Top 7 # Xem Nhiều Nhất Cách Vẽ Hình Phép Quay Mới Nhất 5/2023 # Top Like

Published on

www.toanhocdanang.com Phone: 0935334225 https://www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

1. HÌNH HỌC 11 GV: PHAN NHẬT NAM PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ AI(-1; 0) O D(1; 0)  1;C x y  ;B x y x y

2. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi PHÉP QUAY A. Cơ sở lí thuyết : 1. Định nghĩa :Ký hiệu  IQ là phép quay tâm I với góc quay  .    , ‘ ! ‘ ( , ‘) I IM IM Q M M góc LG IM IM            Ký hiệu : ‘)( MMQI   Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm quay (điểm cố định ) và góc quay (góc không đổi)  Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lương giác. Nhận xét :Cho phép quay  IQ  Nếu  2k thì phép quay  IQ là một phép đồng nhất  Nếu  )12(  k thì phép quay  IQ là một phép đối xứng tâm. 2. Biểu thức tọa độ :: Cho điểm O(0 ; 0) và góc  . Khi đó ta có phép quay  IQ :  IQ : M(x ; y) M'(x’ ; y’) Khi đó tọa độ của ảnh M’ được xác định theo công thức        cossin’ sincos’ yxy yxx 3. Tính chất của phép quay :  Định lý : Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (phép quay là phép dời hình)  Hệ quả : i. Phép quay biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng. ii. Phép quay biến :  Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.  Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.  Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm đường tròn gốc}. B. Các dạng toán thường gặp : I. Bài toán 1 : Cho góc  cố định và điểm A(x, y) tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O(gốc tọa độ) và góc quay  Cách giải :  Gọi : ),(1 OxtiaOA và ),'(2 OxtiaOA  Khi đó ta có : ( ; )A x y ‘( ‘, ‘)A x y x y O 1 2 

3. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi  y x x y  11 cot,tan                  1 1 1 1 sin cos sin. cos.     y OA x OA OAy OAx và                2 2 2 2 sin ‘ ‘ cos ‘ ‘ sin’.’ cos’.’     y OA x OA OAy OAx                                1 1 1 1 11 1112 sin )sin( ‘ cos )cos( ‘ sin)sin( ‘ cos)cos( ‘ ‘ ‘)(       yy xx xy xx OAOA AAQI                    cossin’ sincos’ )cossin(‘ )sin(cos’ yxy yxx y x yy x y xx  Vậy )cossin;sincos(”)(  yxyxAAAQI  Chú ý : với tâm quay là điểm tùy ý I(a, b)  O Ta có thể đưa về bài toán trên bằng cách thực hiện phép dời trục : Oxy IXY công thức tọa độ của phep dời trục      byY axX II. Bài toán 2 :Cho điểm điểm I(a ; b) , góc  và hình (H) có phương trình 0),( yxf tìm phương trình ảnh (H’) của hình (H) qua phép quay  IQ : Phương pháp :  Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .  Gọi M'(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép quay tâm I góc quay  . Sử dụng bài toán 1 để tìm tọa độ M theo x’ , y’ và a, b ,   0)’;'()(  yxgHM  (H’) là ảnh của (H) qua phép quay  IQ  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’ 0);(‘:)'(  yxfH ĐB : i. Nếu (H) là đường thẳng ta có thể thực hiện như sau.  Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (H) .  Sử dụng bài toán 1 ta có tọa độ của )cossin;sincos(‘ 0000  yxyxM  và )cossin;sincos(‘ 1111  yxyxM  là ảnh của M và N qua phép quay  IQ

4. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 chúng tôi  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’     cos)(sin)( )cossin( sin)(cos)( )sincos( :)'( 1101 00 0101 00 yyxx yxy yyxx yxx d         ‘)( AAQI  ii. Nếu (H) là đường tròn ta có thể thực hiện như sau.  Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (H).  Sử dụng bài toán 1 ta có tâm )cossin;sincos(‘ 0000  yxyxO  là ảnh của O qua phép quay  IQ .  Đường tròn (C’) {là ảnh của (C) qua phép phép quay  IQ } có tâm là )cossin;sincos(‘ 0000  yxyxO  và bán kính R     22 00 2 00 )cossin()sincos(:)'( RyxyyxxC   III. Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình : Phương pháp :  Từ giả thuyết chọn một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm quay và tìm một góc  không đổi để làm làm góc quay.  Thực hiện phép quay  IQ vừa tìm ở trên.  Dùng tính chất của phép quay  IQ để chứng minh các yếu tố hình học hoặc xác định các tính chất của hình. IV. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)  Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho       )(, constIMIE IMIE  .  Xác định hình (H) là quỷ tích của E.  Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) – ảnh của (H) qua phép quay  IQ . V. Dựng hình :  (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và điểm I cố định cho trước sao cho khi thực hiện phép quay  IQ ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng.  Thực hiện các phép quay  IQ để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng . VI. Chứng tỏ một phép biến hình f là phép quay  IQ .  Từ giả thuyết tìm điểm I cố định và góc  không đổi .  Chứng tỏ với mọi điểm M qua phép biến hình f cho ra M’ thì ta đều có       ’, ‘ IMIM IMIM

5. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi C. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1:Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x; y). Tìm M’ là ảnh của M qua phép quay ( , )OQ  Áp dụng : a. Tìm M’ là ảnh của M(2; 2) qua phép quay 0 ( ,45 )O Q b. Tìm ảnh của đường tròn   2 2 ( ): 1 4C x y   qua phép quay 0 ( ,60 )O Q HD:Đặt : 2 2 r OM x y   , góc lượng giác ,Ox OM  . Khi đó ta có: cos sin x r y r      ( , ) : ‘( ‘; ‘)OQ M M x y  có ‘ ‘ cos( ) cos sin ( , ‘) ‘ sin( ) sin cos OM OM r x r x y Ox OM x r x y                           Vậy điểm cần tìm là: ‘( cos sin ; sin cos )M x y x y     a. Ta có: 2 2r OM  , Gọi  ,Ox OM  khi đó (2 2 cos ; 2 2sin )M   0 ( ,45 ) : ‘( ‘; ‘)O Q M M x y có 0 0 0 0 0 0 0 ‘ cos( 45 ) cos45 sin 45 0’ ( , ‘) 45 ‘ sin( 45 ) sin 45 cos45 2 2 M M M M x r x yOM OM r Ox OM x r x y                      Vậy    0 ( ,45 ) (2 ; 2) ‘ 0; 2 2O Q M M b. (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 2 . Tương tự như trên ta có: 0 ( ,60 ) ‘O Q I I 0 0 ‘ 0 0 ‘ 1 cos60 sin60 1 32 ‘ ; 2 23 sin60 cos60 2 I I I I I I x x y I y x y                   Gọi  0 ( ,60 ) ( ‘) ( )O C Q C  (C’) có tâm I’ bà bán kính R = 2 22 1 3 ( ‘): 4 2 2 C x y                Ví dụ 2:( Bài 34 – tr10 – BTHH11NC) Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a? Hướng Dẩn giải: Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc 0 120AGC AGB    . Như vậy phép quay tâm G với góc quay 0 120  biến A thành C và biến A thành B . Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d

6. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 chúng tôi qua phép quay  0 ,120G Q . Ví dụ 3:( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh OCD là tam giác đều ? Hướng Dẩn giải: Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)= 0 60 . Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ . Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì góc quay bằng 0 60 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều . Ví dụ 4: ( Bài 43-tr11-BTHH11NC) Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ . a. Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn đi qua một điểm cố định . b. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân Hướng Dẩn giải: a. Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ : Cho hai điểm A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng góc quay thì phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh góc vuông của tam giác vuông cân OAB (O là tâm đối xứng). Như vậy :    , , : :A B Q C N Q C Q NQ    đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng cách dựng tam giác vuông cân HAB b. Tương tự như trên : ‘: ; :O OQ C B Q C A AB   đi qua tâm đối xứng I được xác định bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI là tam giác vuông cân Bài tập áp dụng:

7. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 chúng tôi Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O và góc quay 900 . ĐS: ‘: 2 1 0d x y   Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900 . ĐS: A'(- 4 ; 3) Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm phép quay biến điểm A(-1; 5) thành điểm B(5; 1) HD: Ta có: ( 1;5)OA    và (5;1)OB      0 ( ,90 )0 2626 , 90. 0 O OA OBOA OB B Q A OA OBOAOB OA OB                    Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4; 1). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay – 900 . HD: Gọi A'(a, b) ta có: (4 ;1)OA   , ‘ ( ; )OA a b  Vì      0 2 2 2 2 0; 90 ‘ ‘ 14 1 ‘ , ‘ 90 4. ‘ 0 3 4 0O OA OA OA OA aa b A Q A OA OA bOAOA a b                              hay 1 4 a b     (1; 4)N  hay ( 1; 4)N  Thử lại điều kiện   0 , ‘ 90OA OA     ta thấy (1; 4)N  thỏa mãn. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( ):( 3) ( 2) 4C x y    . Tìm (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900 . HD: Gọi I’ là ảnh của I qua  0 ,90O Q . Khi đó ta có    0 ,90 ‘( 2;3)O Q I I  . Do đó 2 2 ( ‘):( 2) ( 3) 4C x y    Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( ):( 2) ( 2 3) 5C x y    . Tìm (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 600 . HD: Gọi I’ là ảnh của I qua  0 ,60O Q . Khi đó ta có    0 ,60 ‘( 2;2 3)O Q I I  . Do đó 2 2 ( ‘):( 2) ( 2 3) 5C x y    Bài 7. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(-2 ; 3), C(0 ; 6), D(4 ; -3) qua phép đối xứng tâm O góc quay  sau: a. 0 90  b) 0 90   c) 0 180  d) 0 60  Bài 8. Tìm ảnh của đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc quay 900 : a. d: 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 Bài 9. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc quay -900 . a. 2 2 ( ):( 1) ( 1) 9C x y    b. 2 2 ( ): ( 2) 4C x y   c. 2 2 ( ): 4 2 4 0C x y x y     d. 2 2 ( ): 2 4 11 0C x y x y     Bài chúng tôi tam giác đều ABC có tâm O . Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay  0 ; 120O Q  .

8. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 chúng tôi HD:    00 ,120 : , 120 O OA OB Q A B OA OB       . Tương tự ta cũng có:  0 ,120 :O Q B C và  0 ,120 :O Q C A Bài 11. Cho hình vuông ABCD có tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của AMN qua phép quay  0 ,90O Q . HD: Gọi M’ , N’ lần lượt là trung điểm của AD và OD ta có:   00 ( ;90 ) : , 90 O OA OD Q A D OA OD       Tương tự 0 ( ;90 ) : ‘O Q M M và 0 ( ;90 ) : ‘O Q N N Bài 12. Cho lục giác đều ABCDEF (ký hiệu các đỉnh theo chiều dương) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp của nó. I là trung điểm AB. a. Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay 0 ( ,120 )O Q b. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay 0 ( ,60 )E Q HD:a.   00 ( ,120 ) : , 120 O OA OC Q A C OA OC       tương tự : 0 ( ,120 ) :O Q B D , 0 ( ,120 ) :O Q F B 0 0 ( ,120 ) ( ,120 ) ( ) :O O CD Q AB Q I J    (với J là trung điểm BD). Do đó :  0 ( ,120 )O CJB Q AIF   b. ĐS:  0 ,60 :E Q AOF CDO   Bài 13. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng. Dựng hai tam giác đều ABE và BCF cùng một phía .Gọi M, N lần lượt là trung điểm AF và CE. Chứng minh rằng BMN là một tam giác đều. HD:    00 , 60 : , 60 B BA BE Q A E BA BE         tương tự :  0 , 60 :B Q F C       0 0 0, 60 , 60 : : , 60B B BM BN Q AF EC Q M N BM BN            BMN là tam giác đều Bài 14. Cho nữa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn đó. Dựng ở phía ngoài của tam giác ABC một hình vuông ABEF. Tìm quỷ tích điểm E. HD: Xét phép quay  0 ,60B Q Bài chúng tôi đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d. Hãy xác định quỷ tích của M sao cho OMN là một tam giác đều. HD: Xét phép quay  0 ,60O Q ,  0 , 60O Q 

9. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 chúng tôi Bài 16. Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R) cắt nhau tại A và B. Từ điểm I cố định kẻ các tuyến IMN với (O), MB và NB cắt (O’) tại M’ và N’. Chứng minh rằng M’N’ luôn đi qua điểm cố định. HD: Đặt:  , ‘AO AO  .  , : ‘A Q I I  I’ cố định mà  , : ‘ ‘A Q MN M N  do đó M’N’ qua I’ cố định Bài 17. Cho hai hình vuông ABCD và BEFG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AG và CE. Chứng minh rằng BMN là một tam giác vuông cân HD: Xét phép quay  0 ,90B Q Bài chúng tôi tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC và H là giao điểm của AM và EF. Chứng minh rằng AH là đường cao của tam giác AEF. HD: Gọi D là điểm đối xứng F qua A và K là trung điểm AE . khi đó ta có:  0 ,90 :A Q M K AM AK  . Để ý AK là đường trung bình của DEF Bài chúng tôi hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Gọi I là tâm của ABCD. Trên cạnh BC lấy BJ = 1. Xác định phép biến hình biến AI  thành BJ  HD: Gọi O là giao điểm của trung trực AB và cung lớn AB .  0 ,45 :O Q AI BJ   Bài 20. Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF. Gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng. a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: DOP là tam giác vuông cân. b. Chứng minh rằng AO PQ và AO = PQ HD: a.  0 ,90 :C Q MB AI b.  0 ,90 😀 Q OA PQ Bài chúng tôi tam giác ABC có các đỉnh kí hiệu theo chiều âm. Dựng phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm của đoạn FH. Chứng minh rằng DF  BP và DF = 2 BP HD: Xét phép quay  0 ,90 :B Q BP BM . Để ý đến BM là đường trung bình của tam giác HDF. Bài 22. Cho tứ giác lồi ABCD. Phía ngoài dựng các tam giác đều ABM và CDP. Phía tring dựng các tam giác đều BCN và ADK. Chứng minh MNPK là hình bình hành. HD:  0 ,60 :B Q MN AC và  0 ,60 😀 Q PK CA MN PK  Lý luận tương tự ta cũng có: MK = PN Bài chúng tôi tam giác ABC. Dựng ở ngoài của tam giác các tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1. Chứng minh AA1, BB1, CC1 đồng quy và có độ dài bằng nhau. HD:Gọi 1 1I AA CC  . 0 1 1( ,60 ) :B Q AA C C 0 0 1 1 1( , ) 60 60AA CC AIC   

10. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 chúng tôi Gọi 1E CC sao cho  0 60 IE IA EIA EIA     đều. khi đó ta có :      0 1 1, 60 : , , , ,A Q B I B C E C  . Mà 1E CC 1I BB  . Do đó AA1, BB1, CC1 đồng quy tại điểm I. Bài 24. Chứng minh các đoạn nối tâm của các hình vuông dựng trên các cạnh của hình bình hành về phía ngoài, hợp thành một hình vuông. HD: Xét phép quay :  0 2 3 1, 90 :I Q I I  ;  0 4 3 1,90 :I Q I I Bài chúng tôi tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi I, M, J lần lượt là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh IMJ là tam giác vuông cân. HD: Xét phép quay :  0 ,90 :A Q EC BF . Để ý MI và MJ lần lượt là các đường trung bình của EBC và FBC Bài 26. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và AM = 1 2 FK. HD: Gọi ( )AD D B . Sau đó xét phép quay 0 ( ,90 )A Q Bài chúng tôi tam giác đều ABC có tâm O. Gọi D, E lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC sao cho AD AE AB  . Chứng minh OD = OE và  0 120DOE  . HD: Xét phép quay  0 ,120O Q . Bài chúng tôi hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. Gọi N là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng : a. CM + CN = EF. b. 2 2 2 1 1 1 CM CN AB   HD: a. CBM CDF CM CF CDN CBE CE CN             khi đó ta có phép quay  0 ,90 :C Q E N và  0 ,90 :C Q M F b. Xét CNF ta có: 2 2 2 1 1 1 CN CF CD   lại có CF = CM và CD = AB  (đpcm) Bài 29. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C, D nằm khác phía so với AB. Chứng minh rằng giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của tam giác ABC. HD: Gọi O là tâm của ACIJ và K thuộc tia đối của tia AH sao cho AK = BC. Khi đó ta dễ dàng chứng minh được    00 ,90 : , 90 O OK OB OAK OCB Q K B OK OB            0 ,90 :O Q KC BI CK BI    . Lý luận tương tự ta cúng có : BK CD

12. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 chúng tôi 4. Tâm vị tự của hai đường tròn : Cho hai đường tròn : C(O,R) và C'(O’,R’) Gọi OM và O’M’ lần lượt là 2 bán kính của (C), (C’) sao cho 2 vectơ ”, MOOM cùng chiều  Nếu IMMOO  ” thì I là tâm của phép vị tự R R IV ‘ {I là tâm vị tự ngoài}  Nếu IMMOO  ” 1 { )(1 MDM O } thì I là tâm của phép vị tự R R IV ‘  {I là tâm vị tự trong}  Nếu ‘OO  : Khi đó R R OV ‘ và R R OV ‘  Đều biến đường tròn (O,R) thành đường tròn (O’,R’) B. Các dạng toán thường gặp : I. Các bài toán tọa độ : 1. Xác định phương trình ảnh d’ của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) và tỷ số k : Phương pháp 1:  Chọn điểm M(x0 ; y0) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vectơ pháp tuyến );( BAn của đường thẳng d.  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M'(x0′ ; y0′) là ảnh của M qua phép vị tự k IV  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến );( BAn 0)'()'(:)'( 00  yyBxxAd Phương pháp 2:  Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M'(x0′ ; y0′) và N'(x1′ ; y1′) là ảnh của M và N qua phép vị tự k IV  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’ ” ‘ ” ‘ :)'( 10 1 10 1 yy yy xx xx d       2. Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép vị tự k IV :  Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (C).  Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O'(x0′ ; y0′) của tâm O qua phép vị tự k IV  Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính Rk :     222 0 2 0 ”:)'( RkyyxxC  3. Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép vị tự k IV :  Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .  Gọi M'(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép vị tự k IV :

13. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 chúng tôi ) ‘ ; ‘ ( ‘ ‘ b k by a k ax M b k by y a k ax x                    0) ‘ ; ‘ ()(      b k by a k ax fHM  (H’) là ảnh của (H) qua phép vị tự k IV  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’ 0);(:)'(      b k by a k ax fH II. Các bài toán hình học cổ điển : 1. Chứng minh các yếu tố hình học :  Từ giả thuyết xác định một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm vị tự, số k không đổi làm tỷ số vị tự.  Xác định một phép vị tự phù hợp theo tâm I và tỷ số k.  Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép vị tự để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác định các tính chất của hình. 2. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)  Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho IEkIM . (I là điểm cố định và k là số không đổi – Tức là có được ba điểm thẳng hàng và biết được tỷ số độ dài của chúng. Trong đó có hai điểm thay đổi và một điểm cố định).  Xác định hình (H) là quỷ tích của E.  Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) – ảnh của (H) qua phép vị tự tâm I tỷ số k. 3. Dựng hình :  (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định ,điểm I cố định và số k không đổi sao cho khi thực hiện phép vị tự tâm I tỷ số k ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng.  Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng . C. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’) : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự (C) có tâm H(-1; 1) và bán kính R = 2. (C’) có tâm H'(-1; 1) và bán kính R’ = 3. Gọi I là tâ vị tự của (C) và (C’) khi đó ta có: 3 , 2 3 : ‘ ‘ 2I V H H IH IH I            (tâm vị tự ngoài)

14. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 chúng tôi 3 , 2 3 : ‘ ‘ 2I V H H IH IH I             (tâm vị tự trong) Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B . Một cát tuyến di động MAN cắt đường tròn (O) tại A, M và cắt (O’) tại A, N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. Giải: Gọi P là trung điểm OO’. Hạ OE và O’G , PH vuông góc với MN. Ta có H nhìn đoạn AP cố định dưới một góc vuông  tập hợp các điểm của H là đường tròn (C) có đường kính AP I là trung điểm MN  1 2 2 AI AM AN AE AG AH            ,2 :A V H I  và      ,2 : ‘A V C C Do đó quỷ tích của điểm I là đường tròn      ,2 ‘ A C V C D. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(-1; 3), tỷ số k = – 3 : A(-1 ; 3) B(-3 ; 1) C(0; 5) D(3; 0) O(0; 0) Bài 2: Cho phép vị tự tâm I tỷ số 1 2 k  biến M thành M’. Tìm tọa độ điểm I trong các trường hợp: a. M(4; 6) và M'(-3 ; 5). b. M(-1; 4) và M'(-3 ; -6). c. M(2; 3) và M'(6 ; 1). Bài 3: Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3 trong các tường hợp sau. a. d: x + 2y – 5 = 0 b. d: x – 2y + 3 = 0 c. y – 5 = 0 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: x – 2 y + 1 = 0 và d’: x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm số thực k sao cho phép vị tự tâm I tỷ số K biến d thành d’. Bài 5: Tìm ảnh của các đường sau qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3. a. 2 2 ( ):( 1) ( 5) 4C x y    . A O’ A N M E G I B P H

15. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 chúng tôi b. 2 2 ( ): 1 9 4 x y E   c. 2 2 ( ): 1 16 1 x y H   d. 2 ( ): 2P y x Bài 6: Tìm phép vị tự biến đường tròn 2 2 ( ): 2 10 22 0C x y x y     thành đường tròn 2 2 ( ‘): 4C x y  Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 3). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có phương trình là 2 2 ( ):( 1) ( 1) 4C x y    . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC HD: theo tính chất trọng tâm ta có:  , 2 2 :G GM GA V M A       Từ đó ta có:    , 2 , 2 : 🙁 ) ( ‘)G G V MNP ABC V C C      Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm A(5; 1) và nội tiếp đường tròn 2 2 ( ):( 2) ( 3) 25C x y    . Trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: x + 3y + 4 = 0 và độ dài cạnh BC bằng 8. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. HD: Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó pitago ta có: 2 2 3 2 AB IM R         (với I là tâm (C)) M chạy trên đường tròn 2 2 1( ):( 2) ( 3) 9C x y    .  13 3 , , 2 2 : ( ‘) A A V M G G C V C G                là giao điểm của (C’) và đường thẳng d Bài 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I . Chứng minh ba điểm G, H, I thẳng hàng . Tỉnh tỷ số: GH GI HD: GọiA’, B’, C’lần lượt là trung điểm BC, AC, AB . Khi đó dể thấy được I là trực tâm của tam giác A’B’C’.

16. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 chúng tôi 1 1 ; ; 2 2 1 : ‘ ‘ ‘ : 2G G V ABC A B C V H I GI GH                       Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C) . Biết BC cố định và A thay đổi. Tìm quỷ tích trọng tâm G của tam giác ABC. HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự 1 , 3 I V      . Bài 11: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. Tìm quỷ tích của M và N khi PQ thay đổi. HD: Xét các phép vị tự  ,2 :C V Q M và 1 , 2 : C V Q N       Bài 12: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O,R) và đoạn AB lần lượt tại C và D, đường thẳng CD cắt đường tròn (O) tại I chứng minh rằng  AI BI HD: Xét phép vị tự , ‘ :R C R V D I       (Vì , ‘ 🙁 ‘) ( )R C R V O O       và C, I, D thẳng hàng ) Bài 13: Cho Cho tam giác ABC .Dựng hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC. HD: Dựng hình vuông BCDE bên ngoài tam giác ABC. Xét phép vị tự :  ,A k V trong đó AQ k AE  với Q là giao điểm của AE và BC. Bài 14: Cho đường tròn (O,R)và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên d, kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O). a. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định. b. Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, Tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ và trực tâm H của tam giác MPQ. HD: a. KẻOI d , OI cắt PQ tại N. Xét phương trình đường tròn ngoại tiếp MPOQI và đường tròn (O).xét phương tích 2 .OI ON r N    cố định. b. Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kinh NO. Tập hợp các điểm O’ là đường trung trực đoạn OI.

17. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 chúng tôi Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = ( ,2)OV Bài 15: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O,R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C. a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm cố định khác A. b. Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định. c. Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của tam giác ABC. HD: a. AO cắt (AMN) tại D. 2 . .OAOD OM ON R D        cố định. b. AO cắt BC tại E. 2 2 .AE AD AO R E     cố định. c. Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO. Tập hợp các điểm G là đường tròn    2 12 , 3 A O V O       Bài 16: Cho đường tròn (O,R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C nằm ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn (O). AM cắt đường thẳng d tại D, CM cắt (O) tại N và BD cắt (O) tại E. a. Chứng minh chúng tôi không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b. Tứ giác CDNE là hình gì ? c. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác MAC. HD: a. chúng tôi = chúng tôi không đổi. b. NE

A. PHÉP QUAY

1. Định nghĩa

Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm quay (điểm cố định ) và góc quay (góc không đổi)

Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lương giác.

Có các phép quay ở trường hợp đặc biệt như sau: phép đồng nhất và phép đối xứng tâm

2. Biểu thức tọa độ

3. Tính chất

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (phép quay là phép dời hình)

Phép quay biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng

Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho

Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm đường tròn gốc}.

4. Các dạng toán thường gặp

Cho góc anlpha cố định và điểm A(x, y) tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O(gốc tọa độ) và góc quay anlpha.

