Cách Vẽ Chân Dung Nam Góc Nghiêng 90

--- Bài mới hơn ---

  • Vẽ Người Tuyết Olaf Siêu Đáng Yêu Trong Frozen Fever
  • Học Vẽ Người Tuyết Olaf Siêu Đáng Yêu Trong Frozen Fever
  • Hướng Dẫn Đo Tỉ Lệ Khi Vẽ
  • Xem Tranh, Ảnh Đẹp Như Thơ Trong Triển Lãm Chuyện Áo Dài
  • Hướng Dẫn Vẽ Người Hoạt Động Trong Một Cảnh Cố Định
  • Cách vẽ chân dung nam Góc nghiêng 90 độ

    Với các bài hướng dẫn trước, hầu hết các bạn đã làm quen với cách vẽ chân dung người góc chính diện; nhờ đó, các bạn có thể nắm rõ cấu trúc ngũ quan; tỷ lệ gương mặt người. Bài hôm nay, chúng ta sẽ làm quen với cách vẽ mặt người nghiêng: cách vẽ chân dung nam góc nghiêng 90 độ.

    LIÊN HỆ VỚI ART LAND ĐỂ HIỂU SÂU VỀ NGÀNH :

    FANPAGE LUYỆN THI KIẾN TRÚC – MỸ THUẬT ART LAND

    Bước 1: Bắt đầu với một hình Oval

    Như các bạn đã làm quen với việc chia đoạn ở bài Vẽ chân dung mẹ; ở bài này ta cũng dùng chung công thức như vậy; cũng chia đầu người thành 8 phần bằng nhau; với các điểm Center Line A, B, C, 1,2 ,3.

    Ta bắt đầu bằng một hình oval như hình vẽ; vẽ một điểm dấu bên dưới cách hình oval bằng một khoảng ngắn hơn một chút so với đường kính của hình oval.

    Vẽ đường thẳng chính giữa chia đôi hình oval làm hai nữa.

    Bước 2: Chia tỷ lệ.

    Dùng thước vẽ đoạn chia bên cạnh làm mốc với cách chia như đã nói ở trên.

    Bước 3: Vẽ tai.

    Vẽ tai nằm ở phần bên trái của đường kẻ dọc. Khối tai sẽ nằm từ phía trên một chút của Center Line đến vừa chớm đường kẻ số 2. Tùy vào thực tế mà bạn điều chỉnh dáng tai cho phù hợp.

    Bước 4: Đường viền khuôn mặt

    Vẽ một đường thẳng từ Center Line để đường số 2; tiếp đó vẽ con vào một chút để tạo dáng cằm.

    Bước 5: Tỷ lệ ngang khuôn mặt nghiêng

    Vẽ một đường ngang phía dưới của khuôn mặt để làm thước đo. Đoạn thẳng đó độ dài bằng bán kính ngang của hình oval.

    Chia đoạn thẳng thành 6 phần bằng nhau và ký D, E, F, G, H.

    Hãy để tỷ lệ này lại, và ta sẽ quay lại dùng các đoạn chia này sau.

    Bước 6: Vẽ đường chân mày.

    Vẽ một chữ C nhẹ ở Centerline để làm vị trí ấn đường. Từ đây vẽ một đường con giống như hình kéo dài qua trán và lên đỉnh đầu.

    Bước 7: Vẽ mũi

    Vẽ hai hình tròn nhỏ để tạo đầu mũi và cánh mũi. Đường tròn đầu mũi nằm ngay dứoi đường số 1. Đường tròn cánh mũi nằng giữa đường số 1 và số 2.

    Bước 8: Vẽ môi và cằm.

    Vẽ một đường gióng thẳng đứng từ H để làm mốc cho mép môi. Khối môi sẽ nằm giữa đường 2 và đường 3.

    Ấn đường nằm ở đường số 2; vẽ môi trên bên dưới đường số 2. Môi dưới kéo dài đến gần đường số 3. Môi dày hay mỏng phụ thuộc vào mẫu của bạn. Bạn có thể điều chỉnh dáng môi dày hay mỏng; môi rộng hay nhỏ tùy theo ý thích. Các kích thước trong hướng dẫn là kích thước tiêu chuẩn.

    Tiếp theo đó là vẽ cằm ở đoạn cuối cùng.

    Bước 9: Mắt và lông mày

    Vẽ đường gióng G thẳng đứng. Khối con ngươi nằm trong đoạn từ đường G đến H. Độ to của mặt phụ thuộc vào mẫu, và tùy theo ý thích của bạn.

    Cách vẽ chân dung Nam: Mắt được đặt ở đường Center Line.

    Vẽ chân mày phái dưới đường hình dáng chân mày phụ thuộc vào mẫu.

    Bước 10: Phía sau đầu và cổ.

    Vẽ phần trên và phần sau của đầu bằng cách bám theo hình oval. Phần góc ót thường nằm ở Center Line, đừng vẽ quá xa so với Center line.

    Vẽ đường dáng tóc cơ bản để tạo mái tóc cho chân dung. Mai tóc được đặt ở chính giữa đầu. Cách vẽ chân dung Nam giới có phần trán rộng và cao. Hãy tùy theo mẫu để điều chỉnh phần tóc cho phù hợp.

    NHẬN TƯ VẤN NGÀNH NGHỀ CÙNG LỚP DẠY VẼ LUYỆN THI KHỐI V,H ART LAND

    Bài Viết Liên Quan: KHÓA HỌC VẼ CHÂN DUNG

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Vẽ Đầu Tượng Góc Nghiêng Và Góc 3/4
  • Cách Vẽ Chân Dung Cơ Bản Theo Phong Cách Truyện Tranh.
  • Hướng Dẫn Vẽ Các Kiểu Tóc Nữ Thời Trang Anime Manga
  • Giáo Án Mầm Non Lớp Lá
  • Cảm Nhận Của Em Về Người Đàn Bà Làng Chài Trong Truyện Chiếc Thuyền Ngoài Xa
  • Cách Vẽ Đầu Tượng Góc Nghiêng Và Góc 3/4

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Vẽ Chân Dung Nam Góc Nghiêng 90
  • Vẽ Người Tuyết Olaf Siêu Đáng Yêu Trong Frozen Fever
  • Học Vẽ Người Tuyết Olaf Siêu Đáng Yêu Trong Frozen Fever
  • Hướng Dẫn Đo Tỉ Lệ Khi Vẽ
  • Xem Tranh, Ảnh Đẹp Như Thơ Trong Triển Lãm Chuyện Áo Dài
  • So với các vẽ đầu tượng góc ¾ thì cách vẽ đầu tượng góc nghiêng có độ khó cao hơn bởi vì đây là góc vẽ không có đối xứng trục. Đồng thời để làm nổi khối của góc nghiêng, người vẽ phải thật sự vững cấu trúc cũng như hiểu khối mới có thể làm tốt bài vẽ này.

    Bước 1

    – Áp dụng tỉ lệ chuẩn như ở phương pháp vẽ góc chính diện để phân chia tỷ lệ và dựng hình ở đầu tượng góc nghiêng, sau đó so sánh tỉ lệ chuẩn với tỉ lệ của mẫu để phác họa ra chân dung.

    – Khi vẽ phải đặc biệt chú ý đến phần tỉ lệ của tai, mang tai và vị trí quai hàm. Sử dụng phương pháp gióng trục ngang các phần đó qua các ngũ quan còn lại để xác định các vị trí được chính xác.

    – Khi vẽ phải chú ý đến từng tiểu tiết của ngũ quan và đặc biệt là tóc, bởi ở góc nghiêng chỉ thấy có nửa mặt nên càng phải tìm và vẽ ra nhiều đặc điểm đặc trưng của mẫu càng nhiều càng tốt.

