Phép Quay & Phép Vị Tự

--- Bài mới hơn ---

  • Công Thức Phép Quay Dễ Hiểu
  • Dạng Bài Tập Về Phép Quay 90 Độ Cực Hay
  • Tìm Ảnh Của Một Điểm Qua Phép Quay
  • Tìm Phương Trình Đường Tròn Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Tìm Tọa Độ Điểm Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Published on

    www.toanhocdanang.com

    Phone: 0935334225

    https://www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

    1. 1. HÌNH HỌC 11 GV: PHAN NHẬT NAM PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ AI(-1; 0) O D(1; 0)  1;C x y  ;B x y x y
    2. 2. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi PHÉP QUAY A. Cơ sở lí thuyết : 1. Định nghĩa :Ký hiệu  IQ là phép quay tâm I với góc quay  .    , ‘ ! ‘ ( , ‘) I IM IM Q M M góc LG IM IM            Ký hiệu : ‘)( MMQI   Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm quay (điểm cố định ) và góc quay (góc không đổi)  Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lương giác. Nhận xét :Cho phép quay  IQ  Nếu  2k thì phép quay  IQ là một phép đồng nhất  Nếu  )12(  k thì phép quay  IQ là một phép đối xứng tâm. 2. Biểu thức tọa độ :: Cho điểm O(0 ; 0) và góc  . Khi đó ta có phép quay  IQ :  IQ : M(x ; y) M'(x’ ; y’) Khi đó tọa độ của ảnh M’ được xác định theo công thức        cossin’ sincos’ yxy yxx 3. Tính chất của phép quay :  Định lý : Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (phép quay là phép dời hình)  Hệ quả : i. Phép quay biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng. ii. Phép quay biến :  Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.  Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.  Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm đường tròn gốc}. B. Các dạng toán thường gặp : I. Bài toán 1 : Cho góc  cố định và điểm A(x, y) tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O(gốc tọa độ) và góc quay  Cách giải :  Gọi : ),(1 OxtiaOA và ),'(2 OxtiaOA  Khi đó ta có : ( ; )A x y ‘( ‘, ‘)A x y x y O 1 2 
    3. 3. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi  y x x y  11 cot,tan                  1 1 1 1 sin cos sin. cos.     y OA x OA OAy OAx và                2 2 2 2 sin ‘ ‘ cos ‘ ‘ sin’.’ cos’.’     y OA x OA OAy OAx                                1 1 1 1 11 1112 sin )sin( ‘ cos )cos( ‘ sin)sin( ‘ cos)cos( ‘ ‘ ‘)(       yy xx xy xx OAOA AAQI                    cossin’ sincos’ )cossin(‘ )sin(cos’ yxy yxx y x yy x y xx  Vậy )cossin;sincos(”)(  yxyxAAAQI  Chú ý : với tâm quay là điểm tùy ý I(a, b)  O Ta có thể đưa về bài toán trên bằng cách thực hiện phép dời trục : Oxy IXY công thức tọa độ của phep dời trục      byY axX II. Bài toán 2 :Cho điểm điểm I(a ; b) , góc  và hình (H) có phương trình 0),( yxf tìm phương trình ảnh (H’) của hình (H) qua phép quay  IQ : Phương pháp :  Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .  Gọi M'(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép quay tâm I góc quay  . Sử dụng bài toán 1 để tìm tọa độ M theo x’ , y’ và a, b ,   0)’;'()(  yxgHM  (H’) là ảnh của (H) qua phép quay  IQ  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’ 0);(‘:)'(  yxfH ĐB : i. Nếu (H) là đường thẳng ta có thể thực hiện như sau.  Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (H) .  Sử dụng bài toán 1 ta có tọa độ của )cossin;sincos(‘ 0000  yxyxM  và )cossin;sincos(‘ 1111  yxyxM  là ảnh của M và N qua phép quay  IQ
    4. 4. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 chúng tôi  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’     cos)(sin)( )cossin( sin)(cos)( )sincos( :)'( 1101 00 0101 00 yyxx yxy yyxx yxx d         ‘)( AAQI  ii. Nếu (H) là đường tròn ta có thể thực hiện như sau.  Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (H).  Sử dụng bài toán 1 ta có tâm )cossin;sincos(‘ 0000  yxyxO  là ảnh của O qua phép quay  IQ .  Đường tròn (C’) {là ảnh của (C) qua phép phép quay  IQ } có tâm là )cossin;sincos(‘ 0000  yxyxO  và bán kính R     22 00 2 00 )cossin()sincos(:)'( RyxyyxxC   III. Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình : Phương pháp :  Từ giả thuyết chọn một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm quay và tìm một góc  không đổi để làm làm góc quay.  Thực hiện phép quay  IQ vừa tìm ở trên.  Dùng tính chất của phép quay  IQ để chứng minh các yếu tố hình học hoặc xác định các tính chất của hình. IV. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)  Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho       )(, constIMIE IMIE  .  Xác định hình (H) là quỷ tích của E.  Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) – ảnh của (H) qua phép quay  IQ . V. Dựng hình :  (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và điểm I cố định cho trước sao cho khi thực hiện phép quay  IQ ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng.  Thực hiện các phép quay  IQ để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng . VI. Chứng tỏ một phép biến hình f là phép quay  IQ .  Từ giả thuyết tìm điểm I cố định và góc  không đổi .  Chứng tỏ với mọi điểm M qua phép biến hình f cho ra M’ thì ta đều có       ’, ‘ IMIM IMIM
    5. 5. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 chúng tôi C. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1:Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x; y). Tìm M’ là ảnh của M qua phép quay ( , )OQ  Áp dụng : a. Tìm M’ là ảnh của M(2; 2) qua phép quay 0 ( ,45 )O Q b. Tìm ảnh của đường tròn   2 2 ( ): 1 4C x y   qua phép quay 0 ( ,60 )O Q HD:Đặt : 2 2 r OM x y   , góc lượng giác ,Ox OM  . Khi đó ta có: cos sin x r y r      ( , ) : ‘( ‘; ‘)OQ M M x y  có ‘ ‘ cos( ) cos sin ( , ‘) ‘ sin( ) sin cos OM OM r x r x y Ox OM x r x y                           Vậy điểm cần tìm là: ‘( cos sin ; sin cos )M x y x y     a. Ta có: 2 2r OM  , Gọi  ,Ox OM  khi đó (2 2 cos ; 2 2sin )M   0 ( ,45 ) : ‘( ‘; ‘)O Q M M x y có 0 0 0 0 0 0 0 ‘ cos( 45 ) cos45 sin 45 0’ ( , ‘) 45 ‘ sin( 45 ) sin 45 cos45 2 2 M M M M x r x yOM OM r Ox OM x r x y                      Vậy    0 ( ,45 ) (2 ; 2) ‘ 0; 2 2O Q M M b. (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 2 . Tương tự như trên ta có: 0 ( ,60 ) ‘O Q I I 0 0 ‘ 0 0 ‘ 1 cos60 sin60 1 32 ‘ ; 2 23 sin60 cos60 2 I I I I I I x x y I y x y                   Gọi  0 ( ,60 ) ( ‘) ( )O C Q C  (C’) có tâm I’ bà bán kính R = 2 22 1 3 ( ‘): 4 2 2 C x y                Ví dụ 2:( Bài 34 – tr10 – BTHH11NC) Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a . Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a? Hướng Dẩn giải: Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc 0 120AGC AGB    . Như vậy phép quay tâm G với góc quay 0 120  biến A thành C và biến A thành B . Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d
    6. 6. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 chúng tôi qua phép quay  0 ,120G Q . Ví dụ 3:( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh OCD là tam giác đều ? Hướng Dẩn giải: Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)= 0 60 . Rõ ràng A biến thành B và A’ biến thành B’ vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ . Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD . Vì góc quay bằng 0 60 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều . Ví dụ 4: ( Bài 43-tr11-BTHH11NC) Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ . a. Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ luôn đi qua một điểm cố định . b. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân Hướng Dẩn giải: a. Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ : Cho hai điểm A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng góc quay thì phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh góc vuông của tam giác vuông cân OAB (O là tâm đối xứng). Như vậy :    , , : :A B Q C N Q C Q NQ    đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng cách dựng tam giác vuông cân HAB b. Tương tự như trên : ‘: ; :O OQ C B Q C A AB   đi qua tâm đối xứng I được xác định bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI là tam giác vuông cân Bài tập áp dụng:
    7. 7. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 chúng tôi Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O và góc quay 900 . ĐS: ‘: 2 1 0d x y   Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900 . ĐS: A'(- 4 ; 3) Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm phép quay biến điểm A(-1; 5) thành điểm B(5; 1) HD: Ta có: ( 1;5)OA    và (5;1)OB      0 ( ,90 )0 2626 , 90. 0 O OA OBOA OB B Q A OA OBOAOB OA OB                    Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4; 1). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay – 900 . HD: Gọi A'(a, b) ta có: (4 ;1)OA   , ‘ ( ; )OA a b  Vì      0 2 2 2 2 0; 90 ‘ ‘ 14 1 ‘ , ‘ 90 4. ‘ 0 3 4 0O OA OA OA OA aa b A Q A OA OA bOAOA a b                              hay 1 4 a b     (1; 4)N  hay ( 1; 4)N  Thử lại điều kiện   0 , ‘ 90OA OA     ta thấy (1; 4)N  thỏa mãn. Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( ):( 3) ( 2) 4C x y    . Tìm (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900 . HD: Gọi I’ là ảnh của I qua  0 ,90O Q . Khi đó ta có    0 ,90 ‘( 2;3)O Q I I  . Do đó 2 2 ( ‘):( 2) ( 3) 4C x y    Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( ):( 2) ( 2 3) 5C x y    . Tìm (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 600 . HD: Gọi I’ là ảnh của I qua  0 ,60O Q . Khi đó ta có    0 ,60 ‘( 2;2 3)O Q I I  . Do đó 2 2 ( ‘):( 2) ( 2 3) 5C x y    Bài 7. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(-2 ; 3), C(0 ; 6), D(4 ; -3) qua phép đối xứng tâm O góc quay  sau: a. 0 90  b) 0 90   c) 0 180  d) 0 60  Bài 8. Tìm ảnh của đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc quay 900 : a. d: 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2 Bài 9. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc quay -900 . a. 2 2 ( ):( 1) ( 1) 9C x y    b. 2 2 ( ): ( 2) 4C x y   c. 2 2 ( ): 4 2 4 0C x y x y     d. 2 2 ( ): 2 4 11 0C x y x y     Bài chúng tôi tam giác đều ABC có tâm O . Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay  0 ; 120O Q  .
    8. 8. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 chúng tôi HD:    00 ,120 : , 120 O OA OB Q A B OA OB       . Tương tự ta cũng có:  0 ,120 :O Q B C và  0 ,120 :O Q C A Bài 11. Cho hình vuông ABCD có tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của AMN qua phép quay  0 ,90O Q . HD: Gọi M’ , N’ lần lượt là trung điểm của AD và OD ta có:   00 ( ;90 ) : , 90 O OA OD Q A D OA OD       Tương tự 0 ( ;90 ) : ‘O Q M M và 0 ( ;90 ) : ‘O Q N N Bài 12. Cho lục giác đều ABCDEF (ký hiệu các đỉnh theo chiều dương) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp của nó. I là trung điểm AB. a. Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay 0 ( ,120 )O Q b. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay 0 ( ,60 )E Q HD:a.   00 ( ,120 ) : , 120 O OA OC Q A C OA OC       tương tự : 0 ( ,120 ) :O Q B D , 0 ( ,120 ) :O Q F B 0 0 ( ,120 ) ( ,120 ) ( ) :O O CD Q AB Q I J    (với J là trung điểm BD). Do đó :  0 ( ,120 )O CJB Q AIF   b. ĐS:  0 ,60 :E Q AOF CDO   Bài 13. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng. Dựng hai tam giác đều ABE và BCF cùng một phía .Gọi M, N lần lượt là trung điểm AF và CE. Chứng minh rằng BMN là một tam giác đều. HD:    00 , 60 : , 60 B BA BE Q A E BA BE         tương tự :  0 , 60 :B Q F C       0 0 0, 60 , 60 : : , 60B B BM BN Q AF EC Q M N BM BN            BMN là tam giác đều Bài 14. Cho nữa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn đó. Dựng ở phía ngoài của tam giác ABC một hình vuông ABEF. Tìm quỷ tích điểm E. HD: Xét phép quay  0 ,60B Q Bài chúng tôi đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d. Hãy xác định quỷ tích của M sao cho OMN là một tam giác đều. HD: Xét phép quay  0 ,60O Q ,  0 , 60O Q 
    9. 9. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 chúng tôi Bài 16. Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R) cắt nhau tại A và B. Từ điểm I cố định kẻ các tuyến IMN với (O), MB và NB cắt (O’) tại M’ và N’. Chứng minh rằng M’N’ luôn đi qua điểm cố định. HD: Đặt:  , ‘AO AO  .  , : ‘A Q I I  I’ cố định mà  , : ‘ ‘A Q MN M N  do đó M’N’ qua I’ cố định Bài 17. Cho hai hình vuông ABCD và BEFG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AG và CE. Chứng minh rằng BMN là một tam giác vuông cân HD: Xét phép quay  0 ,90B Q Bài chúng tôi tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC và H là giao điểm của AM và EF. Chứng minh rằng AH là đường cao của tam giác AEF. HD: Gọi D là điểm đối xứng F qua A và K là trung điểm AE . khi đó ta có:  0 ,90 :A Q M K AM AK  . Để ý AK là đường trung bình của DEF Bài chúng tôi hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Gọi I là tâm của ABCD. Trên cạnh BC lấy BJ = 1. Xác định phép biến hình biến AI  thành BJ  HD: Gọi O là giao điểm của trung trực AB và cung lớn AB .  0 ,45 :O Q AI BJ   Bài 20. Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF. Gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng. a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: DOP là tam giác vuông cân. b. Chứng minh rằng AO PQ và AO = PQ HD: a.  0 ,90 :C Q MB AI b.  0 ,90 😀 Q OA PQ Bài chúng tôi tam giác ABC có các đỉnh kí hiệu theo chiều âm. Dựng phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm của đoạn FH. Chứng minh rằng DF  BP và DF = 2 BP HD: Xét phép quay  0 ,90 :B Q BP BM . Để ý đến BM là đường trung bình của tam giác HDF. Bài 22. Cho tứ giác lồi ABCD. Phía ngoài dựng các tam giác đều ABM và CDP. Phía tring dựng các tam giác đều BCN và ADK. Chứng minh MNPK là hình bình hành. HD:  0 ,60 :B Q MN AC và  0 ,60 😀 Q PK CA MN PK  Lý luận tương tự ta cũng có: MK = PN Bài chúng tôi tam giác ABC. Dựng ở ngoài của tam giác các tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1. Chứng minh AA1, BB1, CC1 đồng quy và có độ dài bằng nhau. HD:Gọi 1 1I AA CC  . 0 1 1( ,60 ) :B Q AA C C 0 0 1 1 1( , ) 60 60AA CC AIC   
    10. 10. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 chúng tôi Gọi 1E CC sao cho  0 60 IE IA EIA EIA     đều. khi đó ta có :      0 1 1, 60 : , , , ,A Q B I B C E C  . Mà 1E CC 1I BB  . Do đó AA1, BB1, CC1 đồng quy tại điểm I. Bài 24. Chứng minh các đoạn nối tâm của các hình vuông dựng trên các cạnh của hình bình hành về phía ngoài, hợp thành một hình vuông. HD: Xét phép quay :  0 2 3 1, 90 :I Q I I  ;  0 4 3 1,90 :I Q I I Bài chúng tôi tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi I, M, J lần lượt là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh IMJ là tam giác vuông cân. HD: Xét phép quay :  0 ,90 :A Q EC BF . Để ý MI và MJ lần lượt là các đường trung bình của EBC và FBC Bài 26. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và AM = 1 2 FK. HD: Gọi ( )AD D B . Sau đó xét phép quay 0 ( ,90 )A Q Bài chúng tôi tam giác đều ABC có tâm O. Gọi D, E lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC sao cho AD AE AB  . Chứng minh OD = OE và  0 120DOE  . HD: Xét phép quay  0 ,120O Q . Bài chúng tôi hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM, cắt AB và AD tại E và F. Gọi N là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng : a. CM + CN = EF. b. 2 2 2 1 1 1 CM CN AB   HD: a. CBM CDF CM CF CDN CBE CE CN             khi đó ta có phép quay  0 ,90 :C Q E N và  0 ,90 :C Q M F b. Xét CNF ta có: 2 2 2 1 1 1 CN CF CD   lại có CF = CM và CD = AB  (đpcm) Bài 29. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao cho C, D nằm khác phía so với AB. Chứng minh rằng giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH của tam giác ABC. HD: Gọi O là tâm của ACIJ và K thuộc tia đối của tia AH sao cho AK = BC. Khi đó ta dễ dàng chứng minh được    00 ,90 : , 90 O OK OB OAK OCB Q K B OK OB            0 ,90 :O Q KC BI CK BI    . Lý luận tương tự ta cúng có : BK CD
    11. 12. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 chúng tôi 4. Tâm vị tự của hai đường tròn : Cho hai đường tròn : C(O,R) và C'(O’,R’) Gọi OM và O’M’ lần lượt là 2 bán kính của (C), (C’) sao cho 2 vectơ ”, MOOM cùng chiều  Nếu IMMOO  ” thì I là tâm của phép vị tự R R IV ‘ {I là tâm vị tự ngoài}  Nếu IMMOO  ” 1 { )(1 MDM O } thì I là tâm của phép vị tự R R IV ‘  {I là tâm vị tự trong}  Nếu ‘OO  : Khi đó R R OV ‘ và R R OV ‘  Đều biến đường tròn (O,R) thành đường tròn (O’,R’) B. Các dạng toán thường gặp : I. Các bài toán tọa độ : 1. Xác định phương trình ảnh d’ của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) và tỷ số k : Phương pháp 1:  Chọn điểm M(x0 ; y0) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vectơ pháp tuyến );( BAn của đường thẳng d.  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M'(x0′ ; y0′) là ảnh của M qua phép vị tự k IV  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến );( BAn 0)'()'(:)'( 00  yyBxxAd Phương pháp 2:  Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M'(x0′ ; y0′) và N'(x1′ ; y1′) là ảnh của M và N qua phép vị tự k IV  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’ ” ‘ ” ‘ :)'( 10 1 10 1 yy yy xx xx d       2. Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép vị tự k IV :  Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (C).  Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O'(x0′ ; y0′) của tâm O qua phép vị tự k IV  Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính Rk :     222 0 2 0 ”:)'( RkyyxxC  3. Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép vị tự k IV :  Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .  Gọi M'(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép vị tự k IV :
    12. 13. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 chúng tôi ) ‘ ; ‘ ( ‘ ‘ b k by a k ax M b k by y a k ax x                    0) ‘ ; ‘ ()(      b k by a k ax fHM  (H’) là ảnh của (H) qua phép vị tự k IV  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’ 0);(:)'(      b k by a k ax fH II. Các bài toán hình học cổ điển : 1. Chứng minh các yếu tố hình học :  Từ giả thuyết xác định một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm vị tự, số k không đổi làm tỷ số vị tự.  Xác định một phép vị tự phù hợp theo tâm I và tỷ số k.  Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép vị tự để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác định các tính chất của hình. 2. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)  Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho IEkIM . (I là điểm cố định và k là số không đổi – Tức là có được ba điểm thẳng hàng và biết được tỷ số độ dài của chúng. Trong đó có hai điểm thay đổi và một điểm cố định).  Xác định hình (H) là quỷ tích của E.  Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) – ảnh của (H) qua phép vị tự tâm I tỷ số k. 3. Dựng hình :  (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định ,điểm I cố định và số k không đổi sao cho khi thực hiện phép vị tự tâm I tỷ số k ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng.  Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng . C. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’) : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự (C) có tâm H(-1; 1) và bán kính R = 2. (C’) có tâm H'(-1; 1) và bán kính R’ = 3. Gọi I là tâ vị tự của (C) và (C’) khi đó ta có: 3 , 2 3 : ‘ ‘ 2I V H H IH IH I            (tâm vị tự ngoài)
    13. 14. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 chúng tôi 3 , 2 3 : ‘ ‘ 2I V H H IH IH I             (tâm vị tự trong) Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B . Một cát tuyến di động MAN cắt đường tròn (O) tại A, M và cắt (O’) tại A, N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. Giải: Gọi P là trung điểm OO’. Hạ OE và O’G , PH vuông góc với MN. Ta có H nhìn đoạn AP cố định dưới một góc vuông  tập hợp các điểm của H là đường tròn (C) có đường kính AP I là trung điểm MN  1 2 2 AI AM AN AE AG AH            ,2 :A V H I  và      ,2 : ‘A V C C Do đó quỷ tích của điểm I là đường tròn      ,2 ‘ A C V C D. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(-1; 3), tỷ số k = – 3 : A(-1 ; 3) B(-3 ; 1) C(0; 5) D(3; 0) O(0; 0) Bài 2: Cho phép vị tự tâm I tỷ số 1 2 k  biến M thành M’. Tìm tọa độ điểm I trong các trường hợp: a. M(4; 6) và M'(-3 ; 5). b. M(-1; 4) và M'(-3 ; -6). c. M(2; 3) và M'(6 ; 1). Bài 3: Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3 trong các tường hợp sau. a. d: x + 2y – 5 = 0 b. d: x – 2y + 3 = 0 c. y – 5 = 0 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: x – 2 y + 1 = 0 và d’: x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm số thực k sao cho phép vị tự tâm I tỷ số K biến d thành d’. Bài 5: Tìm ảnh của các đường sau qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3. a. 2 2 ( ):( 1) ( 5) 4C x y    . A O’ A N M E G I B P H
    14. 15. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 chúng tôi b. 2 2 ( ): 1 9 4 x y E   c. 2 2 ( ): 1 16 1 x y H   d. 2 ( ): 2P y x Bài 6: Tìm phép vị tự biến đường tròn 2 2 ( ): 2 10 22 0C x y x y     thành đường tròn 2 2 ( ‘): 4C x y  Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 3). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có phương trình là 2 2 ( ):( 1) ( 1) 4C x y    . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC HD: theo tính chất trọng tâm ta có:  , 2 2 :G GM GA V M A       Từ đó ta có:    , 2 , 2 : 🙁 ) ( ‘)G G V MNP ABC V C C      Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm A(5; 1) và nội tiếp đường tròn 2 2 ( ):( 2) ( 3) 25C x y    . Trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: x + 3y + 4 = 0 và độ dài cạnh BC bằng 8. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. HD: Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó pitago ta có: 2 2 3 2 AB IM R         (với I là tâm (C)) M chạy trên đường tròn 2 2 1( ):( 2) ( 3) 9C x y    .  13 3 , , 2 2 : ( ‘) A A V M G G C V C G                là giao điểm của (C’) và đường thẳng d Bài 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I . Chứng minh ba điểm G, H, I thẳng hàng . Tỉnh tỷ số: GH GI HD: GọiA’, B’, C’lần lượt là trung điểm BC, AC, AB . Khi đó dể thấy được I là trực tâm của tam giác A’B’C’.
    15. 16. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 chúng tôi 1 1 ; ; 2 2 1 : ‘ ‘ ‘ : 2G G V ABC A B C V H I GI GH                       Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C) . Biết BC cố định và A thay đổi. Tìm quỷ tích trọng tâm G của tam giác ABC. HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự 1 , 3 I V      . Bài 11: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. Tìm quỷ tích của M và N khi PQ thay đổi. HD: Xét các phép vị tự  ,2 :C V Q M và 1 , 2 : C V Q N       Bài 12: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O,R) và đoạn AB lần lượt tại C và D, đường thẳng CD cắt đường tròn (O) tại I chứng minh rằng  AI BI HD: Xét phép vị tự , ‘ :R C R V D I       (Vì , ‘ 🙁 ‘) ( )R C R V O O       và C, I, D thẳng hàng ) Bài 13: Cho Cho tam giác ABC .Dựng hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC. HD: Dựng hình vuông BCDE bên ngoài tam giác ABC. Xét phép vị tự :  ,A k V trong đó AQ k AE  với Q là giao điểm của AE và BC. Bài 14: Cho đường tròn (O,R)và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên d, kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O). a. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định. b. Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, Tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ và trực tâm H của tam giác MPQ. HD: a. KẻOI d , OI cắt PQ tại N. Xét phương trình đường tròn ngoại tiếp MPOQI và đường tròn (O).xét phương tích 2 .OI ON r N    cố định. b. Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kinh NO. Tập hợp các điểm O’ là đường trung trực đoạn OI.
    16. 17. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 chúng tôi Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = ( ,2)OV Bài 15: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O,R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C. a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm cố định khác A. b. Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định. c. Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của tam giác ABC. HD: a. AO cắt (AMN) tại D. 2 . .OAOD OM ON R D        cố định. b. AO cắt BC tại E. 2 2 .AE AD AO R E     cố định. c. Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO. Tập hợp các điểm G là đường tròn    2 12 , 3 A O V O       Bài 16: Cho đường tròn (O,R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C nằm ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn (O). AM cắt đường thẳng d tại D, CM cắt (O) tại N và BD cắt (O) tại E. a. Chứng minh chúng tôi không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b. Tứ giác CDNE là hình gì ? c. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác MAC. HD: a. chúng tôi = chúng tôi không đổi. b. NE // CD  CDNE là hình thang. c. Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn , 3 R K       là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép 1 , 3 I V      .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Mười Công Đức Họa Vẽ Hình Chư Phật
  • 1001 Thắc Mắc: Ong Vò Vẽ Kinh Khủng Ra Sao, Làm Thế Nào Để Nhận Biết Chúng?
  • Ong Vò Vẽ Xây Tổ Như Thế Nào?
  • Xử Lý Tổ Ong Vò Vẽ Thế Nào Cho An Toàn?
  • Cách Vẽ Các Hình Tổ Ong Trên Tường Nhà Bạn
  • Các Dạng Toán Phép Quay

