Top 13 # Xem Nhiều Nhất Cách Giải Phương Trình Mặt Cầu Có Đường Kính Ab Mới Nhất 6/2023 # Top Like

Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I (a; b; c) và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0

Phương pháp giải

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R

R=d(I;(P))

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))= 8/3

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu R=d(I;(P))=8/3

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là:

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)

Hướng dẫn:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:

Phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) là:

Bài 3: Cho 4 điểm A (3; -2; -2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1) và D (-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn:

⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: n → =(1;2;3)

Phương trình mặt phẳng (BCD) có VPPT n → =(1;2;3) và đi qua điểm B(3; 2; 0) là: x-3+2(y-2)+3z=0

⇔ x+2y+3z-7=0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là:

d(A;(BCD))= √14

Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCD) là:

Bài 4: Cho mặt phẳng ( P ): 2x + 3y + z – 2 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Oz, bán kính bằng 2/√(14) và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:

Hướng dẫn:

Tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; c)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))

Do mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính của mặt cầu.

Khi đó, tồn tại 2 điểm I thỏa mãn là (0; 0; 2) và (0; 0; 0)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để một phương trình là phương trình một mặt cầu.

1. Phương pháp giải

Khi đó mặt cầu có tâm I (a; b;c), bán kính R

Khi đó mặt cầu có

2. Ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải:

Đây là phương trình đường tròn có tâm I( 1; -2; 0), bán kính .

Chọn D.

A.Tâm I( -1; 2; -3) và bán kính R=4. B. Tâm I( 1; -2; 3) và bán kính R = 4.

C.Tâm I(-1; 2; 3) và bán kính R= 4. D. Tâm I(1; -2; 3) và bán kính R= 16.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho phương trình (S): x 2 + y 2 + z 2 + 2( 3 – m)x – 2( m+ 1)y – 2mz + 2m 2 + 7 = 0 . Tìm tất cả giá trị của m để ( S) là một phương trình mặt cầu.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a= m – 3 ; b = m + 1; c = m và d= 2m 2 + 7

Chọn C.

A. 7 B. √377/7 C. √377 D. √377/4

Hướng dẫn giải:

hay

Suy ra bán kính

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính .

1. Phương pháp giải

+ Mặt cầu có đường kính AB: Tâm I là trung điểm của AB và bán kính R = AB/2 .

Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Cách 1:

+ Bước 2: Thay tọa độ bốn điểm A, B, C, D vào phương trình (*), ta được hệ 4 phương trình.

Thay a, b, c, d vào (*) ta được phương trình mặt cầu cần lập.

Cách 2:

+ Bước 1: Gọi I(a, b, c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

Suy ra:

+ Bước 2: Giải hệ trên để tìm a, b, c.

+ Bước 3: Tìm bán kính R = IA.

Từ đó, viết phương trình mặt cầu cần tìm có dạng (x- a) 2 + ( y – b) 2 + ( z – c) 2 = R 2

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A( -2; 1; 0) và B( 2;3 ; -2). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm của AB, tọa độ điểm M là :

Độ dài MA là :

Mặt cầu cần tìm nhận M(0; 2; -1) làm tâm và có bán kính là R= MA = √6.

Chọn C.

Ví dụ 2: Nếu mặt cầu (S) đi qua bốn điểm M(2; 2;2); N( 4; 0; 2); P( 4; 2; 0) và Q(4;2;2) thì tâm I của (S) có toạ độ là:

A. (-1;-1; 0) B. (3; 1; 1) C. (1; 1; 1) D. (1; 2;1)

Hướng dẫn giải:

Từ (1); (2); (3) và (4) ta có hệ phương trình:

Suy ra, mặt cầu (S) thỏa mãn có tâm I(1; 2; 1)

Chọn A.

Ví dụ 3: Mặt cầu (S) tâm I( -1; 2; -3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+ 2y + 2z + 6 = 0có phương trình:

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên d( I; (P)) = R = 1

Suy ra, phương trình mặt cầu cần tìm là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho các điểm A(-2; 4; 1); B(2; 0; 3) và đường thẳng . Gọi (S) là mặt cầu đi qua A; B và có tâm thuộc đường thẳng d. Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A. 3√3 B. √6 C.3. D.2√3

Hướng dẫn giải:

⇔ -4t = 0 nên t = 0

Vậy bán kính mặt cầu (S) là R = AI = 3√3

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng và hai mặt phẳng (P): x+ 2y + 2z+3 = 0, (Q): x+ 2y + 2z + 7 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình

Hướng dẫn giải:

Do tâm I ∈ d nên I(t; -1; – t)

Mà mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:

R= d(I; (P)) = d(I; (Q))

⇔8t = 24 nên t = 3.