    Bước 2

    – Khi lên sáng tối nên lên sắc độ đậm nhạt có độ tương phản rõ ràng.

    – Tranh thủ vẽ không gian nền ngay từ ban đầu để tăng thêm độ tương phản cho bài vẽ.

    – Để bài vẽ có hồn cần tập trung vào đôi mắt, tóc và những cử chỉ nho nhỏ đặc trưng của nhân vật.

    Bước 3

    – Cần nhấn nhá độ đậm ở những vùng đỉnh khối sau đó buông mờ ra vùng không gian phía sau để bài vẽ trở nên chắc chắn về khối.

    – Dựa vào nguồn sáng để xác định diện tối của góc chính diện.

    – Dùng chì nhạt độ tập trung đánh ở những vùng lõm của khối trước rồi mới đánh những vùng lồi ra sau.

    – Để làm nổi gương mặt của nhân vật, bạn có thể vẽ không gian nền thật đậm ở phía trước mặt mẫu. Không gian nền phía sau gáy của mẫu chỉ cần vẽ sắc độ vừa phải là đủ.

    Bước 4

    – Dùng chì 4b để nhấn đậm những chỗ đỉnh khối trên gương mặt như lông mày, tóc…

    – Lưu ý vẽ kĩ những phần trong tối như cánh mũi, tai, yết hầu, tóc…

    – Diện sáng của khối ta nên lên độ đậm vừa phải để đừng tranh chấp với diện tối.

    Bài vẽ đầu tượng góc nghiêng của học viên

    2. Cách vẽ đầu tượng góc 3/4

    Bước 1

    Xác định tỉ lệ của đầu tượng để vẽ phác họa chân dung. Mẹo nhỏ là bạn có thể vẽ một hình e-líp, sau đó kẻ một đường trục vào chính giữa nó.

    Bước 2

    Sau khi đã hoàn thành bước 1 bạn sẽ phân vùng và vẽ đường trục mới. Bạn vẽ một đường kẻ ngang vào chính giữa nửa hình e-líp bên sau đó chia mỗi nửa thành 3 phần bằng nhau.

    Bước 3

    Vẽ mũi và đường phân mảng trên khuôn mặt bằng cách lấy dòng bên dưới của mắt rồi vẽ một vòng tròn nhỏ. Kích thước của vòng tròn này sẽ tương ứng với kích thước của cánh mũi.

    Vẽ đường thẳng từ trán xuống, phần đường mắt sẽ tạo thành một hình tam giác nhỏ. Ngay phía dưới bên phải sẽ là phần gò má và phần này sẽ được vẽ trước khi vẽ đầu cánh mũi. Tiếp tục kéo dài đường thẳng đi xuống cho đến khi nó chạm vào nơi đường trục mới và chạm vào hình e-líp.

    Bước 4

    Vẽ phân mảng hàm dưới. Ở bước này, bạn cần chú ý cằm sẽ là khoảng giữa của hai đường trục và sau đó đường sẽ theo hướng đi lên. Khi vẽ không được vẽ đường nét cứng quá vì sẽ làm cho khuôn mặt trông nặng trịch và mỏng, nếu đường nét quá mềm thì mẫu hình khuôn mặt của bạn sẽ trở nên hơi mũm mĩm.

    Bước 5

    Đánh dấu mắt và miệng bằng cách dùng bút chì chạm nhẹ vào giấy đánh dấu điểm vẽ mắt và miệng. Khi vẽ cần chú ý đôi mắt sẽ nằm bên trên đường vẽ mắt và phần bên trái sẽ bị che bởi chiếc mũi nên nó sẽ nhỏ hơn bình thường. Và không nên phác thảo mắt quá gần mũi.

    Khi vẽ, kích cỡ của mắt chỉ cần vẽ bằng ¼ chiều rộng của mắt bình thường là được.

    Bước 6

    Vẽ đặc điểm khuôn mặt hãy chú ý đến hình dáng của miệng. Nửa miệng bên phải sẽ trông ngắn hơn bởi vì chúng xuất phát từ một điểm. Sử dụng đường trục giữa mới để tìm ra điểm giữa của miệng.

    Bước 7

    Vẽ các chi tiết còn lại như đôi lông mày, đánh dấu xương gò má và hộp sọ… Vẽ đôi lông mày cần chú ý bên trái sẽ nhỏ hơn và phần bên ngoài nó không nhìn thấy được. Vẽ đường hộp sọ sẽ kết thúc trước khi nó chạm vào đường viền hàm dưới.

    Bước 8

    Vẽ cổ và tai. Phần vẽ cổ rất quan trọng, bởi nếu vẽ không chính xác hoặc xấu sẽ làm hỏng toàn bộ khuôn mặt xinh đã vẽ. Khi vẽ tai, cần chú ý về hình dạng của tai không phải là một nửa vầng trăng, mà phần trên tai sẽ rộng hơn phần dưới.

    Bước 9

    Cuối cùng là tùy chỉnh theo mẫu. Quan sát và so sánh với vật mẫu để điều chỉnh và bổ sung cho hợp lý và chính xác.

    1. Chat với chúng tôi tại Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthivekhoihv
    2. Gọi điện hỏi trực tiếp cô Đỗ Quyên – 0938378363
    3. Đến Xưởng Vẽ Queen Art để được tư vấn và học một buổi hoàn toàn miễn phí, địa chỉ: 01 đường số 11, Khu Phố 5, phường Hiệp Bình Chánh, Q Thủ Đức

    Tổng hợp: Luyện thi Khối H & Khối V

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Vẽ Chân Dung Cơ Bản Theo Phong Cách Truyện Tranh.
  • Hướng Dẫn Vẽ Các Kiểu Tóc Nữ Thời Trang Anime Manga
  • Giáo Án Mầm Non Lớp Lá
  • Cảm Nhận Của Em Về Người Đàn Bà Làng Chài Trong Truyện Chiếc Thuyền Ngoài Xa
  • Cảm Nhận Về Người Đàn Bà Hàng Chài Trong Chiếc Thuyền Ngoài Xa
  • Hướng Dẫn Vẽ Chân Dung Góc Nghiêng

    --- Bài mới hơn ---

  • 5 Cách Làm Gấu Bông Đơn Giản
  • Cách Vẽ Chú Gấu Teddy Dễ Thương Cho Android
  • Bản Vẽ Giường Ngủ Theo Tiêu Chuẩn Nhân Trắc Học Người Việt
  • Cách Làm Giường Gấp Đa Năng (Có Video, Bản Vẽ Chi Tiết Hd) 2022
  • Vẽ Lại Hình Bằng Illustrator
  • ( 28-03-2017 – 01:32 PM ) – Lượt xem: 26403

    Bước 1:

    – Dựng hình góc nghiêng có tỉ lệ trục dọc không khác góc chính diện là mấy, nên ta thực hiện việc xác định các tỉ lệ cơ bản trong thời gian nhanh nhất có thể kết hợp với việc đo đạc kĩ lưỡng các điểm chốt của từng ngũ quan trên gương mặt người mẫu.

    – Để vẽ trục ngang chính xác, các bạn nên gióng trục cẩn thận, chú ý so sánh tầm mắt của chính mình đặt ở vị trí như thế nào so với mẫu, từ đấy mới có thể xác định & áp dụng chính xác quy luật xa gần được.

    – Phân diện gương mặt theo sáng tối lớn dựa trên cấu trúc khối.

    Bước 2:

    – Chuốt chì nhọn để đan nét sáng tối lớn rõ ràng trên bài vẽ.

    – Nên lên sắc độ đậm nhạt có độ tương phản rõ ràng. Những phần như tóc, lông mày, mắt nên cho đậm hơn da người một chút.

