--- Bài mới hơn ---
Cách Giải Phương Trình Logarit Khác Cơ Số
Giải Bất Phương Trình Logarit Bằng Máy Tính Casio – Lingocard.vn
Chuyên Đề Bất Phương Trình Lớp 10 Violet
Đặt Ẩn Phụ Để Giải Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Căn
Các Bài Tập Về Phương Trình, Bất Phương Trình, Hệ Phương Trình
VẤN ĐỀ 2
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
&
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
QUI VỀ BẬC HAI
22
Vấn đề 2
Bất Phương Trình Bậc Hai &
Bất Phương Trình Qui Về Bậc Hai
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Định lý:
Định lý : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c , ∆ = b2 – 4ac
• Nếu ∆ < 0 thì tam thức cùng dấu ∀x
• Nếu ∆ = 0 thì tam thức cùng dấu a ∀x khác
2
b
a
−
và bằng 0 khi x =
2
b
a
−
với mọi x thuộc khoảng (x1 , x2) và cùng dấu a với mọi x ở ngoài
đoạn )
27
• m = 1 : (1) thành x2 – 14x + 49 ≤ 0 ⇔ (x – 7)2 ≤ 0
⇔ x = 7 : S = {7}
• 1 < m < 3 :
⎩⎨
⎧
<∆
>
0
0a
Tập nghiệm của bất phương trình (1) : S = ∅
• m = 3 : (1) thành x2 – 30x + 225 ≤ 0 ⇔ x = 15 : S = {15}
Bài 6
Giải và biện luận các bất phương trình sau :
x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0
Giải
x2 – 2(4m + 3)x + 15m2 + 28m + 6 ≤ 0 (1)
‘∆ = m2 – 4m + 3
Đặt VT = f(x)
• 1 < m < 3 ⇒
⎩⎨
⎧
>
<∆
0a
0’
x1 = 4m + 3 – ‘∆ , x2 = 4m + 3 + ‘∆
(1) có nghiệm x1 < x < x2
mx2 + (m – 3) x + m – 3 < 0 (1)
* m ≠ 0
∆ = 3− m2 + 6m +9 , Đặt VT (1) = f(x)
* m < 1− :
⎩⎨
⎧
<∆
<
0
0a
⇒ f(x) < 0 Rx∈∀
Vậy (1) ⇔ x∈ R
* m ≥ 3 :
⎩⎨
⎧
≤∆
>
0
0a
⇒ f(x) ≥ 0 Rx∈∀
Vậy (1) VN
* 1− < m < 0 :
⎩⎨
⎧
>∆
<
0
0a
, f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
x1,2 = m2
)3m( ∆±−−
(1) ⇔ x x2
28
* m = 1− : (1) ⇔ 0)2x(04x4x 22 <+−⇔<−−− ⇔ x ≠ 2−
* 0 < m < 3 :
⎩⎨
⎧
>∆
>
0
0a
, f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
⇔ x1 < x < x2 .