Với t= 3,ta có tâm I (3; -1; -3) và bán kính R= d( I; (P))=

Chọn D.

Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu biết tâm I, một đường thẳng ( mặt phẳng) cắt mặt cầu thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt đường thẳng d theo dây cung AB

* Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d

* Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB. Suy ra độ dài AH (với H là trung điểm AB)

* Bước 3: Tính IA theo định lý Pitago cho tam giác vuông AIH. Suy ra bán kính R= IA.

* Phương trình mặt cầu (S) biết tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo đường tròn giao tuyến (C)

* Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P)

* Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r của đường tròn giao tuyến. Suy ra bán kính mặt cầu

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng tại hai điểm A, B với AB = 16.

Hướng dẫn giải:

Từ đó, khoảng cách từ I đến Δ là :

Gọi H là trung điểm của AB ta có: AH= HB= AB/2 = 8

Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Khi đó

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – 6 = 0; (Q): 2x – y+ z +7 = 0 và đường thẳng . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và Δ sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là 20π .

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆:

Do tâm I là giao điểm của đường thẳng ∆ và (P) nên tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5(1+7t) – 4. 3t + (1 – 2t) – 6 =0

⇔ 21t = 0 ⇔ t= 0

Khi đó, tọa độ điểm I(1 ; 0 ; 1).

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (Q) là :

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:

20π = πr 2 ⇔ r = 2√5

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

Chọn B.

A. x- 2y + 3z – 2 = 0. B. x – 2y – 3z – 2= 0.

C. x+ 2y – 3z – 6 = 0 D. 2x- y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Để (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì (P) phải qua tâm I(1; -2; 1)của (S).

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; -1;0) và nhận vecto n → (1; -2; -3) làm VTPT nên có phương trình:

1( x- 0) – 2( y+1) – 3( z- 0) = 0 hay x- 2y – 3z – 2= 0

Chọn B.

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 3;4) và bán kính R= 4.

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α) là:

Suy ra mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (α) theo một đường tròn.

Ta có điểm M ∈ (α) < ; IM = √14 < R nên điểm M nằm trong mặt cầu (S).

Để đường thẳng Δ đi qua M và nằm trong (α) cắt mặt cầu (S) theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất thì Δ ⊥MH .

Vậy phương trình

Chọn B.

Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng, mặt phẳng và thỏa mãn điều kiện T

1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z + 24= 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

Hướng dẫn giải:

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Suy ra, một VTCP của d là:

Phương trình đường thẳng d là

Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) nên H= d ∩ (P) .

Vì H ∈ d nên H( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t.

Mặt khác, H ∈ (P) nên ta có:

6(2+ 6t) + 3(5+ 3t) – 2( 1- 2t) + 24 = 0

⇔ t= – 1

Do đó, H( -4; 2; 3).

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR 2 ⇔ R = 14 .

Do đó tọa độ điểm I có dạng I( 2+ 6t; 5+ 3t; 1- 2t), với t ≠ -1 .

Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

Do đó: I(8; 8; -1).

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x+ 2y – 2z + 2= 0 và điểm A(2; -3; 0). Gọi B là điểm thuộc tia Oy sao cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng (P) có bán kính bằng 2. Tọa độ điểm B là:

A. (0; 1; 0) B.(0; -4; 0) C.(0; 2; 0) hoặc (0; -4; 0) D. (0; 2; 0)

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết R= 2 nên:

Vậy tọa độ B(0; 2; 0).

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P): 2x+ 3y – z + 2 = 0; (Q): 2x – y – z +2 = 0. Phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A(1; -1;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q) là:

Hướng dẫn giải:

Ta có; phương trình đường thẳng d là:

Tâm I ∈ d nên I( 1+ 2t; -1+ 3t; 1- t).

Do điểm I nằm trên mp (Q) nên ta có:

2( 1+ 2t) – ( -1+ 3t ) – (1 – t) + 2 = 0

⇔t = – 2 nên I ( -3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu là R= IA =

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P);(Q) có phương trình (P): x- 2y + z – 1= 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0 . Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ x M = 1 có phương trình là:

Hướng dẫn giải:

Vì M ∈ (Oxy) và có hoành độ bằng 1 nên M(1; y ; 0).

Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Q) nên M ∈ Q

Tọa độ điểm M(1; -5; 0).

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.

Ta có (S) tiếp xúc với mp (Q) tại M nên IM⊥(Q) .

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n → (2; 1; -1).

Ta có: IM⊥(Q)

Do I ∈ (P) nên 1+ 2t – 2( – 5+ t) – t – 1 = 0

⇔ t = 10 nên I(21; 5; -10)

Bán kính mặt cầu R= d(I; (Q)) = 10√6

Chọn A.

A. 4x + 2y + z – 8 = 0 hoặc 4x – 2y – z + 8= 0

B. 2x + 2y +z – 6= 0 hoặc 2x – 2y – z + 2= 0

C. 2 x+ 2y + z – 6 = 0

D. 2x – 2y – z + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

– Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 0) và bán kính R= 2; MN → (0; 1; -2)

⇔ B – 2C = 0 (1)

– Mặt phẳng (P) qua M(1; 0; 4) và nhận ( A, B, C) là vectơ pháp tuyến nên có phương trình

A(x-1)+ B( y – 0) + C( z- 4) = 0 hay Ax + By +Cz – A – 4C =0.

– Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ; (P)) = R

– Trong (*), nếu C = 0 thì A= 0, và từ (1) suy ra B = 0 (vô lí). Do vậy, C ≠ 0

Với A=2 ; C = 1, ta có B = 2 . Khi đó; (P); 2x + 2y + z – 6 = 0 .

Với A= -2; C= 1, ta có B= 2. Khi đó, (P): 2x – 2y – z + 2 = 0 .

– Vậy phương trình mặt phẳng (P):2x + 2y + z – 6= 0 hoặc (P): 2x – 2y – z + 2 = 0 .

Chọn B.