    – Tranh thủ vẽ không gian nền ngay từ ban đầu vì bài vẽ có không gian sẽ tăng thêm độ tương phản sẽ làm cho bài vẽ hoàn thiện hơn, đồng thời làm cho bức tranh nhìn thêm tình cảm.

    Bước 3:

    – Tăng đậm diện tối của bức vẽ sao cho độ tương phản càng rõ càng tốt. Chỉ cần nhấn nhá độ đậm ở những vùng đỉnh khối sau đó buông mờ ra vùng không gian phía sau cũng đủ để bài vẽ trở nên chắc chắn về khối.

    – Lưu ý nên chuốt chì nhọn để đan nét rõ ràng, không nên để chì quá cùn vì sẽ dễ bị bết bài vẽ.

    – Tăng đậm tóc theo từng lọn, tóc được vẽ theo quy luật khối cầu là đủ để thể hiện độ cong mềm mại.

    Bước 4:

    – Sử dụng chì 4b để nhấn đậm những chỗ đỉnh khối trên gương mặt, lông mày, tóc…

    – Vẽ kĩ những phần trong tối như mắt, cánh mũi, môi, yết hầu, xương quai xanh mà bước 3 chưa thực hiện. Lưu ý giữ tương quan sáng tối đã thực hiện ngay từ bước 1 đến bước 4.

    – Do tóc của người mẫu là tóc đinh nên tôi xử lý bằng cách đan nét tăng đậm những phần gần chân tóc, sau đó chuốt nhọn chì liên tục để đan nét tỉa từng sợi tóc dựng lên bo tròn theo khối đầu sau đó dùng tẩy lấy sáng nhẹ ở những chỗ tóc bắt sáng.

    – Diện sáng của khối ta nên lên độ đậm vừa phải để đừng tranh chấp với diện tối, cũng như không để bài vẽ bị loạn sáng.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tổng Hợp 4 Cách Vẽ Đường Thẳng Vuông Góc Trong Cad Cực Hữu Ích
  • Hướng Dẫn Vẽ Chân Dung Góc 3/4 (Zimou Tan)
  • Vẽ Góc Cho Biết Số Đo (Có Đáp Án)
  • Do Art: Hướng Dẫn Vẽ Chân Dung Góc Nghiêng
  • Hướng Dẫn Sử Dụng Tradingview Từ A
  • Do Art: Hướng Dẫn Vẽ Chân Dung Góc Nghiêng

    --- Bài mới hơn ---

  • Vẽ Góc Cho Biết Số Đo (Có Đáp Án)
  • Hướng Dẫn Vẽ Chân Dung Góc 3/4 (Zimou Tan)
  • Tổng Hợp 4 Cách Vẽ Đường Thẳng Vuông Góc Trong Cad Cực Hữu Ích
  • Hướng Dẫn Vẽ Chân Dung Góc Nghiêng
  • 5 Cách Làm Gấu Bông Đơn Giản
  • ( 31-05-2017 – 11:54 AM ) – Lượt xem: 39511

    – Nên dựng hình thật kĩ bằng cách dựa vào tỉ lệ chuẩn đã học ở góc chính diện để áp dụng vào góc 1/2, sau đó so sánh tỉ lệ chuẩn với tỉ lệ của người mẫu để phác họa ra chân dung của họ.

    – Do đang vẽ góc nghiêng nên chúng ta phải chú ý phần tỉ lệ tai, mang tai và vị trí quai hàm. Nên gióng trục ngang các phần đó qua các ngũ quan còn lại để xác định các vị trí được chính xác hơn.

    – Cố gắng quan sát kĩ đặc điểm của người mẫu để vẽ cho giống vì chúng ta chỉ vẽ có nửa gương mặt của họ nên nếu vẽ theo kiểu thuộc lòng sẽ dễ sa vào tình trạng “vẽ 10 như 1”.

    – Chú ý từng tiểu tiết của ngũ quan nhân vật như hình dạng mắt, hình dạng mũi, miệng, tai, đặc biệt là tóc, bởi ở góc 1/2 chỉ thấy có nửa mặt như thế này càng phải tìm và vẽ ra nhiều đặc điểm đặc trưng của người mẫu càng nhiều càng tốt.

    – Phân diện cho kĩ theo cấu trúc đã được học ở góc chính diện, ngay cả tóc cũng cần được phân diện.

    – Chuốt chì nhọn để đan nét sáng tối lớn rõ ràng trên bài vẽ.

    – Nên lên sắc độ đậm nhạt có độ tương phản rõ ràng. Những phần như tóc, lông mày, mắt, áo nên cho đậm hơn da người một chút.

    – Tranh thủ vẽ không gian nền ngay từ ban đầu vì bài vẽ có không gian sẽ tăng thêm độ tương phản sẽ làm cho bài vẽ hoàn thiện hơn, đồng thời làm cho bức tranh nhìn thêm tình cảm.

    – Để vẽ chân dung có hồn chúng ta nên tập trung công lực vào đôi mắt, tóc và những cử chỉ nho nhỏ đặc trưng của nhân vật nhiều 1 chút.

    – Tăng đậm diện tối của bức vẽ sao cho độ tương phản càng rõ càng tốt. Chỉ cần nhấn nhá độ đậm ở những vùng đỉnh khối sau đó buông mờ ra vùng không gian phía sau cũng đủ để bài vẽ trở nên chắc chắn về khối.

    – Lưu ý nên chuốt chì nhọn để đan nét rõ ràng, không nên để chì quá cùn vì sẽ dễ bị bết bài vẽ.

    – Tăng đậm tóc, tóc được vẽ theo quy luật khối cầu là đủ để thể hiện độ cong mềm mại.

    – Diện tối của góc chính diện nhiều hay ít tùy thuộc vào hướng của nguồn sáng. Ở đây, do nguồn sáng chiếu từ góc đối diện với gương mặt nhân vật, đồng thời tôi cũng đang vẽ góc 1/2 nên diện tích của mặt tối trên gương mặt người mẫu nhiều và gắt tuy nhiên độ phản quang lại không được sáng cho lắm.

    – Đối với ánh sáng như thế này, để tả khối và chiều sâu của diện sáng cho tốt chúng ta cần phải nắm vững về quy luật khối. Dùng chì nhạt độ tập trung đánh ở những vùng lõm của khối trước rồi mới đánh những vùng lồi ra sau.

    – Đặc biệt do đặc trưng của góc độ vẽ mà ta phải vẽ không gian nền thật đậm ở phía trước mặt người mẫu, như vậy mới tạo được cảm giác làm nổi gương mặt nhân vật bật lên khỏi tờ giấy. Không gian nền phía sau gáy của người mẫu ta chỉ cần vẽ sắc độ vừa phải là đủ.

    – Sử dụng chì 4b để nhấn đậm những chỗ đỉnh khối trên gương mặt, lông mày, tóc…

    – Vẽ kĩ những phần trong tối như cánh mũi, tai, yết hầu, tóc mà bước 3 chưa thực hiện. Lưu ý giữ tương quan sáng tối đã thực hiện ngay từ bước 1 đến bước 4. Phần áo của người mẫu có sắc độ đậm hơn với da người nên cần phải diễn tả nhiều hơn 1 chút.

    – Do tóc của người mẫu có nhiều lọn nên tôi xử lý bằng cách chia lọn ra trước rồi sau đó đan nét tăng đậm những phần gần chân tóc, chuốt nhọn chì liên tục để đan nét tỉa từng sợi tóc dựng lên bo tròn theo khối đầu sau đó dùng tẩy lấy sáng nhẹ ở những chỗ tóc bắt sáng.

    – Diện sáng của khối ta nên lên độ đậm vừa phải để đừng tranh chấp với diện tối, chú ý vẽ lông mày và con ngươi cho đủ độ để tương quan bài vẽ có điểm nhấn, đồng thời tách độ đậm của người mẫu ra khỏi độ đậm của không gian nền.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Sử Dụng Tradingview Từ A
  • Fibonacci Là Gì? Cách Sử Dụng Nó Trong Trade Coin
  • Tradingview: Hướng Dẫn Sử Dụng Trading View Chi Tiết Nhất 2022
  • Bạn Nên Chọn Kẻ Mắt Nước, Gel, Bút Dạ, Hay Dạng Chì Để Vẽ Eyeliner?
  • Hướng Dẫn Vẽ Eyeliner Với Từng Loại Chì Vẽ “không Thể Dễ Hơn”
  • Bài 2 : Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên, Đường Xiên Và Hình Chiếu

    --- Bài mới hơn ---

  • Đề Tài Một Số Kinh Nghiệm Về Vẽ Hình Không Gian
  • Mặt Cắt – Hình Cắt
  • Hình Cắt – Phần Mềm Kỹ Thuật
  • Công Nghệ 11/phần 1/chương 1/bài 5
  • Hình Chiếu – Phần Mềm Kỹ Thuật
  • BÀI 2

    –o0o–

    Định nghĩa :

    Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :

    • Đoạn thẳng AH

      : gọi là đoạn vuông góc hay

      đường vuông góc

      kẻ từ A đến đường thẳng d.

    • Điểm H :

      gọi là chân của  đường vuông góc hay

      hình chiếu của điểm A

      trên đường thẳng d.

    • Đoạn thẳng AB :

      gọi là

      đường xiên

      kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

    • Đoạn thẳng HB

      : gọi là

      hình chiếu

      của đường xiên AB trên đường thẳng d.

    Định lí 1 :

    Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

    Định lí 2 :

    Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :

    • đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
    • đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
    • Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

    BÀI TẬP SGK – SBT :

    BÀI 13 TRANG 60 : chứng minh

    a)      BE < BC

    b)      DE < BC.

    GIẢI.

    a) BE < BC

    Ta có : AB AC suy ra :

    AC là hình chiếu của BC lên AC.

    AE là hình chiếu của BE lên AC.

    b) DE < BC

    Ta có : AE AB suy ra :

    AB là hình chiếu của BE lên AB.

    AD là hình chiếu của DE lên AB.

    Từ (1) và (2) : DE < BE < BC hay DE < BC

    BÀI 17 TRANG 38 SBT :

    Ta có :

    BH là hình chiếu của AB lên BC.

    CH là hình chiếu của AC lên BC.

    Ta lại có :

    BH là hình chiếu của EB lên BC.

    CH là hình chiếu của EC lên BC.

    BÀI 18 TRANG 39 SBT : cho hình bên . chứng minh : BD + CE < AB + AC

    GIẢI.

    Ta có : CE AB tại E, ta được :

    CE là đường vuông góc, CA là đường xiên.

    Ta lại có : BD AC tại D, ta được :

    BD là đường vuông góc, AB là đường xiên.

    Cộng (1) và  (2), ta được : BD + CE < AB + AC

    ==================

    BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

    BÀI 1 :

    Cho điểm M nằm trong tam giác ABC.

    1. Vẽ các điểm E, D, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CB, AC.
    2. Chứng minh : MF + MD + MF < MA +MB + MC.

    BÀI 2 :

    Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A đến BC.

    1. Chứng minh : AH < (AB + AC) : 2
    2. Lấy điểm M nằm giữa A và H. so sánh : MB và MC.

    BÀI 3 :

    Cho tam giác ABC vuông tại A. tia phân giác của góc B cắt AC tại D. so sánh : DE và DC

    ======================

    BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

    Bài 1 :

    Cho tam giác ABC vuông cân tại A. đường thẳng d qua A. từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc d (E, F thuộc d).

    a)      Chứng minh : ABE = ACF.

    b)      Chứng minh : BE + CF = EF.

    c)      Xác định vị trí của d để A là trung điểm EF.

    Bài 1 :

    Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao  AH. Trên cạnh huyền BC lấy M sao cho BM = BA, Trên cạnh huyền AC lấy N sao cho AN = AH. Chứng minh rằng :

    a)      AM là phân giác của góc HAC.

    b)      MN vuông góc AC.

    Chia sẻ:

    Like this:

    Số lượt thích

    Đang tải…

    --- Bài cũ hơn ---

  • Dựng Hình Chiếu Trục Đo Trong Autocad 2D
  • Cách Vẽ Hình Chiếu Thứ 3 Siêu Nhanh Trong Autocad
  • Công Nghệ 11/phần 1/chương 1/bài 7
  • Làm Thế Nào Để Vẽ Một Bông Hồng 5 Cách
  • Vẽ Bàn Chân Và Giày :d Kitten
  • Hướng Dẫn Đánh Bóng Chân Dung Góc Nghiêng

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Vẽ Chân Dung Trong Truyện Tranh
  • Cách Vẽ Chân Dung Khách Hàng Mục Tiêu
  • 5 Bước Vẽ Chân Dung Khách Hàng Mục Tiêu
  • Khách Hàng Mục Tiêu: Chân Dung Và Cách Vận Dụng
  • Chân Dung Khách Hàng Là Gì? Chi Tiết Cách Làm
  • Bước xác định góc vẽ cần đảm bảo các tiêu chí sau:

    • Tỉ lệ chuẩn – đừng chọn góc bị phối cảnh quá nhiều, dựng hình không được hay dựng hình chậm là sml ngay.
    • Rõ nguồn sáng – nếu gặp trường hợp nhiều nguồn sáng cùng chiếu vào mẫu, hãy chọn 1 nguồn sáng chính để vẽ.
    • Nếu tay vẽ còn non, đừng nên chọn góc có mặt tối nhiều quá hay có mặt sáng nhiều quá mà nên canh sao cho diện tích phần sáng – phần tối đủ khả năng vẽ của mình là được.

    Đây là góc ổn nhất hiện tại.

    Phân tích – Đường Tầm Mắt

    Trước khi dựng hình ta nên ôn lại một chút về quy luật phối cảnh 2 điểm tụ đã.

    Quy luật phối cảnh 2 điểm tụ với tầm mắt thấp hơn mẫu.

    Đối với góc vẽ như thế này, các bạn phải ngước mắt lên mới có thể nhìn thấy mẫu hay nói cách khác là tầm mắt của các bạn lúc này đang thấp hơn mẫu. Do đó, theo quy luật phối cảnh thì điểm tụ 1 và điểm tụ 2 sẽ dốc xuống giao với đường tầm mắt, đồng nghĩa với việc các trục ngang trên chân dung người mẫu cũng sẽ được dốc xuống chứ không có song song mặt đất.

    Phân tích – Tỉ Lệ Chân Dung Chuẩn

    Các bạn còn nhớ gì về tỉ lệ chuẩn của một chân dung góc chính diện chứ???

    Các bạn còn nhớ cách dựng hình tượng góc nghiêng chứ?? Nếu các bạn chưa bao giờ vẽ góc nghiêng tượng vạt mảng (hay vẽ chưa được tốt), thì có lẽ các bạn nên quay lại đọc bài viết “Hướng Dẫn Vẽ Tượng Góc Nghiêng” của PICS rồi luyện vẽ tượng cho kỹ, cho thật nhuần nhuyễn. Vì cách vẽ chân dung góc nghiêng cũng không khác gì vẽ tượng góc nghiêng cả nên PICS sẽ không đề cập lại vấn đề này nữa!