Tìm phương trình ảnh bất kì qua phép quay với góc bất kì

Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình

Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước (quỹ tích)

Dựng hình

Chứng tỏ một phép biến hình f là phép quay

B. PHÉP VỊ TỰ

1. Định nghĩa của phép vị tự

2. Biểu thức tọa độ

3. Tính chất

Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng

Biến đa giác thành đa giác đồng dạng với đa giác đã cho theo tỷ số

Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính là,,,

4. Tâm vị tự của hai đường tròn

5. Các dạng toán điển hình

Xác định phương trình ảnh d’ của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) và tỷ số k

Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép vị tự

Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép vị tự

Chứng minh các yếu tố hình học

Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước

Dựng hình

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. PHÉP BIẾN HÌNH

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Ta thường kí hiệu phép biến hình thành F và viết F(M) = M” hay M” = F(M), khi đó điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

Nếu H là một hình nào đó trong hai mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’, hay H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.

Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể chứng minh: Với điểm M tùy ý thuộc H thì F(M) ∈ H’ và với mỗi M’ thuộc H’ thì có M ∈ H sao cho F(M) = M’.

Phép biến hình biến mỗi đểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

II. PHÉP TỊNH TIẾN

Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ (h.1.1).

Phép tịnh tiến theo thường được kí hiệu là .

Nhận xét: Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x; y) và vectơ (a; b). Gọi điểm M'(x’; y’) = (M).

IV. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

Phép tịnh tiến

1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;

2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;

3) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho ;

4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho ;

5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến

Dùng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Khi đó ảnh của điểm C là điểm E. Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ là tam giác DCE.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho = (- 2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x – 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến .

Giải

Cách 1. Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (-1 ; 0). Khi đó M’ = (M) = (-1 – 2 ;0 + 3) = (-3 ; 3) thuộc d’. Vì d’ song song với d nên phương trình của nó có dạng 3x – 5y + C = 0. Do M’ ∈ d’ nên 3(-3) – 5. 3 + C = 0. Từ đó suy ra C = 24. Vậy phương trình của d’ là 3x – 5y + 24 = 0.

Cách 3. Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua . Khi đó d’ là đường thẳng M’N’

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ = (-2 ; 3).

Giải

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm I(1; -2), bán kính r = 3. Gọi I’ = (I) = (1 – 2; – 2 + 3) = (-1 ; 1) và (C’) là ảnh của (C) qua thì (C’) là đường tròn tâm /’ bán kính r = 3. Do đó (C’) có phương trình

⇔

Do đó (C’) có phương trình :

Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán dựng hình.

1. Phương pháp giải

Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép tịnh tiến.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-1 ; -1), B( 3 ; 1), C(2 ; 3). Um toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải

Xem điểm D(x ; y) là ảnh của điểm c qua phép tịnh tiến theo vectơ = (-4 ; -2). Từ đó suy ra x = 2- 4 = -2; y = 3 – 2 = 1.

song hoặc trùng với d (hay Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và dị cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song ). Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên dị để tứ giác ABMM’ là hình bình hành.

Khi đó điểm M’ vừa thuộc vừa thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ . Từ đó suy ra cách dựng :

Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Dựng M’ = ∩ d’

Dựng điểm M là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Dễ thấy tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thoả mãn yêu cầu của đầu bài.

Vấn đề 3

Dùng phép tịnh tiến để giải một số bải toán tìm tập hợp điểm

1. Phương pháp giải

Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến.

Giải

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì = 90°, nên DC

của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2tịnh tiến theo vectơ 2 = . Do đó khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép . = 2. Ta thấy rằng không đổi, nên có thể xem H là ảnh

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

1.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho = (2 ; -1), điểm M = (3 ; 2). Tìm toạ độ của các điểm A sao cho :

a) A = (M);

b) M = (A).

1.2. Trong mặt phẳng Oxy cho = (-2 ; 1), đường thẳng d có phương trình

2x – 3y + 3 = 0, đường thẳng có phương trình 2x – 3y – 5 = 0.

a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua .

b) Tìm toạ độ của có giá vuông góc với đường thẳng d để là ảnh của d qua .

1.3. Trong mặt phẳng Oxỵ cho đường thẳng d có phương trình 3x – ỵ – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc toạ độ và viết phương trình đường thẳng d’.

1.4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình . Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ = (-2 ; 5).