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG A- Những kiến thức cơ bản PHẦN I: ễN TẬP KIẾN THỨC TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I- ễN TẬP: Các công thức toạ độ: + Cho : * * + là trung điểm của AB, là trọng tõm : Gọi M Trung điểm AB; G, I, H trọng tâm,tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm tam giác ABC. Nêu các cách tìm toạ độ của chúng. Chú ý Biểu thức véctơ: . + Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Cho thì: và Hệ quả: II-LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho tam giác ABC; Biết A(1;2), B(-2;-1), C(3;-2) . a) Tìm toạ độ trọng tâm , trực tâm , tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. b) Tính diện tích tam giác, độ dài đường cao AH. c) Tìm toạ độ điểm M thoả mãn hệ thức: . d) Tìm toạ độ điểm P thuộc đường thẳng: x+ y +2 = 0sao cho min Bài 2: Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc (Oxy) cho hình vuông ABCD có A(0;2), C(4;0). Tìm toạ độ các điểm B,D. Bài 3: Trong hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc (Oxy) cho điểm A(1;1). Tìm toạ độ các điểm B thuộc trục hoành, điểm C thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác ABC là tam giác đều. PHẦN II: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG I- Lí THUYẾT: 1- Phương trình đường thẳng: + Véc tơ pháp tuyến: = (A;B); véc tơ chỉ phương = (B;A) Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) có véc tơ pháp tuyến = (A;B) là b) Phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng (d) di qua điểm M0(x0;y0), có véc tơ chỉ phương =(a;b) là: (t là tham số) (2) Chỳ ý: Mối quan hệ giữa vectơ phỏp và vectơ chỉ phương: c) Phương trình chính tắc: Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) di qua điểm M0(x0;y0), có véc tơ chỉ phương =(a;b) là: (3) Chú ý: Trong (3): Nếu a = 0 thì pt (d) là x = x0. Nếu b = 0 thì pt (d) là y = y0. (Xem là quy ước) * Thêm một số cách viết khác của pt đường thẳng: + Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(x1;y1), B(x2;y2) là: (4) Trong (4) nếu x2 = x1 thì pt đường thẳng là x = x1 nếu y2 = y1 thì pt đường thẳng là y = y1 + Phương trình đường thẳng cho theo đoạn chắn: Đường thẳng (d) căt Ox, Oy lần lượt tại các điểm A(a;0), B(0;b) có pt là: (5) + Họ pt đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) là: (6) (Trong đú : là hệ số gúc của đường thẳng) Chú ý: Cách chuyển phương trình đường thẳng từ dạng này qua dạng khác. 2) Một số vấn đề xung quanh phương trình đường thẳng. a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng: (d) có pt Ax + By + C = 0 và (d’) có pt A’x + B’y+ C’ = 0. Một số phương phỏp để xỏc định (d), (d’) cắt nhau, song song, trùng nhau: Phương phỏp 1: (Giải tớch) Toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của phương trỡnh: Kết luận: + Hệ (*) vụ nghiệm + Hệ (*) vụ số nghiệm + Hệ (*) cú nghiệm Phương phỏp 2: (Nhận xột về mối quan hệ giữa cỏc vectơ đặc trưng) Cho 2 đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y+ C’ = 0 cú vectơ phỏp tương ứng là . Đặc biệt: Thí dụ: 1) Tìm đ/k của m để hai đường thẳng sau cắt nhau: (d): (m+1) x – my + m2- m = 0 và (d’): 3mx – (2+m)y- 4 = 0. 2) Tìm đ/k của m, n để hai đường thẳng sau song song: (d): mx + (m – 1)y – 3 = 0 và (d’): x – 2y – n = 0. KỶ NĂNG: Cho đường thẳng d : . Lỳc đú : * cú dạng * cú dạng b) Khoảng cách: + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đt (d): Ax + By + C = 0 là: + Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Cho (d): Ax + By + C = 0 và (d’): Ax + By + C’ = 0. Khoảng cách giữa (d) và (d’) là: Thí dụ: a) Viết pt đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) có pt: x -y + 1 = 0 và cách (d’) một khoảng h = b)Viết pt đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng sau: x – 2y + 1 = 0 và x – 2y – 5 = 0. c) Góc giữa hai đường thẳng: + Cho (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y + C’ = 0. Gọi là góc của (d) và (d’) thì: Mở rộng thờm: Cho (d) và (d’) là hai đường thẳng có hệ số góc lần lượt là: k1, k2 góc giữa (d) và (d’) là thì: d) Phương trình chùm đường thẳng Cho hai đt (d): Ax + By + C = 0 và (d’): A’x + B’y + C’ = 0 cắt nhau thì phương trình chùm đt tạo bởi chúng là: ( Hay mọi đường thẳng đi qua gđiểm I của (d) và (d’) đều cú pt dạng (*), (**) ) Thí dụ: Viết PT đường thẳng (l) đi qua giao điểm 2 đường thẳng (d): 2x – y + 1 = 0 và (d’) x + y -3 = 0 vuông góc với đường thẳng: (d1): x – 2y -1 = 0. e) Phương trình đường phân giác: pt đường phân giác của (d) và (d’): Kết luận: Tồn tại 2 đường phõn giỏc vuụng gúc với nhau của gúc tạo bởi (d) và (d’): Chú ý: Cách phân biệt đường phân giác góc nhọn, góc tù; đường phân giác góc trong, ngoài của góc tam giác. Thí dụ1: Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng: (d) 2x – y + 1= 0 và (d’): x – 2y – 1 = 0 . KỶ NĂNG: Vị trớ tương đối của 2 điểm đối với đường thẳng Cho đường thẳng và 2 điểm Cựng phớa Ký hiệu: Lỳc đú: TH 1: thỡ A, B cựng phớa đối với đường thẳng . Khỏc phớa TH 2: thỡ A, B khỏc phớa đối với đường thẳng . B- MỘT SỐ NHẬN XẫT VÀ KỶ NĂNG QUAN TRỌNG: Thụng thường để giải tốt một bài toỏn hỡnh giải tớch, ta theo cỏc bước sau: + Vẽ hỡnh ở nhỏp, phõn tớch kỹ cỏc giả thiết trỏnh khai thỏc sai, thừa. + Lựa chọn thuật toỏn và trỡnh bày bài. I-KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHÁI NIỆM “THUỘC” Phương phỏp: 1) VD: vỡ vỡ 2) Cho đt và . Lỳc đú, ta gọi (nghĩa là