    Các bạn nên biết rằng, vẽ người mẫu thật khó vẽ hơn tượng nhiều. Vì con người không thể nào ngồi im hoàn toàn mà không nhúc nhích động đậy như tượng được, cho nên các bạn dựng hình chưa vững sẽ rất khó đo đạc tỉ lệ dựng hình các kiểu.

    Phân tích – Phân Diện Các Cơ Trên Gương Mặt

    Phân diện các nhóm cơ trên chân dung người mẫu.

    Các nhóm cơ trên gương mặt cũng khá nhiều và chúng chia ra làm:

    • Phần cơ Nông – có thể thấy được bằng mắt thường.
    • Phần cơ Sâu – không thể nhìn thấy được bằng mắt thường.

    Nhưng thường thì khi phân diện, chúng ta chỉ diễn tả phần cơ nông thôi cho đơn giản và bớt phức tạp. Vì vậy, các bạn nên học thuộc lòng phần phân diện này.

    Và đây là thành quả sau khi dựng hình xong.

    LƯU Ý là trong quá trình dựng hình, các bạn luôn phải:

    • Thường xuyên gióng trục ngang & trục dọc, nhất là trục ngang, để đối chiếu cho xương, cơ, 2 nửa của gương mặt có sự đối xứng và không bị lệch.
    • Vẽ nét phác phân diện cơ trên gương mặt người mẫu ra đàng hoàng để đánh bóng cho đúng diện tích, tránh trường hợp mải đánh bóng quá, lỡ tay làm méo mó khối cơ mặt.

    Phân tích – Khối Căn Bản Của Chân Dung

    Mục đích của việc quy hết các khối phức tạp trên chân dung quay về khối căn bản là để các bạn dễ dàng hình dung quy luật sáng – tối của một chân dung khi được ánh sáng chiếu vào, bất kể ánh sáng đến từ đâu.

    Dĩ nhiên, đối với một nguồn sáng quá phức tạp chúng ta sẽ cần phải nhìn trực tiếp vào mẫu để đối chiếu, nhưng với kiến thức về khối sẵn có của các bạn khi các bạn THỰC SỰ HIỂU CHÚNG, thì việc thể hiện chúng rõ ràng ra trên mặt giấy sẽ trở nên nhanh hơn rất rất nhiều!

    CÓ THỂ BẠN CHƯA BIẾT? Nhưng, bóng bản thân của một khối chính là phần tối của khối đó.

    Một khi đã hiểu khối cơ bản trên gương mặt thì các bạn có thể chủ động vẽ được hết quy luật sáng – tối như trên mà không cần nhìn mẫu luôn đó. Dĩ nhiên là đối với những nguồn sáng cơ bản thôi nha!

    Đã hiểu rồi thì giờ chúng ta bắt đầu quay lại phần chính của bài hướng dẫn đánh bóng chân dung góc nghiêng thôi nè!!!

    • Ở bước này các bạn nên tranh thủ vẽ nền một chút. Nền khá quan trọng đó, vẽ nền ngay từ những bước đầu tiên sẽ giúp mắt chúng ta cân bằng sắc độ được tốt hơn, tránh lỡ tay vẽ đậm quá hay nhạt quá.
    • Các phần có sắc độ sậm hơn da người trên chân dung như tóc, con ngươi, lông mày, quần áo phụ kiện (nếu có) thì phải mạnh dạn tăng đậm hơn da người luôn nha. Có thể là đan nhiều hơn 3-4 lớp chì vào khu vực đó chẳng hạn.

    • Qua bước tiếp theo chúng ta sẽ tập trung tăng đậm phần tối theo nguyên tắc gần rõ – xa mờ. Ở bước này do phải lên nhiều lớp nhằm tăng đậm, nên các bạn phải nhớ chuốt chì 2B cho nhọn thường xuyên thì nét đan của mình mới “trong trẻo” được.
    • Các phần phụ kiện như quần áo, trang sức (nếu có) cũng lên sắc độ theo cách mà các bạn lên sắc độ cho phần chân dung.

    • Ở bước cuối cùng, chúng ta tập trung chuyển độ: từ sáng sang mờ, từ mờ sang tối. Việc nhấn nhá trong bước này các bạn chỉ cần sử dụng chì 4B là đủ.
    • Trong bước này dễ bị “sai một ly, đi một dặm” lắm, bí quyết để tránh sai sót là hãy-thường-xuyên-nheo-mắt-lại-và-lùi-ra-xa-ngắm-bài-vẽ, việc phát hiện ra lỗi sai và chỉnh sửa chúng kịp thời nhiều khi sẽ giúp các bạn tăng thêm 0,5 – 1 điểm lận đó.

    Hiện PICS STUDIO đang tổ chức lớp học “Mỹ Thuật Căn Bản” . dành cho các bạn đang có nhu cầu học luyện thi đại học hay bổ sung kỹ năng vẽ để làm việc (làm xăm, vẽ minh họa bìa – sách báo, làm game).

    Để đăng ký học vẽ, vui lòng liên hệ:

    HOTLINE: 070 592 1147 (Ms. Nhi) hoặc 085 850 7273 (Mr.Long) để được tư vấn miễn phí.

    Địa chỉ: 4/12 đường số 2, khu phố 3, phường Hiệp Bình Chánh, quận Thủ Đức

    --- Bài cũ hơn ---

  • Mĩ Thuật: Vẽ Chân Dung Lớp 4
  • Tranh Vẽ Chân Dung Em Bé
  • Làm Thế Nào Để Lôi Kéo Anna Khỏi Một Trái Tim Lạnh Giá. Học Cách Vẽ Anna Và Elsa Đang Điêu Khắc Olaf. Video: Cách Vẽ Elsa Từ Frozen
  • Làm Thế Nào Để Vẽ Một Bức Chân Dung Của Elsa Từ Một Trái Tim Lạnh Giá. Làm Thế Nào Để Vẽ Một Elsa Từ Một “trái Tim Lạnh Giá” Bằng Bút Chì Từng Bước. Vẽ Chân Dung Elsa Bằng Bút Chì Và Bút Đen
  • Học Cùng Elsa. Làm Thế Nào Để Vẽ Elsa Bằng Bút Chì Từng Bước. Cách Vẽ Elsa Bằng Bút Chì Từng Bước
  • Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên, Đường Xiên Và Hình Chiếu

    --- Bài mới hơn ---

  • Công Nghệ 8 Vnen Bài 3: Hình Chiếu Và Hình Cắt
  • Cách Vẽ Hoa Hướng Dương Tỏa Nắng Bằng Bút Chì, Bút Màu Hay Bút Bi
  • Ý Tưởng Vẽ Hoa Hướng Dương Cách Điệu
  • Tất Tần Tật Về Tranh Hoa Hướng Dương
  • Tia X Phát Hiện Hoa Hướng Dương Của Van Gogh Sẽ… Héo
  • Bài viên sẽ đưa ra cho các em khái niệm về đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên và các định lý về mối quan hệ giữa chúng. Bài viết này cũng có các bài tập vận dụng để các em củng cố và nâng cao kiến thức.

    Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu I/ Kiến thức cần nhớ 1. Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên

    + Đoạn AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

    Điểm H gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

    + Đoạn AB gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

    + Đoạn HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB lên đường thẳng d.

    2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

    Định lý 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

    Ví dụ:

    (AH bot a,, Rightarrow AH < AB.)

    3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng

    Định lý 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;

    a) Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

    b) Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

    c) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

    Ví dụ: (AB = AC Leftrightarrow HB = HC.)

    II/ Bài tập vận dụng 1. Bài tập trắc nghiệm

    Câu 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

    (A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

    (B) Có duy nhất một đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

    (C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

    (D) Có vô số đường kẻ xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

    Hướng dẫn:

    + Ta biết rằng có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước, vuông góc vói một đường thẳng cho trước và có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước cắt một đường cho trước.