1.5. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

Dạng bài tập về phép quay 90 độ cực hay, có lời giải

A. Phương pháp giải

[1]. Biểu thức tọa độ của phép quay 90° và -90°

Trong hệ trục tọa Oxy:

[2]. Bài toán xác định vị trí của điểm, hình khi thực hiện phép quay cho trước

Bước 1. Xác định tâm quay và góc quay theo yêu cầu bài toán.

Bước 2. Áp dụng các kiến thức sau:

Bước 3. Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 90°

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 90°

c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90°

Hướng dẫn giải:

a)

Dựng đoạn thẳng AB’ bằng đoạn thẳng AB sao cho (Vị trí B’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

* Khi đó:

* Vậy B’ à ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 90°

b)

* Dựng đoạn thẳng AC’ bằng đoạn thẳng AC sao cho (Vị trí C’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

*

Mặt khác, Q(A,90°)(B) = B’ (theo câu a) (2)

* Từ (1) và (2) suy ra: Q(A,90°)(BC) = B’C’

c)

* Dựng đoạn thẳng GA’ bằng đoạn thẳng GA sao cho (Vị trí A’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

* Dựng đoạn thẳng GB” bằng đoạn thẳng GB sao cho (Vị trí B” như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

* Dựng đoạn thẳng GC” bằng đoạn thẳng GC sao cho (Vị trí C” như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

* Khi đó:

Từ (1),(2),(3) suy ra: Q(G,90°)(ΔABB) = ΔAB”C”

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD tâm O ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 90°

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 90°

Hướng dẫn giải:

a) Gọi E là điểm đối xứng của C qua D.

Khi đó:

Vậy E là ảnh của C qua phéo quay tâm A, góc quay 90°

b) Vì ABCD là hình vuông nên

Từ (1) và (2) suy ra: Q(O,90°)(BC) = CD

Vậy CD là ảnh của BC qua phép quay tâm O góc quay 90°

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5); đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường tròn (C): (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 16

a) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay -90°.

b) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.

c) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90°

Hướng dẫn giải:

a)

Cách 1:

+) Do Q(O,90°)(A) = B nên dựa vào vẽ bên ta suy ra: B(5;1).

Cách 2:

+) Do Q(O,90°)(A) = B nên .

Vậy B(5;1).

b) Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ vuông góc với d.

Phương trình đường thẳng d’ có dạng: x + 3y + m = 0.

Lấy A(0;2) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d’. Khi đó m = -2.

Vậy phương trình đường d’ là x + 3y – 2 = 0.

c) Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4.

Khi đó: Q(O,90°)(I) = I'(1;4) và bán kính R’ = R = 4.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA ( thứ tự các điểm A,B,C,D như hình vẽ)

Tìm ảnh của ΔAMN qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

A. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OB

B. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OA, OB

C. ΔAM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OD

D. ΔAM’N’ với M’, N’ lần lượt là là trung điểm BC, OB

Hiển thị đáp án

Lời giải.

Chọn D.

Câu 2. Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (như hình vẽ). Tìm ảnh của ΔABG trong phép quay tâm B, góc quay -90°.

A. ΔCBE

B. ΔCBF

C. ΔCBG

D. ΔCBD

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD có tâm là O,. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA ( xem hình vẽ)

Tìm ảnh của tam giác ODN qua phép quay tâm O góc quay -90°.

A. ΔOCP

B. ΔOCM

C. ΔMCP

D. ΔNCP

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

+) Ta có:

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M(-6;1) qua phép quay Q(O,90°) là:

A. M(1;6).

B. M(-1;-6).

C. M(-6;-1).

D. M(6;1).

Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(2;0) và điểm N(0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là

A. φ = 30°.

B. φ = 45°.

C. φ = 90°.

D. φ = 270°.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

+ Q(O;φ)⁡: M(x;y) ↦ N(x’;y’). Khi đó:

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B(-3;6). Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay(-90°).

A. E(6;3).

B. E(-3;-6).

C. E(-6;-3).

D. E(3;6).

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: x + 2y – 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ’ là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O góc 90°?

A. 2x – y + 6 = 0.

B. 2x – y-6 = 0.

C. 2x + y + 6 = 0.

D. 2x + y-6 = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + y 2 = 8. Viết phương trình đường tròn (C 1) sao cho (C) là ảnh của đường tròn (C 1) qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp