phương trình 0f x (Phương trình (1)) có nhiều nhất 1 nghiệm 2 ; 3 x Mặt khác 1 0f , tức 1x là một nghiệm của phương trình (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1x . Chú ý : ĐK : 3 2 0x là điều kiện kéo theo (Phương trình này bắt buộc phải tìm) Ví dụ 4: Giải phương trình : 22 3 4 3 5 9 6 13x x x x (1) Giải : ĐK : 4 3 x Xét hàm số 2 4 2 3 4 3 5 9 6 13, 3 f x x x x x x Hàm số trên liên tục trên 4 ; 3 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 8 Ta có : ' 3 15 2 6 3 4 2 5 9 f x x x x '' 9 75 42 0 32 3 4 3 4 4 5 9 5 9 f x x x x x x Suy ra 'f x nghịch biến trên 4 ; 3 Suy ra phương trình ' 0f x có nhiều nhất 1 nghiệm 4 3 x Suy ra phương trình 0f x (Phương trình (1)) có nhiều nhất 2 nghiệm 4 3 x Mặt khác 0 1 0f f , tức 0, 1x x là các nghiệm của (1) Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là : 0, 1x x Ví dụ 5: Giải phương trình : 2 3 3 7 4 3 0x x x x (1) Giải : ĐK : 4 3 x (1) 3 3 33 4 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3x x x x x x x x Xét hàm số 3 3 ,f t t t t Ta có : ' 23 3 0f t t t , suy ra f t đồng biến trên Khi đó : (1) 4 3 4 3f x f x x x 2 24 3 3 4 0 1 0 0 x x x x x tm x x Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1x . Ví dụ 6: Giải phương trình : 3 31 2 2 1x x (1) Giải : (1) 3 3 33 3 32 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x Xét hàm số 3 2 ,f t t t t Ta có : ' 23 2 0f t t t , suy ra f t đồng biến trên Khi đó : (1) 33 32 1 2 1 2 1 0f x f x x x x x Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 9 1 1 5 2 x x Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm là : 1 5 1, 2 x x . Ví dụ 7: Giải phương trình : 2 22 1 2 1 2 3 0x x x x x x (1) Giải : (1) 22 2 1 1 1 2 0x x x x x x 2 2 1 1 1 2 2x x x x x x Xét hàm số 2 2 ,f t t t t t Ta có : 2 ' 2 2 1 2 0 2 t f t t t t , suy ra f t đồng biến trên Khi đó : (1) 1 1 1 2 f x f x x x x Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1 2 x . Ví dụ 8: Giải phương trình : 2 23 2 9 3 4 2 1 1 0x x x x x (1) Giải : (1) 2 22. 3 3 . 3 3 2 1 2 1 3 2 0x x x x x 2 2 2. 2 1 2 1 . 2 1 3 2. 3 3 . 3 3x x x x x x Xét hàm số 22 3 ,f t t t t t Ta có : 2 ' 2 2 2 3 0 3 t f t t t t , suy ra f t đồng biến trên Khi đó : (1) 1 2 1 3 2 1 3 5 f x f x x x x Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1 5 x . Ví dụ 9: Giải phương trình : 2 2 9 . 3 1 3 2 1 3 1 x x x x x (1) Giải : Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 10 ĐK : 1 3 x Nhận xét : 0x không là nghiệm của (1) Với 0x thì 1 3 1 0x 2 2 2 3 2 9 . 3 1 1 3 1 1 3 2 3 3 2 3 1 3 2 2 3 1 x x x x x x x x x x x x 3 2 33 3 4 2 3 2 3 1 1 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x Xét hàm số 3 ,f t t t t Ta có : ' 23 1 0f t t t , suy ra f t đồng biến trên Khi đó : (1) 1 3 1 1 3 1f x f x x x 2 2 1 3 1x x x (do 1 3 x nên 1 0x ) 2 0 1x x x (do 0x ) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất : 1x . Ví dụ 10: Giải phương trình : 2 2 2 8 1 2 2 2 3 x x x x x x (1) Giải : ĐK : 2x (1) 2 2 2 4 1 2 4 1 2 0 2 3 2 32 2 2 2 x x x x x x x x x x xx x 2 2 4 1 * 2 3 2 2 x tm x x x x x 22* 4 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2x x x x x x x x x 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1x x x x x x Xét hàm số 3 22 2 ,f t t t t t Ta có : ' 23 4 2 0f t t t t , suy ra f t đồng biến trên Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 11 Khi đó : (*) 2 1 2 1f x f x x x 2 2 3 132 2 1 3 1 0 3 13 2 21 0 1 1 x x x x x x x tm x x x Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là : 3 13 2, 2 x x . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình : 5 31. 1 3 4 0x x x 3 2. 2 3 1 3 2 2 x x x 6 8 3. 3 14 3 2x x 34. 4 2 7 2 3 0x x x x 35. 4 1 2 1 0x x x x 26. 8 2 6 5 0x x x x 3 2 37. 15 78 141 5 2 9x x x x 8. 3 1 3 1 2 0x x x x x 2 1 19. 3 18 24 2 5 1 x x x x 311. 3 5 16. 3 5 2 x x x 2 21 112. 4 2 1x x x 13. 4 5 7 2x x x 2 314. log 1 logx x 2 2 3 2 3 15. log 7 21 14 2 4 5 x x x x x x Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 12 PHẦN II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. LÝ THUYẾT I. Một số tính chất 1. Tính chất 1. Nếu y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên ;a b thì phương trình 0f x có nhiều nhất một nghiệm ;x a b 2. Tính chất 2. Nếu ' 0f x có n nghiệm ;x a b thì phương trình 0f x có nhiều nhất 1n nghiệm ;x a b 3. Tính chất 3. Nếu 0 ;nf x x a b hoặc 0 ;nf x x a b thì phương trình 0f x có nhiều nhất n nghiệm ;x a b 4. Tính chất 4. Nếu y f x đồng biến hoặc nghịch biến trên ;a b thì , ;f u f v u v u v a b Lưu ý : Có thể thay ;a b bằng ; , ; , ;a b a b a b II. Phương pháp 1. Dấu hiệu : Một trong hai phương trình của hệ có thể đưa về phương trình đồng bậc (các đại lượng trong phương trình đó có cấu trúc tương đối giống nhau) 2. Thuật toán Bước 1: Tìm điều kiện - Điều kiện thông thường - Điều kiện kéo theo Bước 2: Biến đổi phương trình có cấu trúc tương đối giống nhau về phương trình đồng bậc (Đặt ẩn phụ, chia 2 vế cho một biểu thức nào đó, ) Bước 3: Biến đổi phương trình đồng bậc ở bước 2 về dạng f u f v bằng cách - Cố định 1 vế, cố định u, suy ra hàm đặc trưng f t - Biến đổi vế còn lại theo hàm đặc trưng, suy ra v (có thể sử dụng phương pháp đồng nhất) Bước 4: Xét hàm đặc trưng, chứng minh nó luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên miền D (D là miền giá trị của u, v), từ đó ta được u v Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 13 x theo y hoặc y theo x , thế vào phương trình còn lại tìm nghiệm của nó và suy ra nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ minh họa : Giải hệ phương trình : 3 2 3 2 2 2 3 9 22 3 9 1 1 2 2 x x x y y y x y x y Phân tích : * Dấu hiệu : Phương trình 1 của hệ là phương trình đồng bậc * Tìm điều kiện - Điều kiện thông thường : Không có - Điều kiện kéo theo + Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn x 2 22 2 2 2 2 1 0x x y y Điều kiện có nghiệm x là ' 2 2 3 1 1 2 2 2 1 4 4 3 0 2 2 y y y y y + Coi phương trình (2) là phương trình ẩn y 2 22 2 2 2 2 1 0y y x x , điều kiện có nghiệm y là ' 2 21 2 2 2 1 4 4 3 0 1 3 2 2 x x x x x * Biến đổi phương trình (1) về dạng f u f v 3 2 3 21 3 9 3 9 22x x x y y y - Cố định VT, cố định u x VT 3 23 9f u u u u Hàm đặc trưng 3 23 9f t t t t - VP 3 23 9f v v v v , do VP là biểu thức bậc 3 ẩn y (cùng bậc hàm đặc trưng) v ay b , ta được 3 2 3 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 9 3 9 22 3 3 3 6 3 9 9 3 9 22 1 3 3 3 3 6 9 9 3 9 22 0 1 0 3 3 3 0 1 3 6 9 9 0 2 2 3 9 22 ay b ay b ay b y y y a y a by ab y b a y aby b ay b y y y a y a b a y ab ab a y b b b a a b a a ab ab a v y b b b b 0 Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 14 Như vậy : 3 23 21 3 9 2 3 2 9 2x x x y y y Lưu ý : Có thể tìm hàm đặc trưng nhờ MTCT * Xét hàm đặc trưng 3 23 9f t t t t Do 1 3 1 3 ; ; 2 2 2 2 1 5 ; 2 23 1 1 5 ; 2 ; 2 2 2 2 x u x t y v y Ta có : ' 2 1 5 3 6 9 0 1;3 ; 2 2 f t t t x Suy ra f t nghịch biến trên 1 5; 2 2 * 1 2 2 2f x f y x y y x thay vào (2) rút gọn được phương trình 2 3 1 3 2 2 2 4 0 1 32 2 2 x y x x tm x y . Kết luận : 3 1 1 3 ; ; , ; ; 2 2 2 2 x y x y Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 15 B. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 3 4 2 0 1 1 2 1 2 x y x x y x y y Giải : ĐK : 1 1 0 2 x y 33 2 3 31 3 3 1 1 1 1x x x x y y x x y y Xét hàm số 3 ,f t t t t Ta có : ' 23 1 0f t t t , suy ra f t đồng biến trên Do đó : 1 1 1f x f y x y Thay 1y x vào 2 được phương trình 21 1 1 1x x x 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 x x x x x x x y tm x Kết luận : Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ; 0;1x y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 3 3 2 3 3 4 2 0 1 3 2 2 2 x y y x y x x x y Giải : ĐK : 2x 33 3 2 31 3 4 2 1 1x x y y y x x y y Xét hàm số 3 ,f t t t t Ta có : ' 23 1 0f t t t , suy ra f t đồng biến trên Lê Hồng Khôi Trường THPT Liễn Sơn Luyện thi THPT quốc gia Trang 16 Do đó : 1 1 1 1f x f y x y y x Thay 1y x vào 2 được phương trình 3 33 2 2 1 8 2 2 2x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 2 2 4 0 2 2 2 2 2 2 2 3 0 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x x y tm x (Do 2 22 3 0 2 2 2 x x x x x ) Kết luận : Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ; 2;3x y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : 3 2 3 2 3 2 2 3 2 1 3 1 3 3 2 2 x x x y y y y x x y Giải : ĐK : 3 1 3 x y 3 2 2 3 2 3 2 3 2 1 3 3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 x x x x x x y y y x x x y y y Xét hàm số 3 22 3 ,f t t t t t Ta có : ' 23 4 3 0f t t t t , suy ra f t đồng biến trên Do đó : 1 1 1f x f y x y , do 1 2 3 3 y x Thay 1y x vào 2 được phương trình 33 2 3 3 1x x x x 3 2 2 2 3 2 1 3 1 3 4 3 1 1 1 4 3 2 1 3 1 3 1 1 4 0 3 2 1 3 1 3 3 2 3 1 1 0 3 2 1 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Căn Thức
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Phương trình, bất phương trình chứa căn thức là một phần quan trọng của môn Đại số ở bậc phổ thông. Đây cũng là dạng toán khiến các bạn học sinh gặp khó khăn vì dạng bài tập phong phú, đòi hỏi nhiều kỹ năng tính toán và biến đổi. Chúng tôi xin giới thiệu Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức để giúp các bạn học sinh cơ bản nắm được cách giải quyết các bài toán dạng này. I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức. 1. Phương trình a) b) Vd1: Giải phương trình sau: Hướng dẫn: Nhận xét: Phương trình có dạng nên ta giải như sau Ta có Vậy Vd2: Giải phương trình: Hướng dẫn: Ta có Vậy 2. Bất phương trình a) b) Vd3: Giải các bất phương trình sau: a) b) , Hướng dẫn Ta có : Vậy tập nghiệm b)Ta có Giải (1) Giải (2) Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là II. CÁC PHƯƠNG PHÁP 1. Phương pháp bình phương liên tiếp Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu) Vd1: Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện Với điều kiện trên ta có Vậy Vd2: Giải bất phương trình Hướng dẫn Điều kiện Với điều kiện trên ta có Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu. Chú ý: Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại. Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt , đưa phương trình, bất phương trình theo biến về phương trình bất phương trình theo biến (Chú ý đặt điều kiện cho biến (nếu có)). Vd1: Giải phương trình Nhận xét: Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng , và đây là biểu thức chung, chú ý rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn , để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt Ta giải bài toán này như sau: Đặt điều kiện . Khi đó . Phương trình trở thành Với ta có Vậy Vd2: Giải bất phương