    Bởi vậy, có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d và có vô số đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

    Vậy:

    A. Đúng B. Sai C. Sai D. Đúng

    Trong hình trên, AH là đường vuông góc (duy nhất) và AB, AC, AD, AE, AG là những đường xiên kẻ từ A đến d (có thể kẻ được vô số đường xiên như thế).

    Câu 2: Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH và các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng HB < HC. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    Hướng dẫn:

    Theo định lí so sánh giữa hình chiếu và đường xiên ta có:

    HB < HC ( Rightarrow ) AB < AC.

    Chọn (C).

    Câu 3: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B ta lấy điểm H. Khi đó:

    (A) AH < BH (B) AH < AB

    Chọn (C).

    Câu 4: Trong tam giác ABC có chiều cao AH. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

    (A) Nếu BH < HC thì AB < AC

    (B) Nếu AB < AC thì BH < HC

    (C) Nếu BH = HB thì AB = AC

    (D) Cả A, B, C đều đúng.

    Hướng dẫn:

    Trong tam giác ABC có AH là đường vuông góc và BH; CH là hai hình chiếu.

    Khi đó:

    + Nếu BH < HC thì AB < AC

    + Nếu AB < AC thì BH < HC

    + Nếu BH = HB thì AB = AC

    Nên cả A, B, C đều đúng.

    Chọn (D).

    Câu 5: Cho hình vẽ sau:

    Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

    (C) MA = MB (D) MC < MA

    Hướng dẫn: Chọn (D). 2. Bài tập tự luận

    Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không có cắt cạnh BC hay không? Vì sao?

    Gọi D là giao điểm của cung đó với đường thẳng BC (giả sử D và C nằm cùng phía vói H trên đường thẳng BC).

    Đường xiên AD nhỏ hơn đường xiên AC nên hình chiếu HD nhỏ hơn hình chiếu HC. Do đó D nằm giữa H và c. Vậy cung tròn tâm A nói trên cắt cạnh BC.

    Bài 2: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.

    Lời giải chi tiết:

    Trong tam giác ADE ta có (angle AED = {90^0}) nên AE < AD (1)

    Trong tam giác CFD ta có (angle CFD = {90^0}) nên CF < CD (2)

    Cộng từng vế (1) và (2) ta có: AE + CF < AD + CD

    Mà D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC

    Vậy AE + CF < AC (đpcm).

    Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng (AB < frac{{BE + BF}}{2}.)

    Lời giải chi tiết:

    Tam giác ABM vuông góc tại A ( Rightarrow ) AB < BM.

    Mà BM = BE + EM = BF – MF

    Do đó: AB < BE + EM (1) và AB < BF – MF (2)

    Tam giác MAE = Tam giác MCF (cạnh huyền – góc nhọn)

    ( Rightarrow ) ME = MF. (3)

    Từ (1), (2), (3) suy ra: AB + AB < BE + BF

    ( Rightarrow ) 2AB < BE + BF nên (AB < frac{{BE + BF}}{2}) (đpcm).

    Bài 5: Cho hình sau. Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC.

    Lời giải chi tiết:

    Tam giác ABD vuông tại D suy ra BD < AB. (1)

    Tam giác ACE vuông tại E suy ra CE < AC. (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: BD + CE < AB + AC. (đpcm).

    Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. So sánh BD + BE và AB.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Giảng Công Nghệ Lớp 11
  • Bài Giảng Bài 7: Hình Chiếu Phối Cảnh
  • Vẽ Hoặc Xóa Một Đường Hoặc Đường Kết Nối
  • Bài 13: Lập Bản Vẽ Kỹ Thuật Bằng Máy Tính
  • Skkn Hướng Dẫn Học Sinh Cách Vẽ Hình Chiếu Trong Bộ Môn Công Nghệ 8
  • Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Cách Trang Trí Góc Học Tập Đơn Giản, Phù Hợp
  • 40+ Mẫu Trang Trí Góc Học Tập – Bàn Học Tạo Cảm Hứng Học Cho Bé
  • Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
  • 7 Thước Đo Góc Theo Độ (0~360°) Phổ Biến
  • Từ Vuông Góc Đến Song Song: Các Dạng Toán Cơ Bản.
  • Góc giữa hai mặt phẳng

    I. Định nghĩa

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), $a bot (P)$, $b bot (Q)$. Góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) là góc được tạo bởi hai đường thẳng a và b. Kí hiệu $widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)}$.

    $widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = widehat {left( {a,b} right)}$

    Vậy: $widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = widehat {left( {a,b} right)}$.

    Hệ quả:

    • ${0^0} le widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} le {90^0}$.
    • $widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi (P)//(Q) hoặc (P)$ equiv $(Q).
    • $widehat {left( {left( P right),left( Q right)} right)} = {90^0} Leftrightarrow (P) bot left( Q right)$.

    Định nghĩa 2.

    Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 900 .

    II. 3 phương pháp xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng

    2.1. Phương pháp 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa

    2.2. Phương pháp 2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

    ((P) ∩ (Q) = c). Trong ((P)) từ (I ∈ c) vẽ (a’ ⊥ c); trong ((Q)) từ (I) vẽ (b’ ⊥ c). Góc giữa (a’) và (b’) là góc giữa (mp(P)) và (mp(Q))

    2.3. Phương pháp 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng qua diện tích hình chiếu

    Định lý: Cho đa giác (H) có diện tích S nằm trong mặt phẳng (Q) hợp với (P) một góc $varphi $. Gọi (H’) là hình chiếu vuông góc của (H) trên (P) và (H’) có diện tích S’. Khi đó ta luôn có: $S’ = Maiphuongus.net varphi $.

    2.4. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1.

    Cho hình chóp chúng tôi có SA vuông góc đáy, SA=a, tam giác ABC vuông tại B và $AB = asqrt 3 ;{rm{ }}BC = a.$. Gọi H là hình chiếu của A trên SB.

    a) CMR $AH bot (SBC)$.

    b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

    Giải

    Cách 1. Phương dùng định nghĩa

    Ta có: $left{ {begin{array}{*{20}{c}}

    {SA bot (ABC) Rightarrow SA bot BC}\

    {BC bot AB}

    end{array}} right. Rightarrow BC bot (SAB)$

    $left{ {begin{array}{*{20}{c}}

    {BC bot (SAB)}\

    {AH subset (SAB)}

    end{array}} right. Rightarrow BC bot AH$

    $left{ {begin{array}{*{20}{c}}

    {BC bot AH}\

    {AH bot SB}

    end{array}} right. Rightarrow AH bot (SAB)$

    Cách 2. Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

    Ta có:

    $left{ {begin{array}{*{20}{c}}

    {(ABC) cap (SBC) = BC}\

    begin{array}{l}

    AB subset (ABC);AB bot BC\

    SB subset (SBC);SB bot BC

    end{array}

    end{array}} right. Rightarrow left( {(ABC),(SBC)} right) = (AB,SB)$

    $ Rightarrow left( {(ABC),(SBC)} right) = (AB,SB) = widehat {SBA} = alpha $

    Cách 3. Sử dụng diện tích hình chiếu

    Gọi S là diện tích tam giác ABC, $S = {S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}BA.BC = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}$

    Gọi S’ là diện tích của tam giác SBC, ta có:

    $SB = sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = sqrt {{a^2} + {{left( {asqrt 3 } right)}^2}} = 2a$

    $S’ = {S_{Delta SBC}} = frac{1}{2}SB.BC = frac{1}{2}.2a.a = {a^2}$

    Ta có: $S’ = S.cosalpha $ $ Leftrightarrow cos alpha = frac{{S’}}{S} = frac{{frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}}}{{{a^2}}} = frac{{sqrt 3 }}{2}$ $ Rightarrow alpha = {30^0}$

    Lưu ý:

    Thông thường cách 2 xác định góc giữa hai mặt phẳng qua giao của hai mặt phẳng được sử dụng nhiều và hiệu quả nhất.

