Top 11 # Xem Nhiều Nhất Cách Vẽ Góc Giữa Hai Mặt Phẳng Mới Nhất 6/2023 # Top Like

Góc giữa hai mặt phẳng

I. Định nghĩa

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), $a bot (P)$, $b bot (Q)$. Góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) là góc được tạo bởi hai đường thẳng a và b. Kí hiệu $widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)}$.

$widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = widehat {left( {a,b} right)}$

Vậy: $widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = widehat {left( {a,b} right)}$.

Hệ quả:

${0^0} le widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} le {90^0}$.

$widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi (P)//(Q) hoặc (P)$ equiv $(Q).

$widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = {90^0} Leftrightarrow (P) bot left( Q right)$.

Định nghĩa 2.

Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 900 .

II. 3 phương pháp xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng

2.1. Phương pháp 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa

2.2. Phương pháp 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

((P) ∩ (Q) = c). Trong ((P)) từ (I ∈ c) vẽ (a’ ⊥ c); trong ((Q)) từ (I) vẽ (b’ ⊥ c). Góc giữa (a’) và (b’) là góc giữa (mp(P)) và (mp(Q))

2.3. Phương pháp 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng qua diện tích hình chiếu

Định lý: Cho đa giác (H) có diện tích S nằm trong mặt phẳng (Q) hợp với (P) một góc $varphi $. Gọi (H’) là hình chiếu vuông góc của (H) trên (P) và (H’) có diện tích S’. Khi đó ta luôn có: $S’ = S.cos varphi $.

2.4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

Cho hình chóp chúng tôi có SA vuông góc đáy, SA=a, tam giác ABC vuông tại B và $AB = asqrt 3 ;{rm{ }}BC = a.$. Gọi H là hình chiếu của A trên SB.

a) CMR $AH bot (SBC)$.

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

Giải

Cách 1. Phương dùng định nghĩa

Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}} {SA bot (ABC) Rightarrow SA bot BC}\ {BC bot AB} end{array}} right. Rightarrow BC bot (SAB)$

$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {BC bot (SAB)}\ {AH subset (SAB)} end{array}} right. Rightarrow BC bot AH$

$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {BC bot AH}\ {AH bot SB} end{array}} right. Rightarrow AH bot (SAB)$

Cách 2. Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Ta có:

$left{ {begin{array}{*{20}{c}} {(ABC) cap (SBC) = BC}\ begin{array}{l} AB subset (ABC);AB bot BC\ SB subset (SBC);SB bot BC end{array} end{array}} right. Rightarrow left( {(ABC),(SBC)} right) = (AB,SB)$

$ Rightarrow left( {(ABC),(SBC)} right) = (AB,SB) = widehat {SBA} = alpha $

Cách 3. Sử dụng diện tích hình chiếu

Gọi S là diện tích tam giác ABC, $S = {S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}BA.BC = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}$

Gọi S’ là diện tích của tam giác SBC, ta có:

$SB = sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = sqrt {{a^2} + {{left( {asqrt 3 } right)}^2}} = 2a$

$S’ = {S_{Delta SBC}} = frac{1}{2}SB.BC = frac{1}{2}.2a.a = {a^2}$

Ta có: $S’ = S.cosalpha $ $ Leftrightarrow cos alpha = frac{{S’}}{S} = frac{{frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}}}{{{a^2}}} = frac{{sqrt 3 }}{2}$ $ Rightarrow alpha = {30^0}$

Lưu ý:

Thông thường cách 2 xác định góc giữa hai mặt phẳng qua giao của hai mặt phẳng được sử dụng nhiều và hiệu quả nhất.

Ví dụ 2

Cho hình chóp tứ giác đều chúng tôi có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Giải

Gọi I là trung điểm đoạn SA. Ta có tam giác SAD và tam giác SAB đều

Suy ra BI ⊥SA, DI ⊥SA $left( {widehat {left( {SAB} right),left( {SAD} right)}} right) = left( {widehat {BI,;DI}} right)$

Áp dụng định lý cosin vào tam giác BID ta được:

$cos widehat {BID} = frac{{left( {I{B^2} + I{D^2} – B{D^2}} right)}}{{2.IB.ID}}$ $ = frac{{{{left( {frac{{sqrt 3 a}}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{sqrt 3 a}}{2}} right)}^2} – {{left( {2sqrt 2 } right)}^2}}}{{2.frac{{sqrt 3 a}}{2}.frac{{sqrt 3 a}}{2}}} = frac{1}{3}$

III. Luyện tập

3.1. Tự luận

Bài 1. Cho hình chóp chúng tôi có SA vuông góc đáy, SA=a, tam giác ABC vuông tại B và $AB = asqrt 3 ;{rm{ }}BC = a.$. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC).

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều chúng tôi có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (IDB) và (SBD).

3.2. Trắc nghiệm

Câu 1. Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB)  và ( SCD) bằng :

A. $frac{sqrt{3}}{2}$.                   

B.$frac{2sqrt{3}}{3}$.                  

C. $frac{sqrt{3}}{3}$.                                    

D. $frac{sqrt{3}}{2}$.

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc $widehat{A}={{60}^{0}}$, cạnh $SC=frac{asqrt{6}}{2}$ và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Trong tam giác SAC kẻ IK^SA tại K. Tính số đo góc (widehat{BKD}).

A. 600 .

B. 450 .

C. 900 .

D. 300.

Câu 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA= a. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là a , khi đó tan a nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A.$tan alpha =sqrt{2}$.     

B.$tan alpha =frac{sqrt{2}}{2}$.

C.$tan alpha =sqrt{3}$.            

D.$tan alpha =1$.

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:

A. 900 .                        B. 600 .                                    C. 450 .                        D. 300 .

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có SA=SB. Góc giữa (SAB) và (SAD) bằng a. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A.$cos alpha =-frac{1}{3}$.          B. $cos alpha =frac{2}{5}$.                      

C. $cos alpha =frac{1}{2}$.                                    D. $cos alpha =frac{2}{3}$.

Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

A. 300 .                        B.600 .                         C. 450 .                                    D.750 .

Câu 7. Cho hình chóp  chúng tôi có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc $widehat{BAD}={{60}^{0}}$và SA= SB= SD=$frac{asqrt{3}}{2}$. Xác đị nh số đo góc giữa hai mặt phẳ ng (SAC) và (ABCD) .

A. 300 .                        B. 600 .                        C. 450 .                        D. 900

Câu 8. Cho hình chóp chúng tôi có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc $widehat{BAD}={{60}^{0}}$và SA= SB= SD=$frac{asqrt{3}}{2}$. Tính tan a với a  là góc giữa (SBD) và (ABCD) .

A.$sqrt{5}$.              B. 1.                            C.$sqrt{3}$.               D. $frac{1}{sqrt{3}}$

Câu 9. Hı̀nh chóp .S ABCD có đáy là hı̀nh thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB=2a, AD=DC=a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . tan a có giá trị là:

 A. $frac{sqrt{2}}{2}$.                   B. 1.                C.$sqrt{3}$.               D. $frac{1}{sqrt{3}}$.

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều chúng tôi với SA=2AB. Góc giữa (SAB) và (ABC) bằng  a. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A.$alpha $ =600.         

B.$cos alpha =frac{1}{3sqrt{5}}$.         

C.$cos alpha =frac{1}{4sqrt{5}}$.            

D.$cos alpha =frac{1}{2sqrt{5}}$.

—————————

Tài liệu đính kèm: Góc giữa hai mặt phẳng – Word

Bài viết này chúng ta sẽ ôn lại các phương pháp dùng để tính góc giữa hai mặt phẳng, làm các bài tập vận dụng để hiểu rõ hơn.

° Cách tính góc giữa hai mặt phẳng

– Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

+ Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng

+ Bước 2: Dựng 2 đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến Δ tại 1 điểm trên Δ (Tức là xác định mp phụ (γ) vuông góc Δ với (α) ∩ (γ) = a; (β) ∩ (γ) = b)), khi đó:

° Cách tính góc giữa hai mặt phẳng qua ví dụ minh họa

– Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ BI (1)

– Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ AI (2)

– Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

⇒ (BCD) ⊥ (ABI) và (ACD) ⊥ (ABI);

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB.

– Gọi H là giao điểm của AC và BD.

– Do chúng tôi là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)

Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.

– Tam giác SCD là cân tại S; tam giác CHD cân tại H (tính chất đường chéo hình vuông)

SM ⊥ CD và HM ⊥ CD

⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α

– Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến

– Do chúng tôi là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ HC.

– Xét tam giác SHC vuông tại H đường trung tuyến SM ta có:

– Gọi M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABCD)

(MM’ là đường trung bình của ΔSHC)

– Minh họa như hình vẽ sau:

– Gọi F là trung điểm AC ⇒ BF ⊥ AC

Lại có BF ⊥ SA ⇒ BF ⊥ (SAC)

– Kẻ BK ⊥ SC tại K, SC ⊥ BF suy ra SC ⊥ (BKF).

– Theo bài ra, SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là H cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do HA = HB = HC).

– Cũng theo bài ra, ta có: AB = BC = a ⇒ ΔABC cân tại B

⇒ tâm H phải nằm trên BD (BD đường chéo của hình thoi ABCD nên BD cũng là là đường trung trực của AC)

⇒ SH ⊂ (SBD); lại có SH ⊥ (ABCD) nên

⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

+ Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)

+ Bước 3: Góc ∠AOA’ = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)

Lưu ý:

– Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’

– Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB

B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB

D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6)a/2 . Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC) .

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Từ giả thiết suy ra:

SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°

Ví dụ 3: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2

Ví dụ 4: Cho hình chóp chúng tôi , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .

A. 30° B. 45° C. 60° D.90°

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 60° B.90° C. 45° D. 30°

Hướng dẫn giải

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH

Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH

Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°

Chọn C

Ví dụ 6: Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)

A. 30° B.45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn B

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 30° B.45° C. 60° D. 75°

Hiển thị lời giải

AM = BM = a/2, SB = a

⇒ ( SA,(ABC)) = (SA, AM) = ∠SAM

Áp dụng định lý Pytago

Xét tam giác SAM có

Vậy chọn C

Câu 2: Cho hình chóp chúng tôi có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α, khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

A. 45° B. 120° C. 90° D. 65°

Câu 4: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Hiển thị lời giải

Lại có: BI ⊥ SA

⇒ BI ⊥ (SAD)

Câu 5: Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√6. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

Hiển thị lời giải

⇒ α = ∠SCA

Chọn D

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Vậy phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như thế nào? vận dụng vào bài tập ra sao? chúng ta cùng bắt đầu vào nội dung bài viết.

* Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

– Để xác định được góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo các bước sau:

– Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’

– Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAA’.

* Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng qua ví dụ minh họa

– Ta có hình vẽ minh họa như sau:

– Gọi H là trung điểm của BC, khi đó ta có:

(H là trung điểm của BC, nên trung tuyến AH hạ từ đỉnh góc vuông A sẽ có độ dài bằng nửa cạnh huyền).

– Theo giả thiết H là hình chiếu vuông góc của S lên BC nên ta có:

– Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông SHB ta được:

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

⇒ Vậy ΔSAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°

– Ta có: AC = 2a; BD = 2AC = 4a ⇒ HB = 2a.

Vậy số đo góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45 o.

Cho hình chóp chúng tôi có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√6. Hãy tính góc giữa SC và mp(ABCD).

– Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

⇒ Góc giữa giữa SC và mp(ABCD) bằng góc giữa SC và AC, tức là:

– Xét ΔSAC vuông tại A có:

– Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 60 o.

Như vậy, các em đã thấy để tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, mấu chốt là ta xác định được hình chiếu của điểm thuộc đường thẳng xuống mặt phẳng, từ đó việc xác định góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng sẽ dễ dàng hơn.