    --- Bài mới hơn ---

  • Toán Lớp 5 Trang 74: Tỉ Số Phần Trăm
  • Cách Giải Bài Toán Phần Trăm Tính Lỗ Và Lãi Lớp 5
  • Dạy Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm Cho Học Sinh Lớp 5 Gắn Với Thực Tế
  • Các Dạng Toán Tỉ Số Phần Trăm
  • Bài Tập Toán Lớp 4: Quy Đồng Mẫu Các Phân Số
  • Bài viết trình bày lý thuyết và hướng dẫn giải các dạng toán phép quay trong chương trình Hình học 11 chương 1. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng xuất bản trên KHODETHI.ORG.

    A. KIẾN THỨC CẦN NẮM

    * Cho điểm $O$ và góc lượng giác $alpha $. Phép biến hình biến $O$ thành chính nó và biến mỗi điểm $M$ khác $O$ thành điểm $M’$ sao cho $OM’=OM$ và góc lượng giác $left( OM;OM’ right)=alpha $ được gọi là phép quay tâm $O$, $alpha $ được gọi là góc quay.

    * Phép quay tâm $O$ góc quay $alpha $ được kí hiệu là ${Q_left( O;alpha right)}$.

    Ví dụ 1. Cho $Mleft( 3;4 right)$. Tìm ảnh của điểm $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${30^0}$.

    Gọi $M’left( x’;y’ right) = Q_{left( {O;{{30^0}} right)}}.$ Áp dụng biểu thức tọa độ của phép quay $left begin{arrayl

    x’ = xcos alpha – ysin alpha

    y’ = xsin alpha + ycos alpha

    endarray right.$, ta có: $left begin{arrayl

    x’ = 3cos 30^0 – 4sin 30^0 = frac{3sqrt 3 }2 – 2

    y’ = 3sin 30^0 + 4cos 30^0 = frac32 + 2sqrt 3

    endarray right.$ $ Rightarrow M’left( frac{{3sqrt 3 }2 – 2;frac32 + 2sqrt 3 } right).$

    Ví dụ 2. Cho $Ileft( 2;1 right)$ và đường thẳng $d:2x+3y+4=0$. Tìm ảnh của $d$ qua ${Q_left( I;{{45^0} right)}}$.

    Lấy hai điểm $Mleft( – 2;0 right)$, $Nleft( 1; – 2 right)$ thuộc $d.$

    Gọi $M’left( {x_1;y_1} right)$, $N’left( {x_2;y_2} right)$ là ảnh của $M,N$ qua $Q_{left( {I;{{45^0}} right)}}.$

    Ta có $left begin{arrayl

    x_1 = 2 + left( – 2 – 2 right)cos 45^0 – left( 0 – 1 right)sin 45^0

    y_1 = 1 + left( – 2 – 2 right)sin 45^0 + left( 0 – 1 right)cos 45^0

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl

    x_1 = 2 – frac{3sqrt 2 }2

    y_1 = 1 – frac{5sqrt 2 }2

    endarray right.$ $ Rightarrow M’left( 2 – frac{{3sqrt 2 }2;1 – frac{5sqrt 2 }2} right).$

    Tương tự: $left begin{arrayl

    x_2 = 2 + left( 1 – 2 right)cos 45^0 – left( – 2 – 1 right)sin 45^0

    y_2 = 1 + left( 1 – 2 right)sin 45^0 + left( – 2 – 1 right)cos 45^0

    endarray right.$ $ Leftrightarrow left begin{arrayl

    x_2 = 2 + sqrt 2

    y_2 = 1 – 2sqrt 2

    endarray right.$ $ Rightarrow N’left( 2 + sqrt 2 ;1 – 2sqrt 2 right).$

    Ta có $overrightarrow M’N’ = left( frac{{5sqrt 2 }2;frac{sqrt 2 }2} right)$ $ = frac{sqrt 2 }2left( 5;1 right).$

    Gọi $d’ = Q_{left( {I;{{45^0}} right)}}left( d right)$ thì $d’$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow u = overrightarrow M’N’ = left( 5;1 right)$, suy ra vectơ pháp tuyến $overrightarrow n = left( – 1;5 right).$

    Phương trình đường thẳng $d’$ là: $ – left( x – 2 – sqrt 2 right) + 5left( y – 1 + 2sqrt 2 right) = 0$ $ Leftrightarrow – x + 5y – 3 + 10sqrt 2 = 0.$

    Ví dụ 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $OA$. Tìm ảnh của tam giác $AMN$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${90^0}$.

    Dạng toán 2. Sử dụng phép quay để giải các bài toán dựng hình

    Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay ${Q_left( I;alpha right)}$ nào đó.

    Ví dụ 4. Cho điểm $A$ và hai đường thẳng ${d_1}$, ${d_2}$. Dựng tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ sao cho $Bin {d_1}$, $Cin {d_2}$.

    Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ có $left( AB,AC right)=alpha$ $left( {0^0}<alpha <{90^0} right)$ và một điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$. Dựng trên các đường thẳng $CB$, $CA$ các điểm $N$, $P$ sao cho $MN=MP$ và đường tròn $left( AMP right)$ tiếp xúc với $MN$.

    Ví dụ 6. Cho đường thẳng $d$ và một điểm $G$ không nằm trên $d$. Với mỗi điểm $A$ nằm trên $d$ ta dựng tam giác đều $ABC$ có tâm $G$. Tìm quỹ tích các điểm $B$, $C$ khi $A$ di động trên $d$.

    Ví dụ 7. Cho tam giác đều $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $M{A^2}+M{B^2}=M{C^2}.$

    Dạng toán 4. Sử dụng phép quay để giải các bài toán hình học phẳng

    . Cho tam giác $ABC$. Vẽ các tam giác đều $ABB’$ và $ACC’$ nằm phía ngoài tam giác $ABC$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $CB’$ và $BC’$. Chứng minh các điểm $A,I,J$ hoặc trùng nhau hoặc tạo thành một tam giác đều.

    Ví dụ 9 . Cho hai đường tròn bằng nhau $left( O;R right)$ và $left( O’;R right)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho $widehatOAO’={120^0}$. Đường thẳng $d$ đi qua $B$ cắt hai đường tròn $left( O right)$ và $left( O’ right)$ theo thứ tự tại $M,M’$ sao cho $M$ nằm ngoài $left( O’ right)$ còn $M’$ nằm ngoài $left( O right)$. Gọi $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến với hai đường tròn tại $M$ và $M’$. Xác định vị trí của $M,M’$ sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $SMM’$ lớn nhất.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phép Quay Và Phép Vị Tự Lớp 11
  • Độ Ph Là Gì? Làm Sao Để Cân Bằng Độ Ph Nước Bể Bơi (Hiệu Quả)?
  • Giúp Hs Lớp 2 Giải Toán Giuphocsinhlop2Giaibaitoandienso Doc
  • Tổng Hợp 78 Bài Luyện Thi Violympic Toán Lớp 2
  • Các Dạng Toán Lớp 7 Và Phương Pháp Giải
  • Phép Quay Và Phép Vị Tự Lớp 11

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Dạng Toán Phép Quay
  • Toán Lớp 5 Trang 74: Tỉ Số Phần Trăm
  • Cách Giải Bài Toán Phần Trăm Tính Lỗ Và Lãi Lớp 5
  • Dạy Giải Toán Về Tỉ Số Phần Trăm Cho Học Sinh Lớp 5 Gắn Với Thực Tế
  • Các Dạng Toán Tỉ Số Phần Trăm
  • A. PHÉP QUAY

    1. Định nghĩa

    • Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm quay (điểm cố định ) và góc quay (góc không đổi)
    • Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lương giác.
    • Có các phép quay ở trường hợp đặc biệt như sau: phép đồng nhất và phép đối xứng tâm

    2. Biểu thức tọa độ

    3. Tính chất

    • Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (phép quay là phép dời hình)
    • Phép quay biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng
    • Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
    • Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho
    • Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm đường tròn gốc}.

    4. Các dạng toán thường gặp

    • Cho góc anlpha cố định và điểm A(x, y) tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O(gốc tọa độ) và góc quay anlpha.
    • Tìm phương trình ảnh bất kì qua phép quay với góc bất kì
    • Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình
    • Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước (quỹ tích)
    • Dựng hình
    • Chứng tỏ một phép biến hình f là phép quay

    B. PHÉP VỊ TỰ

    1. Định nghĩa của phép vị tự

    2. Biểu thức tọa độ

    3. Tính chất

    • Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng
    • Biến đa giác thành đa giác đồng dạng với đa giác đã cho theo tỷ số
    • Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính là,,,

    4. Tâm vị tự của hai đường tròn

    5. Các dạng toán điển hình

    • Xác định phương trình ảnh d’ của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) và tỷ số k
    • Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép vị tự
    • Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép vị tự
    • Chứng minh các yếu tố hình học
    • Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước
    • Dựng hình

    C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

    --- Bài cũ hơn ---

  • Độ Ph Là Gì? Làm Sao Để Cân Bằng Độ Ph Nước Bể Bơi (Hiệu Quả)?
  • Giúp Hs Lớp 2 Giải Toán Giuphocsinhlop2Giaibaitoandienso Doc
  • Tổng Hợp 78 Bài Luyện Thi Violympic Toán Lớp 2
  • Các Dạng Toán Lớp 7 Và Phương Pháp Giải
  • Sách Bồi Dưỡng Các Dạng Toán Nâng Cao Lớp 6 Có Lời Giải
  • Công Thức Phép Quay Dễ Hiểu

    --- Bài mới hơn ---

  • Dạng Bài Tập Về Phép Quay 90 Độ Cực Hay
  • Tìm Ảnh Của Một Điểm Qua Phép Quay
  • Tìm Phương Trình Đường Tròn Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Tìm Tọa Độ Điểm Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Phép Biến Hình Phép Tịnh Tiến
  • Published on