    Ví dụ 2

    Cho hình chóp tứ giác đều chúng tôi có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

    Giải

    Gọi I là trung điểm đoạn SA. Ta có tam giác SAD và tam giác SAB đều

    Suy ra BI ⊥SA, DI ⊥SA $left( {widehat {left( {SAB} right),left( {SAD} right)}} right) = left( {widehat {BI,;DI}} right)$

    Áp dụng định lý cosin vào tam giác BID ta được:

    $cos widehat {BID} = frac{{left( {I{B^2} + I{D^2} – B{D^2}} right)}}{{2.IB.ID}}$ $ = frac{{{{left( {frac{{sqrt 3 a}}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{sqrt 3 a}}{2}} right)}^2} – {{left( {2sqrt 2 } right)}^2}}}{{2.frac{{sqrt 3 a}}{2}.frac{{sqrt 3 a}}{2}}} = frac{1}{3}$

    III. Luyện tập

    3.1. Tự luận

    Bài 1. Cho hình chóp chúng tôi có SA vuông góc đáy, SA=a, tam giác ABC vuông tại B và $AB = asqrt 3 ;{rm{ }}BC = a.$. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC).

    Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều chúng tôi có đáy là ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính cos góc giữa hai mặt phẳng (IDB) và (SBD).

    3.2. Trắc nghiệm

    Câu 1. Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB)  và ( SCD) bằng :

    A. $frac{sqrt{3}}{2}$.                   

    B.$frac{2sqrt{3}}{3}$.                  

    C. $frac{sqrt{3}}{3}$.                                    

    D. $frac{sqrt{3}}{2}$.

    Câu 2. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc $widehat{A}={{60}^{0}}$, cạnh $SC=frac{asqrt{6}}{2}$ và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Trong tam giác SAC kẻ IK^SA tại K. Tính số đo góc (widehat{BKD}).

    A. 600 .

    B. 450 .

    C. 900 .

    D. 300.

    Câu 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA= a. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là a , khi đó tan a nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

    A.$tan alpha =sqrt{2}$.     

    B.$tan alpha =frac{sqrt{2}}{2}$.

    C.$tan alpha =sqrt{3}$.            

    D.$tan alpha =1$.

    Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:

    A. 900 .                        B. 600 .                                    C. 450 .                        D. 300 .

    Câu 5. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có SA=SB. Góc giữa (SAB) và (SAD) bằng a. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    A.$cos alpha =-frac{1}{3}$.          B. $cos alpha =frac{2}{5}$.                      

    C. $cos alpha =frac{1}{2}$.                                    D. $cos alpha =frac{2}{3}$.

    Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.

    A. 300 .                        B.600 .                         C. 450 .                                    D.750 .

    Câu 7. Cho hình chóp  chúng tôi có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc $widehat{BAD}={{60}^{0}}$và SA= SB= SD=$frac{asqrt{3}}{2}$. Xác đị nh số đo góc giữa hai mặt phẳ ng (SAC) và (ABCD) .

    A. 300 .                        B. 600 .                        C. 450 .                        D. 900

    Câu 8. Cho hình chóp chúng tôi có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc $widehat{BAD}={{60}^{0}}$và SA= SB= SD=$frac{asqrt{3}}{2}$. Tính tan a với a  là góc giữa (SBD) và (ABCD) .

    A.$sqrt{5}$.              B. 1.                            C.$sqrt{3}$.               D. $frac{1}{sqrt{3}}$

    Câu 9. Hı̀nh chóp .S ABCD có đáy là hı̀nh thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB=2a, AD=DC=a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . tan a có giá trị là:

     A. $frac{sqrt{2}}{2}$.                   B. 1.                C.$sqrt{3}$.               D. $frac{1}{sqrt{3}}$.

    Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều chúng tôi với SA=2AB. Góc giữa (SAB) và (ABC) bằng  a. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

    A.$alpha $ =600.         

    B.$cos alpha =frac{1}{3sqrt{5}}$.         

    C.$cos alpha =frac{1}{4sqrt{5}}$.            

    D.$cos alpha =frac{1}{2sqrt{5}}$.

    —————————

    Tài liệu đính kèm: Góc giữa hai mặt phẳng – Word

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giáo Án Toán 3
  • Hai Góc Đối Đỉnh – 3 Dạng Toán Cơ Bản Nhất
  • Tổng Ba Góc Của Một Tam Giác
  • Làm Thế Nào Vẽ Được Góc Vuông Mà Không Dùng Êke? – Kipkis
  • Thước Đo Góc Trên Mạng, Đo Góc Ảnh
  • Giải Toán 7 Bài 2. Quan Hệ Giữa Đường Vuông Góc Và Đường Xiên, Đường Xiên Và Hình Chiếu