trình Hướng dẫn: Ta có: Đặt điều kiện . Khi đó bất phương trình trở thành: Kết hợp với điều kiện ta có (1) Với ta có: Với (3) Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là Vd3: Giải bất phương trình: Hướng dẫn: Đặt , điều kiện , suy ra Bất phương trình trở thành: Với ta có Vậy tập nghiệm của bất phương trình là Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức trong đó là hằng số. Khi đó đặt , suy ra . Đưa phương trình bất phương trình về ẩn . Vd4: Giải phương trình: Hướng dẫn: Điều kiện Đặt (điều kiện ). Suy ra Khi đó phương trình trở thành: Với ta có: Vậy tập nghiệm của phương trình là Vd5: Giải bất phương trình: Hướng dẫn Điều kiện Đặt (điều kiện ). Suy ra Bất phương trình trở thành Với ta có Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là Dạng 3. Các phương trình có dạng . Khi đó đặt (xét ) Hoặc đặt . Tính theo . Vd6: Giải phương trình Hướng dẫn Điều kiện Đặt điều kiện Khi đó phương trình trở thành Với ta có Với ta có Vậy tập nghiệm của bất phương trình là Vd7: Giải bất phương trình Hướng dẫn Điều kiện Ta thấy là nghiệm của bất phương trình. Xét , chia hai vế của bất phương trình cho ta có Đặt (Điều kiện ). Khi đó bất phương trình trở thành Với ta có Vậy tập nghiệm của bất phương trình là Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Vd8: Giải phương trình: Hướng dẫn Đặt Khi đó ta có hệ Lấy (1) trừ (2) ta có: (Vì ) Với ta có Vậy phương trình có 3 nghiệm Vd9: Giải phương trình: Hướng dẫn Đặt: Ta có hệ: , sau đó thay vào ta có: Vd10: Giải phương trình: Hướng dẫn Đặt: trở thành Ta có hệ: Thay vào : Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: Vậy Chú ý: Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại. Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng. 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Vd11: Giải phương trình Hướng dẫn Đặt: Dấu xảy ra Mặt khác: , dấu xảy ra Vậy 4. Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số Vd12: Tìm để phương trình sau có nghiệm: Hướng dẫn Điều kiện: Đặt Ta có: và Bảng biến thiên: x t’ + 0 – t 3 3 Xét Bảng biến thiên: 3 – 3 Vậy thì phương trình có nghiệm. BÀI TẬP ÁP DỤNG I. Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) II. Giải bất phương trình 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) III. Tìm để: 1) có nghiệm.. 2) có hai nghiệm. 3) có nghiệm chứa . 4) có nghiệm. 5) có 2 nghiệm phân biệt. IV. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học gần đây 1) (D – 2002) Giải bất phương trình 2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11) 3) (B – 2004) Xác định để phương trình sau có nghiệm: Đs: 4) (A – 2005) Giải bất phương trình Đs: 5) (D – 2005) Giải phương trình: Đs: 6) (B – 2006) Tìm để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt Đs: 7) (D – 2006) Giải phương trình Đs: 8) (A – 2007) Tìm để phương trình sau có nghiệm thực Đs: 9) (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: Đs: 10) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt Đs: V. Các bài trong các đề thi dự bị đại học 1) Giải phương trình (Dự bị B – 2006) Đs: 2) Giải phương trình Đs: 3) Tìm để bất phương trình có nghiệm (Dự bị A – 2007) Đs: 4) Tìm để phương trình có nghiệm (Dự bị B – 2007) 5) Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm. (Dự bị D – 2007) Đs: 6) Tìm để phương trình sau có đúng một nghiệm thực. (Dự bị A – 2007) Đs:
Bạn đang đọc nội dung bài viết Ứng Dụng Hàm Số (Sử Dụng Tính Đơn Điệu) Giải Phương Trình, Bất Phương Trình trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!