    1. 1. ViệtTríEdu-Nâng tầm tri thức Thầy Huỳnh Tấn Hiếu ĐH Bách Khoa- ĐHQG TPHCM ,……………………………………………………………….ĐH Kinh Tế TPHCM 1 chúng tôi Gia Sư Việt Trí 301/28 Dương Bá Trạc,Q8 Hotline:01656 156 268 PHÉP QUAY 1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác  . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và  , ‘OM OM  được gọi là phép quay tâm O góc quay  Chú ý :  Chiều dương của phép quay là chiều dưong của đường tròn lượng giác ( quay ngược chiều quay của kim đồng hồ) và chiều âm là chiều ngược lại.   , 2O k Q  k  : là phép đồng nhất.   , 2O k Q   k  : là phép đối xứng tâm O 2. Tính chất :  Phép quay là một phép dời hình ( bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ)  Phép quay biến : Đường thẳng thành đường thẳng, Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với nó, Tam giác thàng tam giác bằng với nó, Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính., 3. Biểu thức toạ độ : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm  ;M x y và góc lượng giác  Vì : M I M’ ’; ‘x y   ‘ , ‘ OM r Ox OM             , ‘ ‘ , ‘O OM OM Q M M OM OM       Gọi điểm  ;M x y . Đặt : OM r và góc lượng giác  ,Ox OM  Ta có : cos sin x r M y r      ))  x y O M M’  ,O Q  ‘y ‘x x y
    2. 2. ViệtTríEdu-Nâng tầm tri thức Thầy Huỳnh Tấn Hiếu ĐH Bách Khoa- ĐHQG TPHCM ,……………………………………………………………….ĐH Kinh Tế TPHCM 2 chúng tôi Gia Sư Việt Trí 301/28 Dương Bá Trạc,Q8 Hotline:01656 156 268 Toạ độ điểm  ’ ‘; ‘M x y :     ‘ cos ‘ sin x r y r                ‘ cos cos sin sin cos sin ‘ sin cos cos sin sin cos x r x y y r x y                       M ;x y I M’ ’; ‘x y ‘ cos sin ‘ sin cos x x y y x y           Phép quay tâm O góc quay  Góc quay  Toạ độ điểm  ’ ‘; ‘M x y Ghí chú 900 0 0 0 0 ‘ cos90 sin90 ‘ ” sin90 cos90 x x y x y y xy x y           ‘OM OM – 900         0 0 0 0 ‘ cos 90 sin 90 ‘ ” sin 90 cos 90 x x y x y y xy x y               ‘OM OM 600 0 0 0 0 1 3 ‘ ‘ cos60 sin60 2 2 ‘ sin60 cos60 3 1 ‘ 2 2 x x y x x y y x y y x y              – 600         0 0 0 0 1 3 ” cos 60 sin 60 2 2 3 1’ sin 60 cos 60 ‘ 2 2 x x yx x y y x y y x y                   450 0 0 0 0 2 2 ‘ ‘ cos45 sin 45 2 2 ‘ sin 45 cos45 2 2 ‘ 2 2 x x y x x y y x y y x y             
    3. 3. ViệtTríEdu-Nâng tầm tri thức Thầy Huỳnh Tấn Hiếu ĐH Bách Khoa- ĐHQG TPHCM ,……………………………………………………………….ĐH Kinh Tế TPHCM 3 chúng tôi Gia Sư Việt Trí 301/28 Dương Bá Trạc,Q8 Hotline:01656 156 268 – 450         0 0 0 0 2 2 ” cos 45 sin 45 2 2 2 2′ sin 45 cos 45 ‘ 2 2 x x yx x y y x y y x y                   300 0 0 0 0 3 1 ‘ ‘ cos30 sin30 2 2 ‘ sin30 cos30 1 3 ‘ 2 2 x x y x x y y x y y x y              – 300         0 0 0 0 3 1 ” cos 30 sin 30 2 2 1 3’ sin 30 cos 30 ‘ 2 2 x x yx x y y x y y x y                   1200 0 0 0 0 1 3 ‘ ‘ cos120 sin120 2 2 ‘ sin120 cos120 3 1 ‘ 2 2 x x y x x y y x y y x y               0 1 cos120 2   0 3 sin120 2  – 1200         0 0 0 0 1 3 ” cos 120 sin 120 2 2 3 1’ sin 120 cos 120 ‘ 2 2 x x yx x y y x y y x y                   0 1 cos( 120 ) 2    0 3 sin( 120 ) 2    00 0 0 0 0 ‘ cos0 sin0 ‘ ” sin0 cos0 x x y x x y yy x y          Phép đồng nhất 1800 0 0 0 0 ‘ cos180 sin180 ‘ ” sin180 cos180 x x y x x y yy x y            Phép đối xứng tâm O – 1800         0 0 0 0 ‘ cos 180 sin 180 ‘ ” sin 180 cos 180 x x y x x y yy x y                Phép đối xứng tâm O

    Recommended

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phép Quay & Phép Vị Tự
  • Mười Công Đức Họa Vẽ Hình Chư Phật
  • 1001 Thắc Mắc: Ong Vò Vẽ Kinh Khủng Ra Sao, Làm Thế Nào Để Nhận Biết Chúng?
  • Ong Vò Vẽ Xây Tổ Như Thế Nào?
  • Xử Lý Tổ Ong Vò Vẽ Thế Nào Cho An Toàn?
  • Tìm Ảnh Của Một Điểm Qua Phép Quay

    --- Bài mới hơn ---

  • Tìm Phương Trình Đường Tròn Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Tìm Tọa Độ Điểm Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Phép Biến Hình Phép Tịnh Tiến
  • Mối Quan Hệ Giữa Đại Số
  • Cách Tạo Nhân Vật Dạng Điểm Ảnh (Pixel)
  • Trong chuyên đề về phép biến hình, thầy có viết được khá nhiều bài giảng về các dạng bài tập sử dụng phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm. Nội dung chính của dạng bài tập đó chủ yếu dựa vào việc tìm tọa độ điểm hay là tìm ảnh của một điểm.

    Trong bài giảng này thầy giới thiệu tới các bạn phép quay, đặc biệt thầy sẽ chia sẻ với các bạn công thức dùng để tìm ảnh của một điểm qua phép quay. Các bạn cũng có thể hiểu công thức này dùng để tìm tọa độ của một điểm qua phép quay.

    Đối với phép quay thì chúng ta cần quan tâm tới tâm quay và góc quay. Tâm quay ở đây thông thường người ta hay cho là điểm O (gốc tọa độ), còn không thì có thể bài toán cho điểm $I$ bất kì khác điểm $O$. Đối với góc quay có thể âm hoặc dương. Âm hay ương phụ thuộc vào chiều quay, theo chiều kim đồng hồ là chiều âm, ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương.

    1. Công thức tìm ảnh của một điểm qua phép quay

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $I(a;b)$ cố định. Xét phép quay tâm I, góc quay $varphi$. Giả sử cho điểm $M(x;y)$ và điểm $M'(x’;y’)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép quay tâm I. Khi đó ta có:

    $left{begin{array}{ll}x’=(x-a)cosvarphi -(y-b)sinvarphi +a\y’=(x-a)sinvarphi +(y-b)cosvarphi +bend{array}right.$

    Trường hợp đăc biệt:

    Trong nhiều bài toán người ta cho tâm quay I là điểm $O(0;0)$. Khi đó biểu thức tọa độ của phép quay tâm O có dạng như sau:

    $left{begin{array}{ll}x’=xcosvarphi -ysinvarphi\y’=xsinvarphi +ycosvarphiend{array}right.$

    Trong biểu thức trên tọa độ của điểm I được thay bằng tọa độ của điểm O nên biểu thức gọn và đẹp hơn rất nhiều.

    2. Bài tập áp dụng

    Bài 1: Tìm ảnh của 3 điểm $A(3;-2); B(0;4)$ qua phép quay tâm O là gốc tọa độ, góc quay là $-frac{pi}{4}$ Hướng dẫn giải:

    Khi đọc xong bài này, ta thấy ngay góc quay người ta cho mình là gốc tọa độ O nên việc xác định ảnh của các điểm trên là một côn việc khá dễ dàng. Chỉ việc thay vào biểu thức tọa độ là bài toán được giải quyết

    Thầy nhắc lại biểu thức tọa độ xuống đây để các bạn tiện theo dõi:

    $left{begin{array}{ll}x’=xcosvarphi -ysinvarphi\y’=xsinvarphi +ycosvarphiend{array}right.$

    Với bài toán trên thì góc quay của chúng ta là $varphi=-frac{pi}{4}$

    a. Tìm tọa độ ảnh của điểm $A(3;-2)$

    Gọi tọa độ ảnh của điểm A là $A'(x’;y’)$. Khi đó ta có:

    $left{begin{array}{ll}x’=xcosvarphi -ysinvarphi\y’=xsinvarphi +ycosvarphiend{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=3cos(-frac{pi}{4}) -(-2)sin(-frac{pi}{4})\y’=3sin(-frac{pi}{4}) -2cos(-frac{pi}{4})end{array}right.$

    $Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=3(frac{sqrt{2}}{2}) +2(-frac{sqrt{2}}{2})\y’=3(-frac{sqrt{2}}{2}) -2(frac{sqrt{2}}{2})end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=frac{3sqrt{2}}{2}-frac{2sqrt{2}}{2}\y’=-frac{3sqrt{2}}{2} -frac{2sqrt{2}}{2}end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=frac{sqrt{2}}{2}\y’=-frac{5sqrt{2}}{2}end{array}right.$

    Vậy tọa độ của điểm $A’$ là $A'(frac{sqrt{2}}{2};-frac{5sqrt{2}}{2})$

    b. Tìm tọa độ ảnh của điểm $B(0;4)$

    Gọi tọa độ ảnh của điểm B là $B'(x’;y’)$. Khi đó ta có:

    $left{begin{array}{ll}x’=xcosvarphi -ysinvarphi\y’=xsinvarphi +ycosvarphiend{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=0.cos(-frac{pi}{4}) -4sin(-frac{pi}{4})\y’=0.sin(-frac{pi}{4}) +4cos(-frac{pi}{4})end{array}right.$

    $Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=0.(frac{sqrt{2}}{2}) -4(-frac{sqrt{2}}{2})\y’=0.(-frac{sqrt{2}}{2}) +4(frac{sqrt{2}}{2})end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=4frac{sqrt{2}}{2}\y’=4frac{sqrt{2}}{2}end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{ll}x’=2sqrt{2}\y’=2sqrt{2}end{array}right.$

    Vậy tọa độ của điểm $B’$ là $B'(2sqrt{2};2sqrt{2})$

    Các bạn thấy công thức trên dùng để tìm ảnh của một điểm qua phép quay có đơn giản và dễ làm không? Qua dễ làm phải không? Cái gì mà chỉ việc thay vào công thức có sẵn thì hầu như là đơn giản. Một bài tập là đủ cho các bạn tham khảo rồi, điều quan trọng là thầy đã giới thiệu với các bạn công thức tìm tọa độ điểm ảnh. Các bạn có thể tìm thêm bài tập để áp dụng cho công thức trên.

    SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dạng Bài Tập Về Phép Quay 90 Độ Cực Hay
  • Công Thức Phép Quay Dễ Hiểu
  • Phép Quay & Phép Vị Tự
  • Mười Công Đức Họa Vẽ Hình Chư Phật
  • 1001 Thắc Mắc: Ong Vò Vẽ Kinh Khủng Ra Sao, Làm Thế Nào Để Nhận Biết Chúng?
  • Phép Biến Hình Phép Tịnh Tiến

    --- Bài mới hơn ---

  • Mối Quan Hệ Giữa Đại Số
  • Cách Tạo Nhân Vật Dạng Điểm Ảnh (Pixel)
  • Tải Tô Màu Theo Số Sách Vẽ Hình Pixel Cho Máy Tính Pc Windows Phiên Bản
  • Chỉ Mẹ Cách Dạy Bé Vẽ Và Tô Màu Tranh Bé Tập Thể Dục
  • Chép Phạt Thể Dục Bằng Tranh Vẽ, Có Tâm Thế Này Thi Không Qua Nữa Thì Cũng Thua!
  • A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

    I. PHÉP BIẾN HÌNH

    Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

    Ta thường kí hiệu phép biến hình thành F và viết F(M) = M” hay M” = F(M), khi đó điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

    Nếu H là một hình nào đó trong hai mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’, hay H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.

    Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể chứng minh: Với điểm M tùy ý thuộc H thì F(M) ∈ H’ và với mỗi M’ thuộc H’ thì có M ∈ H sao cho F(M) = M’.

    Phép biến hình biến mỗi đểm M của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

    II. PHÉP TỊNH TIẾN

    Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ (h.1.1).

    Phép tịnh tiến theo thường được kí hiệu là .

    Nhận xét: Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

    III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

    Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x; y) và vectơ (a; b). Gọi điểm M'(x’; y’) = (M).

    IV. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

    Phép tịnh tiến

    1) Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;

    2) Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;

    3) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho ;

    4) Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho ;

    5) Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

    B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

    Xác định ảnh của một hình qua một phép tịnh tiến

    Dùng định nghĩa hoặc biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

    Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ .

    Khi đó ảnh của điểm C là điểm E. Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ là tam giác DCE.

    Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho = (- 2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x – 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến .

    Giải

    Cách 1. Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (-1 ; 0). Khi đó M’ = (M) = (-1 – 2 ;0 + 3) = (-3 ; 3) thuộc d’. Vì d’ song song với d nên phương trình của nó có dạng 3x – 5y + C = 0. Do M’ ∈ d’ nên 3(-3) – 5. 3 + C = 0. Từ đó suy ra C = 24. Vậy phương trình của d’ là 3x – 5y + 24 = 0.

    Cách 3. Ta cũng có thể lấy hai điểm phân biệt M, N trên d, tìm toạ độ các ảnh M’, N’ tương ứng của chúng qua . Khi đó d’ là đường thẳng M’N’

    Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

    Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ = (-2 ; 3).

    Giải

    Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm I(1; -2), bán kính r = 3. Gọi I’ = (I) = (1 – 2; – 2 + 3) = (-1 ; 1) và (C’) là ảnh của (C) qua thì (C’) là đường tròn tâm /’ bán kính r = 3. Do đó (C’) có phương trình

    Do đó (C’) có phương trình :

    Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán dựng hình.

    1. Phương pháp giải

    Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem điểm M như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép tịnh tiến.

    2. Ví dụ

    Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-1 ; -1), B( 3 ; 1), C(2 ; 3). Um toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

    Giải

    Xem điểm D(x ; y) là ảnh của điểm c qua phép tịnh tiến theo vectơ = (-4 ; -2). Từ đó suy ra x = 2- 4 = -2; y = 3 – 2 = 1.

    song hoặc trùng với d (hay Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng d và dị cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song ). Hãy tìm điểm M trên d và điểm M’ trên dị để tứ giác ABMM’ là hình bình hành.

    Khi đó điểm M’ vừa thuộc vừa thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ . Từ đó suy ra cách dựng :

    • Dựng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
    • Dựng M’ = ∩ d’
    • Dựng điểm M là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ .

    Dễ thấy tứ giác ABMM’ chính là hình bình hành thoả mãn yêu cầu của đầu bài.

    Vấn đề 3

    Dùng phép tịnh tiến để giải một số bải toán tìm tập hợp điểm

    1. Phương pháp giải

    Chứng minh tập hợp điểm phải tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép tịnh tiến.

    Giải

    Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Vì = 90°, nên DC // AH (h.1.4). Tương tự AD // CH. Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành. Từ đó suy ra

    của A qua phép tịnh tiến theo vectơ 2tịnh tiến theo vectơ 2 = . Do đó khi điểm A di động trên đường tròn (O) thì H di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép . = 2. Ta thấy rằng không đổi, nên có thể xem H là ảnh

    C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

    1.1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho = (2 ; -1), điểm M = (3 ; 2). Tìm toạ độ của các điểm A sao cho :

    a) A = (M);

    b) M = (A).

    1.2. Trong mặt phẳng Oxy cho = (-2 ; 1), đường thẳng d có phương trình

    2x – 3y + 3 = 0, đường thẳng có phương trình 2x – 3y – 5 = 0.

    a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua .

    b) Tìm toạ độ của có giá vuông góc với đường thẳng d để là ảnh của d qua .

    1.3. Trong mặt phẳng Oxỵ cho đường thẳng d có phương trình 3x – ỵ – 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc toạ độ và viết phương trình đường thẳng d’.

    1.4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình . Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ = (-2 ; 5).

    1.5. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tìm Tọa Độ Điểm Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Tìm Phương Trình Đường Tròn Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Tìm Ảnh Của Một Điểm Qua Phép Quay
  • Dạng Bài Tập Về Phép Quay 90 Độ Cực Hay
  • Công Thức Phép Quay Dễ Hiểu
  • Dạng Bài Tập Về Phép Quay 90 Độ Cực Hay

    --- Bài mới hơn ---

  • Tìm Ảnh Của Một Điểm Qua Phép Quay
  • Tìm Phương Trình Đường Tròn Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Tìm Tọa Độ Điểm Bằng Phép Tịnh Tiến
  • Phép Biến Hình Phép Tịnh Tiến
  • Mối Quan Hệ Giữa Đại Số
  • Dạng bài tập về phép quay 90 độ cực hay

    A. Phương pháp giải

    . Bài toán xác định vị trí của điểm, hình khi thực hiện phép quay cho trước

    Bước 1. Xác định tâm quay và góc quay theo yêu cầu bài toán.

    Bước 2. Áp dụng các kiến thức sau:

    Bước 3. Kết luận.

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

    a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 90°

    b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 90°

    c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90°

    Hướng dẫn giải:

    a)

    Dựng đoạn thẳng AB’ bằng đoạn thẳng AB sao cho (Vị trí B’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Khi đó:

    * Vậy B’ à ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 90°

    b)

    * Dựng đoạn thẳng AC’ bằng đoạn thẳng AC sao cho (Vị trí C’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    *

    Mặt khác, Q(A,90°)(B) = B’ (theo câu a) (2)

    * Từ (1) và (2) suy ra: Q(A,90°)(BC) = B’C’

    c)

    * Dựng đoạn thẳng GA’ bằng đoạn thẳng GA sao cho (Vị trí A’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Dựng đoạn thẳng GB” bằng đoạn thẳng GB sao cho (Vị trí B” như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Dựng đoạn thẳng GC” bằng đoạn thẳng GC sao cho (Vị trí C” như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Khi đó:

    Từ (1),(2),(3) suy ra: Q(G,90°)(ΔABB) = ΔAB”C”

    Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD tâm O ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

    a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 90°

    b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 90°

    Hướng dẫn giải:

    a) Gọi E là điểm đối xứng của C qua D.

    Khi đó:

    Vậy E là ảnh của C qua phéo quay tâm A, góc quay 90°

    b) Vì ABCD là hình vuông nên

    Từ (1) và (2) suy ra: Q(O,90°)(BC) = CD

    Vậy CD là ảnh của BC qua phép quay tâm O góc quay 90°

    Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5); đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường tròn (C): (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 16

    a) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay -90°.

    b) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.

    c) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90°

    Hướng dẫn giải:

    a)

    Cách 1:

    +) Do Q(O,90°)(A) = B nên dựa vào vẽ bên ta suy ra: B(5;1).

    Cách 2:

    +) Do Q(O,90°)(A) = B nên .

    Vậy B(5;1).

    b) Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ vuông góc với d.

    Phương trình đường thẳng d’ có dạng: x + 3y + m = 0.

    Lấy A(0;2) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d’. Khi đó m = -2.

    Vậy phương trình đường d’ là x + 3y – 2 = 0.

    c) Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4.

    Khi đó: Q(O,90°)(I) = I'(1;4) và bán kính R’ = R = 4.

    C. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA ( thứ tự các điểm A,B,C,D như hình vẽ)

    Tìm ảnh của ΔAMN qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

    A. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OB

    B. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OA, OB

    C. ΔAM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OD

    D. ΔAM’N’ với M’, N’ lần lượt là là trung điểm BC, OB

    Lời giải.

    Chọn D.

    Câu 2. Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (như hình vẽ). Tìm ảnh của ΔABG trong phép quay tâm B, góc quay -90°.

    A. ΔCBE

    B. ΔCBF

    C. ΔCBG

    D. ΔCBD

    Lời giải

    Chọn A.

    Câu 3. Cho hình vuông ABCD có tâm là O,. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA ( xem hình vẽ)

    Tìm ảnh của tam giác ODN qua phép quay tâm O góc quay -90°.

    A. ΔOCP

    B. ΔOCM

    C. ΔMCP

    D. ΔNCP

    Lời giải

    Chọn A

    +) Ta có:

    Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M(-6;1) qua phép quay Q(O,90°) là:

    A. M(1;6).

    B. M(-1;-6).

    C. M(-6;-1).

    D. M(6;1).

    Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(2;0) và điểm N(0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là

    A. φ = 30°.

    B. φ = 45°.

    C. φ = 90°.

    D. φ = 270°.

    Lời giải

    Chọn C

    + Q(O;φ)⁡: M(x;y) ↦ N(x’;y’). Khi đó:

    Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B(-3;6). Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay(-90°).

    A. E(6;3).

    B. E(-3;-6).

    C. E(-6;-3).

    D. E(3;6).

    Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: x + 2y – 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ’ là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O góc 90°?

    A. 2x – y + 6 = 0.

    B. 2x – y-6 = 0.

    C. 2x + y + 6 = 0.

    D. 2x + y-6 = 0.

    Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + y 2 = 8. Viết phương trình đường tròn (C 1) sao cho (C) là ảnh của đường tròn (C 1) qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

    Lời giải

    Chọn A

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Công Thức Phép Quay Dễ Hiểu
  • Phép Quay & Phép Vị Tự
  • Mười Công Đức Họa Vẽ Hình Chư Phật
  • 1001 Thắc Mắc: Ong Vò Vẽ Kinh Khủng Ra Sao, Làm Thế Nào Để Nhận Biết Chúng?
  • Ong Vò Vẽ Xây Tổ Như Thế Nào?
  • Phép Biến Hình & Phép Tịnh Tiến

    --- Bài mới hơn ---

  • Phương Pháp Giải Bài Tập Peptit
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Peptit Và Protein
  • Cách Giải Bài Tập Về Phản Ứng Thủy Phân Peptit, Protein Hay, Chi Tiết
  • Phân Dạng Bài Tập Về Peptit
  • Các Dạng Bài Tập Về Peptit Và Phương Pháp Giải
  • Published on