    --- Bài mới hơn ---

  • Đo Vẽ Mặt Cắt Địa Hình, Đo Vẽ Mặt Cắt Dọc, Mặt Cắt Ngang
  • Công Nghệ 11 Bài 4: Mặt Cắt Và Hình Cắt
  • Bài 4. Mặt Cắt Và Hình Cắt Bai 4 Mat Cat Va Hinh Cat Docx
  • #1 Hướng Dẫn Cách Đọc Bản Vẽ Xây Dựng Cơ Bản Trong 10 Phút!
  • Giáo Án Công Nghe 8 Bai3 Doc
  • §2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XEÊN, ĐƯỜNG XEÊN VÀ HÌNH CHIÊU A. Tóm tất kiến thức 1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đưòngxiên Định lí 1. Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hon mọi đường xiên. Quan hệ giữa đưòngcác đường xiên và các hình chiêu của chúng Định lí 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hon thì lớn hơn. A A B H c ■ B H c Hình 3.8 Hình 3.9 Đường xiên nào lón hơn thì có hình chiếu lớn hơn. Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. AB = AC HB = HC (h.3.9). B. Ví dụ giỏi toán Ví dụ. Giải. W"-vA HM3l0 về mặt suy luận: Để so sánh DB và DC, ta so sánh hình chiếu của chúng là HB và HC để từ đó tìm ra lời giải. c. Hưóng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa Bài 8. Giải, (h.3.1-1) Từ AB < AC ta có HB < HC A H Hình 3.11 (đường xiên nhỏ hơn thì hình chiếu nhỏ hơn). Vậy kết luận c) là đúng. Hình 3.12 Bài 9. Giải. Theo hình 3.12, các điểm A, B, c, D nằm trên một đường thẳng d và điểm M nằm ngoài đường thẳng đó. MA là đường vuông góc kẻ từ M đến đường thẳng d. Các đoạn thẳng MB, MC, MD là các đường xiên kẻ từ M lần lượt đến B, c và D. Ta có AB, AC và AD lần lượt là hình chiếu của MB, MC và MD trên đường thẳng d. Điều đó có nghĩa là ngày hôm sau bạn Nam bơi được xa hơn ngày hôm trước, tức là đúng mục đích đề ra. M H Hình 3.13 Nhận xét. Khi hình vẽ mà có đường vuông góc thì bạn nên nghĩ đến quan hệ đường xiên và hình chiếu để vận dụng so sánh đoạn thẳng. Bài 10. Giải, (h.3.13) Xét tam giác ABC cân tại A, lấy M là điểm bất kì của đáy BC. Ta sẽ chúng minh AM <AB. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Nếu M trùng B (hoặc C) thì AM = AB = AC. Nếu M trùng H thì AM = AH < AB (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên). Nếu M nằm giữa B và H (hoặc M nằm giữa c và H) thì HM < HB (hoặc HM < HC ) nên AM < AB (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn). Bài 11. Hướng dẫn: Góc ACD là góc gì ? Tại sao ? Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao ? Hình 3.14 Giải, (h.3.14) Nếu BC < BD thì c nằm giưa B và D. Khi đó: Bài 12. Gidi. Muốn đo chiều rộng của một tấm gỗ, ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ, vì chiều rộng của tấm gỗ là đoạn vuôpg góc giữa hai cạnh này. Cách đặt thước như trong hình 15 (SGK) là sai: ở hình này ta đã đo đoạn xiên chứ không đo đoạn vuông góc. Bài 13. G/ả/. (h.3.15) Cách 1 AE < AC AD ED < EB (tương tự trên) (2) Từ (1) và (2) suy ra ED < BC. Bài 14. PM HM < HR (đường xiên nhỏ thì hình chiếu nhỏ). Suy ra M nằm giữa H và R. Tương tự, có điểm M' nằm giữa H và Q mà PM' = 4,5cm. Như vậy có hai điểm M và M' nằm trên cạnh QR có PM = PM' = 4,5cm. D. Bài tập luyện thêm Cho tam giác ABC có A = 90° . Tia phân giác của ABC cắt AC tại D. Qua c vẽ đường thẳng vuông góc với AC, cắt đường thẳng BD tại E. So sánh CE và CA. Cho tam giác ABC có 10A = 15B = 12C. Tính số đo các góc của tam giác ABC; Kẻ AH vuông góc với BC (H e BC). Chứng minh HC < HB < HA. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ AH, BK, CI lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: , AU . AB + AC 2 b) AH + BK + CI < AB + AC + BC. 4. 1. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô' (h.3.17) Ta có AB // CE (vì cùng vuông góc với AC) nên E = Bj (so le trong). 2. (h.3.18) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: ABC- A + B + C _ 180° _ 0 6 - 4 - 5 - 6 + 4 + 5 " 15° - Suy ra  = 72° ; B = 48°; C = 60°. b) Ta có B AC < AB. AC CH < BH (quan hệ đường xiên và hình chiếu). Tam giác ABH có H = 90° nên B + Aj = 90° , Do đó Aj < B =? BH < AH . Vậy CH < BH < AH. (h.3.19) AB + AC 2 ARx Af Theo câu a) AH < (1). AB + BC Tương tự ta có BK < --j (2) CI<CB±£A(3). 2 Hình 3.19 Từ (1), (2), (3) cộng vế với vế, ta có điều phải chứng minh, Nhận xét. Bài toán sẽ khó hơn nếu chỉ có câu b. Nhận xét Lời giải sẽ thiếu sót, nếu ta không xét các trường hợp mà ngộ nhận phụ thuộc vào một hình vẽ. Bài toán trên vẫn đúng trong trường hợp tam giác ABC không nhọn. Có thể dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác để giải.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Kinh Nghiệm Bắt Đầu Với Hình Học Không Gian
  • Hướng Dẫn Lập Bản Vẽ Triển Khai Nội Thất Và Bổ Kỹ Thuật Nội Thất 2D
  • Hướng Dẫn Cách Đọc Bản Vẽ Kỹ Thuật Nội Thất Chi Tiết Nhất
  • Sáng Kiến Kinh Nghiệm Hướng Dẫn Học Sinh Vẽ Kỹ Thuật Môn Công Nghệ 11
  • Giải Vbt Công Nghệ 8 Bài 6. Bản Vẽ Các Khối Tròn Xoay
  • Góc Giữa Hai Đường Thẳng; Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng

    --- Bài mới hơn ---

  • 3 Lệnh Vẽ Đường Thẳng Trong Cad Dân Thiết Kế Nhất Định Phải Nắm
  • Slide Bài Giảng Đầy Đủ Về Phần Mềm Geogebra
  • Bài 12. Vẽ Hình Phẳng Với Geogebra (Ga Sách Mới)
  • Ứng Dụng Phần Mềm Geogebra Trong Giảng Dạy Bộ Môn Hình Học 8
  • Hướng Dẫn Sử Dụng Phần Mềm Geogebra Để Dạy Toán Hình
  • Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    A. Phương pháp giải

    – Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương

    Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

    – Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

    Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ: 1

    Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết

    A.

    B.

    C.

    D.

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Trục Ox có vecto chỉ phương

    Cosin góc giữa d và Ox là:

    Chọn B.

    Ví dụ: 2

    Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?

    Hướng dẫn giải

    Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là:

    d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Cosin góc giữa d và d’ là:

    Chọn D.

    Ví dụ: 3

    Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:

    Chọn A.

    Ví dụ: 4

    Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    + Đường thẳng AB có vecto chỉ phương

    + Đường thẳng CD có vecto chỉ phương .

    Chọn C.

    Ví dụ: 5

    Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

    A. m= 2

    B. m = – 4

    C. m= (- 1)/2

    D. m= 1

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương

    Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương

    Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:

    Chọn C.

    Ví dụ: 6

    Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là ?

    A. m= ± 1

    B.m= ± 2

    C. m= 0

    D. m= ± 3

    Hướng dẫn giải

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

    Theo giả thiết ta có:

    Chọn A.

    Ví dụ: 7

    Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để

    A. m= 1

    B.m= – 1

    C. m= – 2

    D. m= -1 hoặc m= -7

    Hướng dẫn giải

    + Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

    Theo giả thiết ta có:

    Chọn D.

    Ví dụ: 8

    Cho đường thẳng ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    + Phương trình mặt phẳng (ABC):

    Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0

    Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến .

    + Đường thẳng d có vecto chỉ phương .

    Chọn A.

    Ví dụ: 9

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt , sao cho cosin góc giữa d và là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Hướng dẫn giải

    Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ 1 là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)

    Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

    Đường thẳng Δ 2 có vectơ chỉ phương

    Khi đó; M( 1; 2; – 2) và

    Vậy phương trình đường thẳng d là:

    Chọn B.

    C. Bài tập vận dụng

    Câu 1:

    Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng và (P):x+y-z+2=0?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:

    Chọn C.

    Câu 2:

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?

    A. ( -3; 0; 4)

    B. ( 3; 0; 2)

    C. ( -1; -2; -1)

    D. ( 1;2;1)

    Câu 3:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng này?

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    + Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương .

    Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương

    Chọn B.

    Câu 4:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(-1; 2; 0); B( 2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x- y+ z- 2= 0. Sin góc của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là . Tính a?

    A . 5

    B.10

    C. 8

    D. 7

    + Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

    + Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:

    Chọn B

    Câu 5:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 5= 0 và M( 1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P))= 0,5

    A.

    B.

    C.

    D.

    Câu 6:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua A( 3; -1; 1) nằm trong mặt phẳng (P): x- y+ z- 5= 0 đồng thời tạo với một góc 45 o. Phương trình đường thẳng d là

    A.

    B.

    C.

    D. Đáp án khác

    Câu 7:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.

    A.

    B.

    C.

    D.

    Câu 8:

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45 o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

    A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)

    B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)

    C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)

    D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)

    Trục Oy có vectơ chỉ phương là

    Đường thẳng d có vecto chỉ phương .

    + Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương

    +Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương

    Chọn D.

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Xác Định Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian
  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Cực Hay
  • Cách Tính Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng, Bài Tập Vận Dụng
  • 15 Ý Tưởng Trang Trí Góc Học Tập Tuyệt Đẹp Nhìn Thích Mê
  • 40+ Mẫu Trang Trí Góc Học Tập
  • Web hay
  • Links hay
  • Guest-posts
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100