* m = 0 , (1) ⇔ 3×3 −− 1−
Kết luận chung :
m ≥ 3 : x ∈ ∅ -1 x2
1m −= : x ≠ 2− 0 < m < 3 : x1 < x< x2
Bài 7
Định m để với mọi x ta luôn có :
a)
7x5x
5x7x2
2
2
+−
+− ≤ m b) 6
1xx
6mxx39 2
2
<+−
−+<−
c)
1mxx
4xx3
2
2
+−
++ ≥ 2
Giải
a)
7x5x
5x7x2
2
2
+−
+− ≤ m
⇔ (m – 2)x2 – (5m – 7)x + 7m – 5 ≥ 0
YCĐB ⇔
⎩⎨
⎧
>−=
≥++−=∆
02ma
09m6m3 2
⇔
⎩⎨
⎧
>
≤≤−
2m
3m1
⇔ 2 < m ≤ 3
b) 6
1xx
6mxx39 2
2
<+−
−+<− (1)
Vậy (1) ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>++−
>+−+
012x)6m(x3
03x)9m(x12
2
2
)3(
)2(
(1) thoả ∈∀x R ⇔ (2) , (3) thoả ∈∀x R
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−+=∆
<−−=∆
010812m
063m18m
2
)3(
2
)2( ⇔
⎩⎨
⎧
<<−
<<−
6m18
21m3
⇔ 6m3 <<−
29
c)
1mxx
4xx3
2
2
+−
++ ≥ 2 (1)
(1) thoả ∈∀x R ⇒ x2 – mx +1 ≠ 0 ∈∀x R
⇔ x2 – mx + 1 = 0 VN ⇔ ∆ = m2 – 4 < 0
⇔ 2− < m < 2 ( )α
(1) ⇔
1mxx
4xx3
2
2
+−
++ ≥ 2 ⇔ x2 + (2m + 1)x + 2 ≥ 0 (2)
(1) thoả ∈∀x R ⇔
⎩⎨
⎧
>=
≤−+=∆
)d(01a
07m4m4 2
⇔
2
71m
2
71 +−<<−− ( so đk (α ) →nhận )
Bài 8
Cho f(x) = (a+1)x2 – 2(a – 1)x + 3a – 3 định a để :
a) Bất phương trình f(x) < 0 vô nghiệm
b) Bất phương trình f(x) ≥ 0 vô nghiệm
Giải
2
3 (loại vì không thoả )
* a ≠ 1− thì f(x) < 0 VN ⇔ f(x) ≥ 0 Rx∈∀
⇔
⎩⎨
⎧
≤+−−=∆
>+=
04a2a2’
01aA
2 ⇔ ⎩⎨
⎧
−≤
2a
1a
v
1a ≥ ⇔ a ≥ 1
KL : a ≥ 1
b) f(x) ≥ 0 có nghiệm .Giả sử f(x) ≥ 0 VN
* a = 1− thì f(x) = 4x – 6 < 0 ⇔ x <
2
3 ( loại vì không thoả)
* a ≠ 1− ⇔ f(x) < 0 Rx∈∀ ⇔
⎩⎨
⎧
<
<∆
0a
0′ ⇔
⎩⎨
⎧
−<
−<
1a
⇔ a < -2
Vậy f(x) ≥ 0 có nghiệm ⇔ a ≥ 2−
30
Bài 9
Định m để bất phương trình :
x2cos m – 2xsin m cos m + sin m ≥ 0 Rx∈∀
Giải
x2cos m – 2xsin m cos m + sin m ≥ 0 Rx∈∀
⇔
⎩⎨
⎧
≤−=∆
>=
0mcosmsinmcosmsin’
0mcosa
22
⇔
⎩⎨
⎧
≤≤
>
1mcosmsin0
0mcos
⇔
⎩⎨
⎧
≤<
≤≤
1mcos0
1msin0
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
π+π<<π+π−
π+π≤≤π
2k
2
m2k
2
2km2k
⇔ π+π<<π 2k
2
m2k
Bài 10
Giải bất phương trình
a)
2xx
3x2x
2
2
−+
++
≥ 1 b)
4x
6xx
2
2
−
−−
≥ x
c) 8x2x1x 22 +−≤−
Giải
a)
2xx
3x2x
2
2
−+
++
≥ 1 ⇔ 2xx3x2x 22 −+≥++ (1)
* x < 2− v 0 < x < 2
(1) ⇔ x2 + 2x + 3 ≥ x2 – x + 2 ⇔ x ≥
3
1− so với đk ⇔ 0 < x < 2
* 2− ≤ x ≤ 0
(1) ⇔ 2x− 3×2 +− ≥ x2 – x + 2 ⇔ 2×2 +x – 1 ≤ 0
⇔ 1− ≤ x ≤
2
1 so với đk ⇔ 1− ≤ x ≤ 0
* x ≥ 2
(1) ⇔ x2 +2x + 3 ≥ x2 + x – 2 ⇔ x ≥ 5− so với đk ⇔ 2x ≥
Kết luận : x ≥ 1−
31
b)
4x
6xx
2
2
−
−−
≥ x
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
−
≥
x
2x
3x
0x
v
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
+
<
x
2x
3x
0x
⇔
⎩⎨
⎧
≤
≥
2x
0x
v
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−≤
<
2
131x
0x
v
2
131×2 +−≤≤−
⇔ 0 ≤ x ≤ 2 v x ≤
2
131−− v 2− ≤ x < 0
⇔ x ≤
2
131+− v 2− ≤ x ≤ 2
c) 8x2x1x 22 +−≤− (1)
* x ≤ 1−
(1) ⇔ x2 – 1 ≤ x2 + 2x + 8 ⇔ x ≥
2
9− so với đk ⇔ 1x
2
9 −≤≤−
* 1− < x ≤ 0
(1) ⇔ 1 – x2 ≤ x2 + 2x + 8 ⇔ 2×2 +2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ∈ R so với đk
⇔ 1− <x ≤ 0
* 0 < x ≤ 1
(1) ⇔ 2x− + 1 ≤ x2 – 2x + 8 ⇔ 2×2 – 2x + 7 ≥ 0
⇔ x ∈ R so với đk ⇔ 0 < x ≤ 1
(1) ⇔ x2 – 1 ≤ x2 – 2x +8 ⇔ x ≤
2
9 so với đk ⇔ 1 < x ≤
2
9
Kết luận :
2
9x
2
9 ≤≤−
32
Bài 11
Giải và biện luận bất phương trình :
(m + 1)x2 – 2(m – 1)x + 3(m – 1) ≥ 0
Hướng dẫn giải :
Ta có :
a = m + 1,
∆’ = -m2 – m + 2 (m1 = 1 , m2 = -2)
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+−−+−=+
1m
2mm1m
1m
2mm1m0’
22
21 x , x ,
ta dươc : x1 < x2
m -∞ -2 -1 1 +∞
a – – 0 + +
∆ – 0 + + 0 –
Biện luận :
• m < -2 ⎩⎨
⎧
∈∀<<∆
<
Rx 0f(x) , 0
0a
• m = -2
⎩⎨
⎧
=∆
<
0
0a
⇒ f(x) ≤ 0 ∀x∈R ⇒ f(x) = 0 ⇔ x = 3
• -2 < m < -1
⎩⎨
⎧
>∆
<
0
0a
, f(x) ≥ 0 , ∀ x1 ≤ x ≤ x2
• m = -1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
=
2
3x
0a
• -1 < m < 1
⎩⎨
⎧
>∆
>
0
0a
: f(x) ≥ 0 ∀x ≤ x1 ∨ x ≥ x2
• m = 1
⎩⎨
⎧
=∆
>
0
0a
: f(x) = 0 ⇔ x = 0
⎩⎨
⎧
<∆
>
0
0a
: f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R
33
Bài 12
Giải và biện luận : mx2 + (m + 3)x + 3 ≥ 0
Giải
• m = 0 : bất phương trình ⇔ 3x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1
• m ≠ 0 : ∆ = (m + 3)2 – 4.3.m = (m – 3)2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++−=
−−+−=
m2
|3m|)3m(x
m2
|3m|)3m(x
2
1
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
m
3x
1x
2
1
Xét h = -1 – ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
m
3 = 1
m
3 − =
m
m3 − = x1 – x2
M 0 3
Kết luận :
• m = 0 : bất phương trình ⇔ x ≥ -1
• m < 0 : bất phương trình ⇔ -1 ≤ x ≤ –
m
3
• 0 < m < 3 : bất phương trình ⇔ x ≤ –
m
3 ∨ x ≥ -1
m
3
• m = 3 : bất phương trình ⇔ x ∈ R
Bài 13
Cho 2f (x) m(m 3)x 2mx 2= + + +
Giải
Xét m 0≠ và m 2≠ − :
34
Xét :
m 0
m 2
=⎡⎢ = −⎣
YCĐB
‘ 0 m(m 4) 0
a 0 m(m 2) 0
m 4 m 0
m 2 m 0
⎧⇔ ⎨ ⎩
m 4 m 0 (b) ⇔
Kết luận : (a) (b) m 4 m 0 ∨ ⇔ < − ∨ ≥
Vậy : m 0= (nhận) (a)
* 1m 2 : 4x 2 0 x
2
Bài 14
Định m để phương trình sau vô nghiệm :
2
2
1 1x 2m x 2m 0
xx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Giải
Đặt
2 2 2 2
2 2
1 1 1t x t x 2 x t 2
x x x
t 2 t 2 t 2
⎧ = + ⇒ = + + ⇒ + = −⎪⎨⎪ ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥⎩
(1)⇔ g(t) =
2t 2mt 2m 2 0
t 2 t 2
⎧ − + − =⎪⎨ ≤ − ∨ ≥⎪⎩
Theo YCĐB
1 2
g 0
2 t t 2
∆ <⎡⇔ ⎢− < ≤ <⎣
g 0 (a)
af ( 2) 0
af (2) 0
(b)’ 0
S2 2
2
(a) 2m 2m 2 0 :− + < Vậy m .( )∈∅ α
35
(b)
2 m Rm 2m 2 0
2m 2 04 4m 2m 2 0
6m 2 04 4m 2m 2 0
2 m 22 m 2
m R
m 1
1 m 1( )1 3m
3
2 m 2
∈⎧⎪ ⎪⎪− < <⎪⎩
( ) ( )α ∨ β cho ta kết luận : 1 m 1
3
− < <
Bài 15
Tìm m lớn nhất để.