    www.toanhocdanang.com

    www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

    1. 1. HÌNH HỌC 11 GV: PHAN NHẬT NAM PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN AI(-1; 0) O D(1; 0)
    2. 2. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 chúng tôi CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU I . Các ký hiệu và thuật ngữ của phép biến hình : 1. Định nghĩa: Nếu ký hiệu phép biến hình là f thì ta viết ‘)( MMf  khi đó M’ được gọi là ảnh của M qua phép biến hình f . 2. Phép biến hình của một hình: (H) là một hình tùy ý tronng mặt phẳng và f là một phép biến hình trong mặt phẳng : Phép biến hình f biến (H) thành (H’)   )(/)(‘)'( MfMMfMH  Vậy để chứng minh (H’) là ảnh của (H) qua phép biến hình f ta cần chứng minh :  M’  (H’)   M  (H) : ‘)( MMf  3. Phép đồng nhất : Phép biến hình mà biến mỗi điểm M tùy ý trên mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. 4. Phép giời hình: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì Giải sử f là một phép biến hình tùy ý : Nếu ‘ ‘MN M N thì f là một phép dời hình: Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho phép biến hình f : a. Chứng minh f là phép dời hình. b. Tìm ảnh của đường thẳng : 2 5 0x y    qua phép dời hình f c. Tìm ảnh của đường tròn     2 2 ( ): 1 2 2C x y    qua phép dời hình f d. Tìm ảnh của elip 2 2 ( ): 1 3 2 x y E   qua phép dời hình f Giải : a. Trong mặt phẳng Oxy, xét hai điểm tùy ý : 1 1( ; )M x y và 2 2( ; )N x y Khi đó : (H) (H’) = (H) : M M’= N N’= : M(x; y) M'(x’; y’) = : M’=
    3. 3. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 chúng tôi Ta có:  1 1′ 3; 1M x y  ,  2 2′ 3; 1N x y          2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1′ ‘ ( 3) ( 3) ( 1) ( 1)M N x x y y x x y y MN             Do đó f là một phép dời hình  dfcm b. Cách 1: (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của f ) Xét ( ; )M x y  ta có Khi đó ta có:   ‘ 3 ‘ 3 ‘ 3; ‘ 1 ‘ 1 ‘ 1 x x x x M x y y y y y                Vì 2 5 0 ( ‘ 3) 2( ‘ 1) 5 0M x y x y           ‘ 2 ‘ 4 0 ‘ ‘: 2 4 0x y M x y         Vậy ảnh của  qua phép dời hình f là ‘: 2 4 0x y    Cách 2: (Sử dụng tính chất của đường thẳng) Chọn 2 điểm phân biệt M(5; 0), N(1; 2) thuộc đường thẳng : 2 5 0x y    khi đó ta có: Gọi ‘ ( ) ‘f     đi qua hai điểm M'(2; 1) và N'(-2; 3) ‘(2;1) ‘ 2 1 ‘: ‘: 2 4 0 4 2’ ‘ (4; 2) M x y x y co VTCP N M                c. Cách 1: (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của f ) Xét ( ; ) ( )M x y C  ta có : N’= : M(x; y) M'(x’; y’) = : M(5; 0) M’= = (5 – 3; 0 + 1) = (2 ; 1) N(1; 2) N’= = (1 – 3; 2 + 1) = (-2 ; 3) : M(x; y) M'(x’; y’) =
    4. 4. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 chúng tôi Khi đó ta có:   ‘ 3 ‘ 3 ‘ 3; ‘ 1 ‘ 1 ‘ 1 x x x x M x y y y y y                Vì 2 2 2 2 ( ) ( ‘ 3 1) ( ‘ 1 2) 2 ( ‘ 4) ( ‘ 3) 2M C x y x y             2 2 ‘ ( ‘):( 4) ( 3) 2M C x y      Cách 2: (Sử dụng tính chất đường tròn) Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và bán kính 2R  Gọi C'(I’,R’) là ảnh của (C) qua phép dời hình f khi đó ta có: ‘ ( )I f I và ‘ 2R R  (vì f là phép dời hình nên không thay đổi kích thước của hình ) Vậy ảnh của (C) qua phép dời hình f là 2 2 ( ‘):( 4) ( 3) 2C x y    d. (Sử dùng biểu thức tọa độ đặt trưng của f ) Xét ( ; ) ( )M x y C  ta có Khi đó ta có:   ‘ 3 ‘ 3 ‘ 3; ‘ 1 ‘ 1 ‘ 1 x x x x M x y y y y y                Vì 2 2 2 2 ( ‘ 3) ( ‘ 1) ( 3) ( 1) ( ) 1 ‘ ( ‘) : 1 3 2 3 2 x y x y M E M E             Vậy ảnh của (E) qua phép dời hình f là 2 2 ( 3) ( 1) ( ‘) : 1 3 2 x y E     5. Tính chất của phép dời hình: a. Định lý : Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn tỷ số khoảng cách của chúng. Biến 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng. b. Hệ quả: Phép dời hình biến :  Đường thẳng thành đường thẳng  Tia thành tia  Đoạn thẳng thành đoạn thẳng  Tam giác tành tam giác bằng nó (đồng thời biến các tâm của tam giác này thành tâm của tam giác kia(tam giác ảnh)) : I(-1; 2) I’ = : M(x; y) M'(x’; y’) =
    5. 7. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 chúng tôi PHÉP TỊNH TIẾN A. Cơ sở lý thuyết : 1. Định nghĩa : v T : phép tịnh tiến theo vectơ v vMMMM  ‘:’! . M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v Ký hiệu : )(‘ MTM v  hoặc v T : M M’  Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định nếu ta biết được vectơ tịnh tiến của nó.  Khi vectơ tịnh tiến là vectơ không thì phép tịnh tiến đó biến mọi điểm M thành chính nó. Ta gọi phép tịnh tiến theo vectơ không là phép đồng nhất. 2. Biểu thức tọa độ : Cho vectơ );( bav . Khi đó ta có phép tịnh tiến : có tọa độ được xác định theo công thức      byy axx ‘ ‘ 3. Tính chất của phép tịnh tiến : i. Định lý : Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tức là : v T : M M’ N N’  MN = M’N’ { hơn nữa khi đó ta có : ”NMMN  } ii. Hệ quả :  Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của chúng.  Phép tịnh tiến theo vectơ v biến :  Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.  Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.  Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}. B. Các dạng toán thường gặp : I. Các bài toán tọa độ : 1. Xác định pt ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ );( bav : Phương pháp 1:  Chọn điểm M(x0 ; y0) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vectơ pháp tuyến );( BAn của đường thẳng d.  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M'(x0′ ; y0′) là ảnh của M qua phép tịnh tiến v T . M'(x’ ; y’): M(x ; y)
    6. 8. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 chúng tôi  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến );( BAn 0)'()'(:)'( 00  yyBxxAd  Phương pháp 2:  Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M'(x0′ ; y0′) và N'(x1′ ; y1′) là ảnh của M và N qua phép tịnh tiến v T .  Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’ ” ‘ ” ‘ :)'( 10 1 10 1 yy yy xx xx d       2. Xác định pt ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ );( bav :  Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (C).  Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O'(x0′ ; y0′) của tâm O qua phép tịnh tiến v T .  Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính R :     22 0 2 0 ”:)'( RyyxxC  3. Xác định pt ảnh (H’) của đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ );( bav :  Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .  Gọi M'(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến v T )’;'( ‘ ‘ byaxM byy axx         0)’;'()(  byaxfHM  (H’) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến v T  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’ 0);(:)'(  byaxfH Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (Oxy) cho  1; 2u   a. Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau : Đường thẳng a có phương trình : 3x – 5y + 1 = 0 Đường thẳng b có phương trình : 2x + y + 100 = 0 b. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ) : 2 2 4x 1 0x y y     c. Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) : 2 2 1 9 4 x y   d. Viết phương trình ảnh của (H) : 2 2 1 16 9 x y   Giải: a. Gọi ( ; )M x y a  . Xét tịnh tiến M'(x’ ; y’): M(x ; y) a a’
    7. 9. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 chúng tôi Theo biểu thức tọa độ ta có: ‘ 1 ‘ 1 ( ‘ 1; ‘ 2) ‘ 2 ‘ 2 x x x x M x y y y y y                 Ta có: ( ‘ 1; ‘ 2) 3( ‘ 1) 5( ‘ 2) 1 0M x y a x y         3 ‘ 5 ‘ 7 0 ‘ ‘:3 5 7 0x y M a x y         Vậy ( ) ‘u T a a thì ‘:3 5 7 0a x y   Hoàn toàn tương tự ta có : ( ‘ 1; ‘ 2)M x y b   2( ‘ 1) ( ‘ 2) 100 0 2 ‘ ‘ 100 0x y x y          Do đó ‘b b (tức là ‘:2 100 0b x y   ) {vì b cùng phương với  1; 2u   } b.       2 2 ‘ 1 ‘ 2 4 ‘ 1 ‘ 2 1 0x y x y         hay (C’): 2 2 6x 5 10 0x y y     c.         2 2 2 2 ‘ 1 ‘ 2 1 2 1 ( ‘): 1 9 4 9 4 x y x y E          d.         2 2 2 2 ‘ 1 ‘ 2 1 2 1 ( ‘): 1 16 9 16 9 x y x y H          II. Các bài toán hình học cổ điển : 1. Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học :  Từ giả thuyết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định.  Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được. (tức là dựng một hình bình hành phù hợp sao cho một cạnh chứa 2 điểm vừa xác định ở bước trên)  Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác định các tính chất của hình. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm B’sao cho tia B’B cắt cạnh AC. Phía ngoài tam giác ABC dựng các hình bình hành BB’A’A, BB’C’C và AA”C”C sao cho A là trung điểm của đoạn AA”. Chứng minh rằng : ” ” ‘ ‘ ‘ ‘AA C C BB A A BB C CS S S  (với ( )HS : diện tích của hình (H)) Giải: Ta có: BB’A’A , BB’C’C và AA”C”C là hình bình hành ‘ ‘B B A A  , ‘ ‘B B C C và ” “AA CC
    8. 10. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 chúng tôi Lại có A là trung điểm của A’A” ‘ “A A AA  Do đó : ‘ ” ” ‘ ‘A A AA CC C C B B    Theo định nghĩa phé tịnh tiến ta có: Mà ‘B B T là phép dời hình nên ta có A’B’C’CA và ABCC”A” là các ngũ giác bằng nhau ‘ ‘ ‘ ” “A B C CA ABCC AS S  Lại có : ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ” ” ‘ ‘ ‘ ‘ ” ” ” ‘ BB A A BB C C A B C CA ABC ACC A BB A A BB C C ACC A ABCC A ABC S S S S S S S S S S         (đpcm) Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có 6 3AB  cm, 12CD  cm, 0 60BAD  , 0 150ABC  , 0 90ADC  . Tính độ dài các cạnh BC và DA. Giải: Xét phép tịnh tiến : Khi đó ta có : AM BC và AB = MC = 6 3 Do đó: ABCM là hình bình hành 0 0 180 30BCM ABC    (vì 0 150ABC  ) Lại có: 0 0 0 360 ( ) 60 30BCD A B D MCD       Theo định lý cosin cho tam giác MDC ta có: 2 2 2 2 . cos 36 6MD CM CD CM CD MCD MD      cm. Ta có: 2 2 2 144MC MD DC MDC     vuông tại M 0 0 60 30MDC MDA    A A” A’ C” C C’ B’ B A: A’ A’B’C’CA ABCC”A” CC’ BB’ A”A C”C A D B C M M: A
    9. 11. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 chúng tôi DMA  cân tại M (vì 0 0 60 30MAD MAB   ) 0 0 6 6 .sin 6.sin120 6 3 6 3 sin30sin sin sin BC MA MD BC cm AD DM DM AMD AD AD cm AMD MAD MAD                2. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước : (quỹ tích)  Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho vEM  không đổi. (tức là phải tìm ra một hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định)  Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E.  Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) – ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ v Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi . Biết AB = a và CD = b (với a, b khôngđổi). Tìm quỹ tích điểm C trong các trường hợp sau a. Góc 0 90ADB  b. DA = DB Giải: a.  Gọi I là trung điểm AB I cố định gt ADB  vuông tại D  2 2 AB a ID IA IB    Do đó điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm I và bán kính 2 a R  bỏ đi hai điểm A và B ((C):cố định)  Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho: ‘AA b AB a  ‘AA CD là hình bình hành  ‘DC AA (với ‘AA cố định) . Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: Mà điểm D chạy trên đường tròn (C) nên điểm C sẽ chạy trên đường tròn (C’). Vậy tập hợp tất cả các điểm C là đường tròn (C’) tâm  ’ ‘ AA I T I và bán kính 2 a R  bỏ đi hai giao điểm của (C’) và đường thẳng AB. A B D C I I’A’
    10. 12. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 chúng tôi b.  Gọi d là trung trực của AB  d cố định (vì A, B cố định) theo giả thiết ta có DA DB D chạy trên d (bỏ trung điểm AB)  Goi A’ thuộc cạnh AB sao cho: ‘AA b AB a  ‘AA CD là hình bình hành  ‘DC AA (với ‘AA cố định) . Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’. Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng  ’ ‘ AA d T d ,bỏ giao điểm của d’ và đường thẳng AB Ví dụ 2: Cho hai điểm B,C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó . Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định . Giải: Kẻ đường kính BB’ . Ta có : ‘ ‘ / / AB AB AB CH CH AB    Tương tự ta lại có: ‘ / /B C AH ‘AHCB là hình bình hành ‘AH B C  mà ‘B C là vectơ cố định, nên theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: Lại có A chạy trên đường tròn (O,R) nên điểm H chạy trên (O’,R).( với ‘ ‘ ( )B C O T O ) Vậy quỹ tích của điểm H là đường tròn tâm ‘ ‘ ( )B C O T O (tức là OO’ ‘B C )và bán kính R. H: A (O, R) (O’,R) . A B B’ C H O O’ BA’A D C
    11. 13. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 chúng tôi Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B . Gọi d là đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O) , (O’) lần lượt tại M và N. Lấy điểm P trên tia AM, điểm Q trên tia AN sao cho AP = AQ = 1 2 MN . a. Tìm tập hợp tất cả các điểm P b. Tìm tập hợp tất cả các điểm Q. Giải: Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của O, O’lên đường thẳng d Gọi I’ là hình chiếu của O lên O’H’ I là hình chiếu của O’ lên OH K là trung điểm của OO’ Khi đó ta có: 0 ‘ ‘ 90OI O   I’ chạy trên đường tròn (K) 0 ‘ 90OIO   I chạy trên đường tròn (K) Với (K) là đường tròn cố định (vì (K)có đường kính OO’ cố định) a. Ta có: OI’H’H là hình chữ nhât (vì có 3 góc vuông) 1 ‘ ‘ 2 OI HH MN   mà theo giả thiết ta lại có 1 2 AQ MN ‘AQ OI   AOI’Q là hình bình hành ‘I Q OA  Lại có hai điểm O và A cố định nên OA cố định , Do đó ta có phép tịnh tiến sau: Lại có điểm I’ chạy trên đường trong (K) nên điểm Q chạy trên đường tròn  ( ‘) ( )OA K T K Vậy quỹ tích của Q là đường tròn  ( ‘) ( )OA K T K . A B N M Q P O’ O H H’ I I’ K. Q (K) (K’)
    12. 14. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 chúng tôi (với tâm K’ được xác định bởi đẳng thức ‘KK OA và bán kính ‘ 2 OO R  ) b. Hoàn toàn tương tự câu a ta có Quỹ tích của P là đường tròn tâm  ’ ( “) ( )O A K T K (với K” được xác định bởi đẳng thức ” ‘KK O A và có bán kính ‘ 2 OO R  ) Kinh nghiệm: Thông qua 2 ví dụ trên ta thấy : với bài toán quỹ tích trong phép tịnh tiến thì quan trọng nhất là ta phải dựng được một hình bình hành có một cạnh cố định và hai điểm thay đổi (trong đó có một điểm cần tìm quỹ tích và một điểm cho trước quỹ tích hoặc có tìm cũng rất đơn giản) Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi bằng 2 và A,B,D nằm trong đường tròn cố định O, bán kính R. Tìm quỹ tích của đỉnh C. Giải: Gọi H là trực tâm của tam giác ABD I là trung điểm BD A’ đối xứng A qua tâm O Khi đó ta có: / / ‘ ‘ BH AD BH A D A D AD    / / ‘ ‘ DH AB DH A B A B AB    Do đó ta có: BHDA’ là hình bình hành  I là trung điểm HA’  OI là đường trung bình của ‘AHA 2AH OI  (1)  2 2 2 1AH OI R    quỹ tích của điểm H là đường tròn (C) tâm A bán kính 2 2 1R  Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của AC .. A B A ‘ C D H I O
    13. 15. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 chúng tôi  OI là đường trung bình của ‘ACA ‘ 2A C OI  (2) Từ (1) và (2) ta có: ‘A C AH  AHCA’ là hình bình hành ‘HC AA  Lại có ‘AA cố định (vì A cố định và O cố định) Do đó theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có: Lại có H chạy trên đường tròn  2 , 2 1A R  nến C sẽ chạy trên đường tròn  2 ‘, 2 1A R  Vậy quỹ tích của điểm C là đường tròn tâm A’ (đối xứng A qua O) và bán kính 2 2 1R  3. Dựng hình :  (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và vectơ v không đổi cho trước sao cho khi thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M cần dựng.  Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng . Ví dụ: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) {với ‘R R } và đường thẳng  . Hãy dựng đường thẳng d song song với  và chắn đường tròn (O) , (O’) những dây cung bằng nhau. Giải: Phân tích: Giả sử dụng được đường thẳng d //  , cắt (O) và (O’) tại A, B và A’, B’ Khi đó ta có: ‘ ‘ ‘ ‘ ‘AB A B AA BB HH OI     Do đó ta có: O . .O’ A B A’ B’H K I x dH’ A’ (O,R) (I, R) B’B A A’
    14. 16. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 chúng tôi Mà A, B thuộc (O,R) nên A’, B’ thuộc (I,R) Cách dựng : Dựng tia ‘Ox O K (với k là hình chiếu của O’ lên  ) Gọi ‘I Ox O K  Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R Gọi    ’, ‘ ‘, ‘ ( , )A B O R I R  Dựng đường thẳng d đi qua hai điểm A’ và B’ Chứng minh: Vì    ’, ‘ ‘, ‘ ( , ) ‘ ‘ ‘ ‘A B O R I R A B O I d O K d       //  Xét phép tịnh tiến Do đó ta có: , ( , ) , ( , ) ‘ ‘ ‘ ‘ ,’ ‘ A B O R A B O R A B AB A B AB A B dA A B B IO               ( vì IO // d) Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi 2 đường tròn (I, R) và (O’,R’)cắt nhau. Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm hình. A (O,R)(I, R) BB’
    15. 17. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 chúng tôi BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(-3; 4) qua phép tịnh tiến vT trong các trường hợp sau a.  2;1v  b.  3; 2v   c.  3; 2v   Bài 2: Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ điểm B sao cho  v A T B trong các trường hợp sau: a.  2;1v  b.  3; 2v   c.  3; 2v   Bài 3: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho   ‘v T M M trong các trường hợp sau: a. M(-10; 1) và M'(3; 8) b. M(-5; 2) và M'(4; -3) c. M(2; 3) và M'(4; -5) Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 0), B(-2; 4), C(-4; 5). G là trọng tâm tam giác ABC và phép tịnh tiến theo vectơ 0u  biến A thành G. Tìm G’ là ảnh của G qua phép tịnh tiến đó. HD: G là trọng tâm của  ; 1; 3 3 3 A B C A B Cx x x y y y ABC G G                4; 3u G T A u AG     .   ‘ 1 4 ‘ 5 ‘( ‘; ‘) ‘( 5; 6) ‘ 3 3 ‘ 6u x x T G G x y G y y                 Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường tròn     2 2 ( ) : 1 3 2C x y    và 2 2 ( ‘): 10 4 25 0C x y x y     .Có hay không phép tịnh tiến vectơ 0u  biến (C) thanh (C’) HD: (C) có tâm I(1; -3), bán kính R = 2, (C’) có tâm I'(5; -2), bán kính R’ = 2 Do R = R’ = 2 nên tồn tại một phép tịnh tiến theo  ’ 4;1u II  biến (C) thành (C’) Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a)   1; 2v b) v = (2; 1) c) v = (-2; 1) d) v = (3; -2) Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):    2 2 1 2 4x y    Tìm phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a)  4; 3v   b) v = (2; 1) c) v = (-2; 1) d) v = (3; -2)
    16. 18. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 chúng tôi Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip     2 2 : 1 9 4 x y E Tìm phương trình của Elip (E’) là ảnh của (E) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a)  4; 3v   b) v = (2; 1) c) v = (-2; 1) d) v = (3; -2) Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol     2 2 : 1 16 9 x y H Tìm phương trình của Hypebol (H’) là ảnh của (H) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a)  4; 3v   b) v = (2; 1) c) v = (-2; 1) d) v = (3; -2) Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol   2 : 16P y x Tìm phương trình của parabol (P’) là ảnh của (P) thông qua phép tịnh tiến theo v trong các trường hợp sau a)  4; 3v   b) v = (2; 1) c) v = (-2; 1) d) v = (3; -2) Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d cắt Ox tại A(1; 0), cắt Oy tại B(0; 3). Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-1; -2) Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v = (2; m). Tìm m để phép tịnh tiến vT biến d thành chình nó. Bài 14: Cho đoạn AD cố định dựng một hình bình hành ABCD sao cho AC BD AD AB  . Tìm quỹ tích của đỉnh C của hình bình hành ABCD. HD: Đặt AD vào hệ trục như hình vẽ (không mất tính tổng quát ta đặt AD = 1) Khi đó ta có: 1,AD  2 2 AB x y  2 2 ( 1)AC x y   và 2 2 ( 1)BD x y   . . AC BD AC AB BD AD AD AB    2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) .1x y x y x y         2 2 2 2 2 2 2 1 2 1x y x y x x x y         AI(-1; 0) O D(1; 0)
    17. 19. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 chúng tôi   2 2 2 2 2 2 1x y x y x x         2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1x y x y x x y x x             2 2 2 2 1 2 1 0x y x y x       2 2 2 2 2 1 0 ( 1) 2x y x x y         ( 2 2 1 0, ,x y x y R     ) Do đó quỹ tích của B là đường tròn (C) tâm I (với I đối xứng D qua B) và 2R AD (bỏ hai giao điểm P, Q của (C) và đường thẳng AD) Vì ABCD là hình bình hành nên BC AD (với AD cố định) ĐS:        ’ , ( ) ,AD C C M N T C P Q     (Dễ thấy (C’) có tâm A và bán kính 2R AD ) Bài 15: Cho tam giác ABC. Gọi 1 2 3, ,A A A lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi 1 2 3, ,O O O và 1 2 3, ,I I I Tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của 1 1 1 1 1 1, ,ABC BC A CA B   HD: 1 1 1 1 2 : , , AB T A C C B B A 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2; ; AB AB AB T T T AB C C BA O O I I   1 2 1 2 1 2 1 2O O I I O O I I    Lý luận tương tự: Xét các phép tịnh tiến: 1 2 BC T , 1 2 CA T Bài 16: Cho hìnht hang ABCD (BC // AD), (tổng hai đáy lớn hơn tổng hai cạnh bên). Gọi M là giao điểm của các đường thẳng phân giác trong của các góc A và B, gọi N là giao điểm của các đường giác trong của các góc C và D. Chứng minh rằng 2MN = BC + AD – (AB + CD) HD:    1 1 1 1: ; ;MN T M N B B B AC A A A AD  Khi đó N là tâm đường tròn ngoại tiếp 1 1A B CD    1 1 1 1 1 1A B CD B C A D AB CD BC BB AD AA         
    18. 20. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 chúng tôi Bài 17: Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD và MBC MDC . Chứng minh rằng : AMD BMC HD: : ‘; ; ; ‘ ; ‘BA T M M B A C D BMC AM D MBC M AD  AMM’D là tư giác nội tiếp : ‘AMD AM D Bài 18: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một điểm M thay đổi trên (O). Tìm quỹ tích điểm M’ sao cho : ‘MM MA MB  HD: ‘ ‘ ‘MM MA MB MM MB MA MM AB       . Xét AB T Bài 19: Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A,B cố định , còn đỉnh C chạy trên một đường tròn (O;R). Tìm quỹ tích đỉnh D khi C thay đổi . HD: Xét phép tịnh tiến: AB T Bài 20: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cùng với hai điẻm A,B . Tìm điểm M trên (O;R) và điểm M’ trên (O’R’) sao cho ‘MM AB . HD: Giả sử ta lấy điểm M trên (O;R). Theo giả thiết , thì M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ AB . Nhưng do M chạy trên (O;R) cho nên M’ chạy trên đường tròn ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến . Mặt khác M’ chạy trên (O’;R’) vì thế M’ là giao của đường tròn ảnh với đường tròn (O’;R’). Bài 21: Cho hai đường thẳng song song nhau d và d’ . Hãy chỉ ra phép tịnh tiến biến d thành d’. Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến đó. HD: Xét phép tịnh tiến: AB T (Với A d  , ‘B d  ). Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d’ Bài 22: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’). Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (O;R) và (O’;R’). có bao nhiêu phép tịnh tiến như vậy. HD: Nếu R = R’ thì có duy nhất một phép tịnh tiến ‘OO T biến (O;R) và (O’;R’). Nếu ‘R R thì không có phép dời hình nào biến (O;R) và (O’;R’). kể cả phép tịnh tiến
    19. 21. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 chúng tôi Bài 23: Cho hình bình hành ABCD, hai đỉnh A, B cố định, tâm I di động trên đường tròn (C). Tìm quỹ tích trung điểm M của BC. HD: Xét phép tịnh tiến : 1 2 AB T Bài 24: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Một đường kính MN thay đổi . Các đường thẳng AM và AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt là P,Q . Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ ? HD: Tam giác MPQ có QA là một đường cao , vì vậy nếu ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H . OA là đường trung bình của tam giác MNH suy ra : 2MH OA BA  . Vậy phép tịnh tiến theo BA biến điểm M thành điểm H . Nhưng M chạy trên (O;AB) cho nên H chạy trên đường tròn ảnh của (O;AB) qua phép tịnh tiến BA . Tương tự đối với tam giác NPQ . Giới hạn quỹ tích . Do M không trùng với A,B cho nên trên đường tròn ảnh bỏ đi hai điểm ảnh của A,B . Bài 25: Hai thôn nằm ở hai vị trí A,B cách nhau một con sông ( Xem hai bờ sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu (MN) bắc qua sông và làm hai đoạn thẳng AM và BN .Tìm vị trí M,N sao cho AM + BN là ngắn nhất . HD: Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là không đổi , cho nên MN U . Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó AMNA’ là hình bình hành : A’N=AM . Do đó : MA+NB ngắn nhất Vì : MA + NB = A’N + NB
    20. 22. PHÉP DỜI HÌNH & PHÉP TỊNH TIẾN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 chúng tôi Bài 26: Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P , trên tia đối của tia CD lấy điểm Q . Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN + QM nhỏ nhất . HD: Giống bài toán trên là khoảng cách giữa hai cạnh của hình chữ nhật không đổi . cho nên ta thực hiện theo cách của bài toán trên như sau : – Tìm ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo D ‘C U QQ  .Khi đó MN=QQ’ , suy ra MQ=NQ’ . Cho nên PN+MQ=PN+NQ’ ngắn nhất khi P,N,Q’ thẳng hàng – Các bước thực hiện : +/ Tìm Q’ sao cho : D ‘C U QQ  +/ Nối PQ’ cắt AD tại điểm N +/ Kẻ NM //CD cắt BC tại M . Vậy tìm được M,N thỏa mãn yêu cầu bài toán . Bài 27: Cho tứ giác lồi ABCD và một điểm M được xác định bởi AB DM và CBM CDM Chứng minh rằng ACD BCM HD: Xét phép tịnh tiến AB T Bài 28: Cho tam giác ABC có đường cao AH . Dựng hình vuông BCDE ở phía ngoài tam giác. Từ D, E lần lượt dựng đường d và d’ vuông góc với AB, AC. Chứng minh hai đường d, d’ và AH đồng quy HD: Xét phép tịnh tiến   : ‘BE T ABC A ED