f (x) x(x 2) (x 4) (x 6) m, x R = + + + ≥ ∀ ∈
Hướng dẫn giải :
Ta có :
2 2f (x) (x 6x) (x 6x 8) m, x R = + + + ≥ ∀ ∈
Đặt ẩn phụ
2T x 6x
T 9
⎧ = +⎪⎨ ≥ −⎪⎩
Vậy f (T) T(T 8) m, T 9= + ≥ ≥ − 2T 8T m, T 9 (*) ⇔ = + ≥ ≥ −
(*) m Min f(T), T 9 ⇔ ≤ ≥ − m 16⇔ ≤ −
Vậy : m = -16
Bài 16
Xác định các tham số a , b để baxx8 24 ++ ≤ 1
với mọi x ∈ thì t ∈ ⇒ y’ = 16t + a ; y’ = 0 ⇔ t =
16
a−
36
* Nếu
16
a− ≤ 0 , ta có bảng biiến thiên :
Từ đó :
Do đó, ta có : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤+ −≥
≥⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤−
−≥ ≤++
7ba
1b
0a
0
16
a
1b
1ba8
* Nếu 0 ≤
16
a− ≤ 1 ,ta có bảng biến thiên:
Do đó , ta có :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−≤ −≤
−≥
≤≤−
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤−≤
−≥+−
≤ ≤++
7ab
1b
1
32
ab
0a16
1
16
a0
1b
32
a
1b
aba8
22
)4(
)3(
)2(
)1(
Trong hệ trục toạ độ 0ab , vẽ đồ thị các hàm số :
b = 1
32
a 2 − , b = 1 , b = 7a −−
Từ đồ thị , ta thấy những điểm thoả mãn (1) , (2) ,(3) là phần gạch sọc
trên hình vẽ ; còn những điểm thoả mãn (4) là nửa mặt phẳng nằm
phía dưới đường thẳng b = 7a −− .Dễ thấy 2 miền này chỉ có điểm
chung ( 8− ;1) ⇒ a = 8− ; b = 1 .
* Nếu
16
a− ≥ 1 , ta có bảng biến thiên :
Ta có : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≥+≤
−≤⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥ −≤++
≤−
9ba
1b
16a
1b
1ba8
0
16
a
( vô nghiệm )
Bài 17
Tìm y để bất phưong trình ysin2)ysiny(cosx2x 22 +−+ ≥ 0
nghiệm đúng với mọi x
(Đề Đại Học Y Dược TP HCM)
Giải
37
ysin2)ysiny(cosx2x 22 +−+ ≥ 0 x∀
ysin2)ysiny(cos’ 22 −−=∆ ≤ 0
⇔ cos2y – sin2y – 2cosysiny ≤ 0
⇔ cos2y – sin 2y ≤ 0 ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +π y2
4
cos2 ≤ 0
⇔ )Zk(2k
2
3y2
4
2k
2
∈π+π≤+π≤π+π
⇔ )Zk(k
8
5yk
8
∈π+π≤≤π+π .
Bài 18
Với giá trị nào của tham số thì ä bất phương trình sau có nghiệm :
1mm1mx21x 22 −++−+ ≤ 0
(Đề Đại Học Kinh Tế )
Giải
1mm1mx21x 22 −++−+ ≤ 0 (1)
Đặt t = x – m ; (1) ⇔ 1mm2)tmt(2t 22 −++++ ≤ 0 (2)
Đặt f(t) = 1mm2)tmt(2t 22 −++++
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ min f(t) ≤ 0
Trường hợp 1 : t ≥ 0
f(t) = 1mm2)tmt(2t 22 −++++
• Nếu )1m( +− ≤ 0: minf(t) = f(0)
f(0) ≤ 0 ⇔ 2m2 +m – 1 ≤ 0 ⇔
2
1m1 ≤≤− ( thoả m ≥ 1− )
f( m− 1− ) ≤ 0 ⇔ m2 – m – 2 ≤ 0 ⇔ 1− ≤ m ≤ 2 (loại)
Trường hợp 2 : t < 0
f(t) = t2 + 2(m-1)t + 2m2 + m –1
Tương tự ta được : min f(t) ≤ 0 ⇔
2
1m1 <<−
Đáp số :
2
1m1 ≤≤− .
38
Bài 19
Tìm a để với mọi x : f( x) = 3ax2)2x( 2 ≥−+−
(Đề Đại Học Y Dược TP HCM)
Giải
f( x) = 3ax2)2x( 2 ≥−+− ⇔ ax23)2x( 2 −−≥−
Đặt g(x) = (m – 2)2
h(x) = 3 – 2 ⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤−+ ≥+−=− aax2x23 aax2x232x
Vẽ đồ thị g(x) = (x – 2)2 và 2 tiếp tuyến song song với hai đường
thẳng y = 3 – 2x + 2ax ≥ a :
y = 3 + 2x – 2ax ≤ a
Có phương trình : y = 2− x + 3 và y = 2x – 5
Yêu cầu của bài toán được thoả khi :
a2− + 3 ≤ 5− hoặc 2a – 5 ≤ 3 ⇔ a ≥ 4 hoặc a ≤ 0.
Bài 20
Với các giá trị nào của m thì phươngtrình : mx2 + x + m – 1 = 0 có hai
nghiệm phân biệt x1 ,x2 thoả mãn : 1x
1
x
1
21
>−
(Đề Đại Học Dược Hà Nội )
Giải
Đặt f(x) = mx2 + x + m – 1
f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 :
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+<<−
≠
⇔⎩⎨
2
21m
2
21
0m
0)1m(m41
0m
x1 , x2 thoả mãn 1x
1
x
1
21
>− ⇔ ⎩⎨
⎧
≠
−<
0xx
xxxx
21
2121
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
+<<−⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
−−<−
1m
10
291m
10
297
1m
m
1m4
m
1
m
)1m(
22
2
39
Vậy m thoả mãn bài ra là :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
+<<−
1m
2
21m
10
297
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1
b) Tìm m sao cho ( ) 2( ) 2 1 2 4 3 0f x m x x m= − − + − ≤ ∀x
c) Tìm m sao cho ( ) ( ) 22 1 2 1 0f x m x mx m= + − − + ≥ ∀x
d) Tìm m sao cho ( ) ( ) ( )21 2 1 3 2 0f x m x m x m= − − + − − < ∀x
Chú ý :
Cho f(x) = ax2 + bx + c có tham số
TH1 :
0
0
a b
c
0
0
Bài 2
Bài 3
Giải và biện luận các bất phương trình sau :
1) mx2 + (m + 3)x + 3 ≥0
Bài 4
Giải các bất phương trình sau :
a) 3×3 < x2 + x + 1 b) x4 – x2 + 10x < 25
c) x4 – 5×3 + 8×2 – 10x + 4 2
Hướng dẫn :
c ) Chia hai vế cho x2, đặt t = x +
x
2 ; 2 – 2 < x < 2 + 2
d) Đặt t = x + 3x
2
51 +=+
40
Bài 5
Giảivà biện luận theo tham số m bất phương trình :
( ) ( )24 2 1 1 0f x x m m x m m= − + + + + <
Bài 6
Cho bất phương trình f(x) = x2 + 6x + 7 + m ≤ 0 (1)
a) Giải và biện kuận (1)
b) Tìm m sao cho (1) có đúng 1 nghiệm số
c) Tìm m sao cho (1) có 1 đoạn nghiệm
d) Tìm m sao cho (1) coÙ 1đoạn nghiệm có chiều daì bằng 1
Bài 7
Cho bất phương trình (4m – 3)x2 – 2(m + 1)x – m – 1 ≥ 0 (1)
a) Giải và biện luận (1)
b) Tìm m sao cho (1) vô nghiệm , có đúng 1 nghiệm , có 1 đoạn
nghiệm , có 2 khoảng nghiệm
c) Tìm m sao cho đoạn nghiệm có chiều daì bằng 2
Bài 8
Cho bất phương trình f(x) = (m2 –1 )x2 – (m – 1)x + 2 ≥ 0 (1)
Tìm m sao cho bpt (1) có nghiệm là 1 đoạn và có chiều daì bằng 1
Bài 9
Bài 10
Cho 2f (x) (x 1) (x 3) (x 4x 16) m= + + + + ≥
Tìm m để bất phương trình
a. Có tập nghiệm là R
b. Có nghiệm
c. Vô nghiệm
Bài 11
Xác định m để bất đẳng thức : x2 – 2x + 1 – m2 ≤ 0
thỏa mãn ∀ , x ∈[ ]2 1 ,
(Đại Học Kiến Trúc)
41
Bài 12
Cho bất phương trình : x4 – 4×3 + 3×2 + 2x < m (1)
a) Giải bất phương trình với m = 2.
b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
Bài 13
Tìm m để x2 – m(1 + m2)x + m4 0
Bài 14
Tìm m để mọi nghiệm của 2×2 – (1 + 3m)x + m2 + m = 0 đều thỏa điều
kiện :
x2 – mx – 3m – 1 ≥ 0
Bài 15
Cho f(x) = x2 + 6x + 7 + m . Tìm m để f(x) ≤ 0 có đúng một nghiệm .
Tìm m để f(x) ≤ 0 có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1.
Bài 16
Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình sau :
|x2 + 2x| ≤ |x2 + 3x + 2a|
Bài 17
Bài 18
Bài 19
Tìm m để (2m + 2)x2 – 9(16m + 9)x + 6(2m + 1) = 0 có đúng một
nghiệm trong (0 , 1)
Bài 20
Tìm m để 2×2 – 3x + 2m = 0 có một nghiệm khác 0 và gấp 3 lần một
nghiệm của : 2×2 – x + 2m = 0
Bài 21
Tìm m để với mọi x thì : -6 ≤
1xx
4mxx2
2
2
+−
−+ ≤ 4
Bài 22
Định m để : 2
4x2x
mxx
2
2
≥++
+
42
Bài 23
Định m để : -x2 + 2(m – 1)x – 4m < 0 , ∀x∈R
Bài 24
Định m để bất phương trình : (1 – m)x2 + 2mx + (m – 6) ≥ 0
a) Có nghiệm b) Vô nghiệm
c) Có duy nhất nghiệm
Bài 25
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Giả sử phương trình f(x) = x vô
nghiệm. Chứng minh phương trình f(f(x)) = x vô nghiệm.
Bài 26
Cho f(x) = x2 + 2(sint + cost)x + 1. Tìm x để f(t) ≥ 0 với mọi t ∈ R. Tìm
t để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R.
Bài 27
Tìm m để 25(x2 + y2) + ,xy – (x + y) +
100
1 ≥ 0 với mọi x ± y = 0
Bài 28
Cho
m
c
1m
b
2m
Chứng minh rằng : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x ∈ (0 ,1)
Bài 29
4
Bài 30
Bài 31
Chứng minh với ∆ABC thì :
x2 – 2x(cosB + cosC) + 2(1 – cosA) ≥ 0 , ∀x.
--- Bài cũ hơn ---
Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Chuyên Đề Lượng Giác: Phương Trình – Bất Phương Trình – Hệ Phương Trình
Lý Thuyết Phương Trình Chứa Căn Môn Toán Lớp 10
Chuyên Đề 3: Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Căn Thức
Chuyên Đề Bất Phương Trình