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phép Tịnh Tiến, Trắc Nghiệm Toán Học Lớp 11
  • Bài Tập Phép Tịnh Tiến Có Lời Giải Chi Tiết
  • Phương Pháp Giải Nhanh Bài Tập Phả Hệ Có Bài Tập Minh Họa
  • Hướng Dẫn Hs Giải Bài Tập Di Truyền Nhóm Máu Và Phả Hệ
  • Bài Tập Di Truyền Phả Hệ & Các Ví Dụ Chi Tiết( Phần 1)
  • Dạng Bài Tập Về Phép Quay 90 Độ Cực Hay, Có Lời Giải

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Về Đường Thẳng Và Parabol Toán 9
  • Trắc Nghiệm Về Các Bài Toán Về Parabol Lớp 10 Có Lời Giải
  • Các Dạng Toán Về Hàm Số Bậc Nhất, Hàm Số Bậc Hai Và Bài Tập Vận Dụng
  • Bài Tập Phương Pháp, Cách Tính Ph Hay, Chi Tiết
  • Chương Iii. §6. Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
  • Dạng bài tập về phép quay 90 độ cực hay, có lời giải

    A. Phương pháp giải

    . Bài toán xác định vị trí của điểm, hình khi thực hiện phép quay cho trước

    Bước 1. Xác định tâm quay và góc quay theo yêu cầu bài toán.

    Bước 2. Áp dụng các kiến thức sau:

    Bước 3. Kết luận.

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

    a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 90°

    b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 90°

    c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90°

    Hướng dẫn giải:

    a)

    Dựng đoạn thẳng AB’ bằng đoạn thẳng AB sao cho (Vị trí B’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Khi đó:

    * Vậy B’ à ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 90°

    b)

    * Dựng đoạn thẳng AC’ bằng đoạn thẳng AC sao cho (Vị trí C’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    *

    Mặt khác, Q(A,90°)(B) = B’ (theo câu a) (2)

    * Từ (1) và (2) suy ra: Q(A,90°)(BC) = B’C’

    c)

    * Dựng đoạn thẳng GA’ bằng đoạn thẳng GA sao cho (Vị trí A’ như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Dựng đoạn thẳng GB” bằng đoạn thẳng GB sao cho (Vị trí B” như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Dựng đoạn thẳng GC” bằng đoạn thẳng GC sao cho (Vị trí C” như hình vẽ sao để chiều quay dương và có độ lớn góc quay bằng 90°)

    * Khi đó:

    Từ (1),(2),(3) suy ra: Q(G,90°)(ΔABB) = ΔAB”C”

    Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD tâm O ( thứ tự các điểm như hình vẽ)

    a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 90°

    b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 90°

    Hướng dẫn giải:

    a) Gọi E là điểm đối xứng của C qua D.

    Khi đó:

    Vậy E là ảnh của C qua phéo quay tâm A, góc quay 90°

    b) Vì ABCD là hình vuông nên

    Từ (1) và (2) suy ra: Q(O,90°)(BC) = CD

    Vậy CD là ảnh của BC qua phép quay tâm O góc quay 90°

    Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5); đường thẳng d: 3x – y + 2 = 0 và đường tròn (C): (x + 4) 2 + (y – 1) 2 = 16

    a) Tìm tọa độ điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay -90°.

    b) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.

    c) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90°

    Hướng dẫn giải:

    a)

    Cách 1:

    +) Do Q(O,90°)(A) = B nên dựa vào vẽ bên ta suy ra: B(5;1).

    Cách 2:

    +) Do Q(O,90°)(A) = B nên .

    Vậy B(5;1).

    b) Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d’ vuông góc với d.

    Phương trình đường thẳng d’ có dạng: x + 3y + m = 0.

    Lấy A(0;2) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d’. Khi đó m = -2.

    Vậy phương trình đường d’ là x + 3y – 2 = 0.

    c) Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4.

    Khi đó: Q(O,90°)(I) = I'(1;4) và bán kính R’ = R = 4.

    C. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA ( thứ tự các điểm A,B,C,D như hình vẽ)

    Tìm ảnh của ΔAMN qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

    A. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OB

    B. ΔDM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OA, OB

    C. ΔAM’N’, M’, N’ lần lượt là là trung điểm OC, OD

    D. ΔAM’N’ với M’, N’ lần lượt là là trung điểm BC, OB

    Lời giải.

    Chọn D.

    Câu 2. Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (như hình vẽ). Tìm ảnh của ΔABG trong phép quay tâm B, góc quay -90°.

    A. ΔCBE

    B. ΔCBF

    C. ΔCBG

    D. ΔCBD

    Lời giải

    Chọn A.

    Câu 3. Cho hình vuông ABCD có tâm là O,. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA ( xem hình vẽ)

    Tìm ảnh của tam giác ODN qua phép quay tâm O góc quay -90°.

    A. ΔOCP

    B. ΔOCM

    C. ΔMCP

    D. ΔNCP

    Lời giải

    Chọn A

    +) Ta có:

    Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M(-6;1) qua phép quay Q(O,90°) là:

    A. M(1;6).

    B. M(-1;-6).

    C. M(-6;-1).

    D. M(6;1).

    Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(2;0) và điểm N(0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là

    A. φ = 30°.

    B. φ = 45°.

    C. φ = 90°.

    D. φ = 270°.

    Lời giải

    Chọn C

    + Q(O;φ)⁡: M(x;y) ↦ N(x’;y’). Khi đó:

    Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm B(-3;6). Tìm toạ độ điểm E sao cho B là ảnh của E qua phép quay tâm O góc quay(-90°).

    A. E(6;3).

    B. E(-3;-6).

    C. E(-6;-3).

    D. E(3;6).

    Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: x + 2y – 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ’ là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O góc 90°?

    A. 2x – y + 6 = 0.

    B. 2x – y-6 = 0.

    C. 2x + y + 6 = 0.

    D. 2x + y-6 = 0.

    Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2) 2 + y 2 = 8. Viết phương trình đường tròn (C 1) sao cho (C) là ảnh của đường tròn (C 1) qua phép quay tâm O, góc quay 90°.

    Lời giải

    Chọn A

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình: Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Thường Gặp
  • Tài Liệu Chuyên Đề Môn Toán Phép Vị Tự Và Ứng Dụng Giải Các Bài Toán Chứng Minh Hình Phẳng
  • Dạng 2: Sử Dụng Phép Vị Tự Để Giải Các Bài Toán Hình Học
  • Phép Vị Tự Là Gì? Công Thức, Lý Thuyết Và Bài Tập Phép Vị Tự
  • Phản Ứng Oxi Hoá Khử, Cách Lập Phương Trình Hoá Học Và Bài Tập
  • Bài 1 + 2 : Phép Biến Hình – Phép Tịnh Tiến

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Vẽ Lightning – Hướng Dẫn Vẽ Thực Sự Đơn Giản
  • Hình Thoi Và Tất Cả Những Vấn Đề Liên Quan Mà Bạn Chưa Biết
  • Tứ Diện Đều – Công Thức Tính Thể Tích Tứ Diện Đều Cạnh A
  • Công Thức Cảm Ứng Từ Và Những Ví Dụ Bài Tập Bất Hủ
  • Hướng Dẫn Cách Vẽ Trang Trí Hình Vuông Lớp 6 Đơn Giản Bạn Cần Lưu Ý
  • BÀI 1 + 2

    PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN

    –o0o–

    1. Định nghĩa : PHÉP BIẾN HÌNH

    Quy tắc tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

    Kí hiệu :

    F(M) = M’

    Nếu H là hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu : H’ = F(H) là tập hợp các điểm M’ = F(M) với mọi M thuộc H. khi đó, ta nói F là phép biến hình H thành hình H’.

    Trong đó : M’ là ảnh của M qua phép biến hình F

    Ví dụ :

    • M’ là điểm đối xứng của M qua I. ta gọi M’ là ảnh của M qua phép biến hình F đối xứng tâm I.
    • Đường kính AB của đường tròn (O) là trục đối xứng. lấy dây M’M vuông góc AB tại H. ta gọi M’ là ảnh của M qua phép biến hình F đối xứng trục AB…

    2. PHÉP TỊNH TIẾN :

    Định nghĩa :

    Trong mặt phẳng cho vectơ  . phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho :được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ.

    Kí hiệu :

    Tính chất :

    Định lí 1 :

    Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành M’ và N’ thì MN =M’N’.

    Định lí 2 :

    Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

    Hệ quả :

    Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.

    Biểu thức tọa độ  của Phép tịnh tiến :

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Phép tịnh tiến theo vectơ  .

    Ta có M(x, y) và M’(x’, y’), T (M) = M’ ta có :

    ====================

    BÀI TẬP SGK :

    BÀI 2 TRANG 7 SGK CB :

    Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ  . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ  biến D thành A.

    Giải.

    Xác định ảnh của tam giác ABC :

    T (A) = A’ ta có :

    Hay A’ trùng G.

    T (B) = B’ ta có :

    T (C) = C’ ta có :

    Vậy : T (ABC) = A’B’C’

    T (D) = A ta có :

    Hay A là trung điểm của DG.

    BÀI 3 TRANG 7 SGK CB :

    Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ  , hai điểm A(3; 5) B(-1; 1) và đường thẳng d : x – 2y + 3 = 0

    a)      Tìm tọa độ A’, B’ lần lược là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ  .

    b)      Tìm tọa độ C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ  .

    c)      Tìm phương trình d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ  $latex.

    Giải.

    a)      T (A) = A’ ta có :

    Vậy A’(2; 7).

    Tương tự tìm B’

    b)

    T (C) = A ta có :

    Vậy C(4;3)

    c)

    T (d) = d’

    Lấy M(x; y) thuộc d.

    T (M) = M’thuộc d’ ta có :

    Thế vào d ta được :

    (x’ + 1) – 2(y’ – 2) + 3 = 0

    Vậy : d’ có phương trình : x – 2y +8 = 0

    Bài toán 1 SKG NC trang 7 :

    Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O, R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tân H của tam giác ABC  nằn trên đường tròn cố định.

    Giải.

    Kẽ đường kính BD.

    Xét tứ giác AHCD ta có :

    AH // DC (cùng vuông góc BC)

    CH // DA (cùng vuông góc BA)

    MÀ : A thay đổi trên đường tròn (O; R) nên H nằm trên đường tròn (O’, R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến

    ========================

    BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

    BÀI 1 : Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. một điểm M chạy trên  đường tròn  (O). tìm quỹ tích của điểm M’ sao cho :

    Bài 2 :cho tam giác ABC vuông tại A. từ điểm P thay đổi trên BC vẽ PE vuông góc AB, PF vuông góc AC. Tìm tập hợp điểm M sao cho ME/MF = 1/3.

    BÀI 3 : 

    Chia sẻ:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Toán Hình 12 Chủ Đề Hình Nón Tròn Xoay ( Các Dạng Bài Quan Trọng)
  • Cách Vẽ Trăng Lưỡi Liềm
  • Cách Vẽ Khối Lập Phương Chuẩn Nhất Mà Bạn Nên Biết!
  • Xây Dựng Thương Hiệu Để Dẫn Đầu – Azlogo
  • Hướng Dẫn Cách Vẽ Shapes Giữ Đúng Định Dạng Trong Excel
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100