tọa độ của M chỉ phụ thuộc một ẩn) VD: . Gọi . Gọi . Gọi . Gọi. Bài tập minh họa: Cho đường thẳng cú ptts: . Tỡm điểm sao cho khoảng cỏch từ M đến điểm một khoảng bằng 5. Giải: Nhận xột: Điểm nờn tọa độ của M phải thỏa món phương trỡnh của d. Gọi. Ta cú:. Theo giả thiết: . Vậy cú 2 điểm M thỏa ycbt và . Nhận xột: Dựa vào hỡnh vẽ ở nhỏp, ta cú thể thấy luụn tồn tại 2 điểm M thỏa ycbt. Bài tập tương tự: Cho đtvà. Xỏc định hỡnh chiếu của lờn đường thẳng. II-KỸ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG: Cho đt . * PT đt cú dạng: * PT đt cú dạng: . (trong đú m là tham số). Yờu cầu: Viết phương trỡnh đường thẳng d qua và vuụng gúc (hay song song) với . Phương phỏp: Cỏch 1: Xỏc định Vtcp hoặc Vtp. Đường thẳng d qua và nhận …, pt d: Cỏch 2: Do nờn pt d cú dạng: (m là tham số) Mặt khỏc nờn: . Kết luận… *Nhận xột: Ta dễ nhận xột cỏch giải quyết bài toỏn của cỏch 2 là khoa học và tốt hơn cỏch 1. Bài tập minh họa: Viết ptđt qua và song song với . Giải: Do nờn pt cú dạng: (m là tham số). Mặt khỏc nờn: . Lỳc đú, pt d: (ycbt). Bài tập tương tự: 1) Viết ptđt qua và vuụng gúc với . 2) Cho với và . Lập phương trỡnh cỏc đường cao của . ———————————————— II-LUYỆN TẬP: I. Phương trình đường thẳng Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của đường thẳng đi qua điểm M và có vtpt biết: a, b, Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M và có vtcp biết: a, b, Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau: a, b, Bài 4: Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB biết: a, b, Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết: a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2 b, đi qua điểm M(0;4) và có hệ số góc c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 450. d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 600. Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát: a, 2x 3y = 0; b, x + 2y 1 = 0 c, 5x 2y + 3 = 0 Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số: a, b, c, Bài 8: Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau: a, 2x 3y + 4 = 0 b, x + 3 = 0 c, 2y 4 = 0 d, 4x + 3y 1 = 0 e, f, Bài 9: Lập PTTQ và PTTS của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B biết: a, b, Bài 10: Trong các điểm A1(2;1), , , , , , , điểm nào nằm trên đường thẳng Bài 11: Cho 3 điểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2) a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác b, Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC c, Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC d, Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC e, Lập phương trình các đường trung bình của tam giác ABC Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3) a, Lập phương trình đường trung trực cạnh AB b, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC Bài 13 (ĐHQG 1995): Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5) II. Đường thẳng song song, vuông góc với một đường thẳng cho trước Bài 1: Lập PTTQ đường thẳng đi qua A và song song đường thẳng (d) biết a, b, A(-1;0), (d): 2x + y – 1 = 0c, A(3;2), (d): Trục Ox d, e, Bài 2: Lập PTTQ và PTTS của đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) biết: a, b, c, d, e, Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đường cao (d1) và (d2) có phương trình là Bài 4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;1) và 2 đường cao (d1) và (d2) có phương trình là Bài 5: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là (d1): x + 2y – 13 = 0 và (d2): 7x + 5y – 49 = 0. Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3 Bài 6: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AC là x + 4y – 5 = 0, các đường cao qua đỉnh A và C lần lượt lá (d1): 5x + y – 6 = 0 và (d2): x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình cạnh AB, BC và đường cao thứ 3 Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là: Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) , đường cao và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là: Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2 đường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là: Bài 10: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là: Bài 11: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: và trực tâm H(2;3). Lập phương trình cạnh thứ 3 Bài 12: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: và trực tâm . Lập phương trình cạnh thứ 3 Bài 13: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3), phương trình đường cao hạ từ A và trung tuyến từ C lần lượt là: Bài 14: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là M(2;3), phương trình (AB): x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0 Bài 15: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm và phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0 Bài 16: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của AB là M(-3;4), hai đường cao kẻ từ A và B lần lượt là: III, Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng Bài 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng (d) và xác định toạ độ điểm M1 đối xứng với M qua (d) a, b, c, Bài 2: Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác đ … ểm hai đường thẳng (d1): x+ y -2 =0 và (d2) : 3x -4y +1 =0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn thẳng bằng nhau. Bài 57: Viết PT đường thẳng (d) đi qua giao điểm hai đường thẳng (d1): x- y -2 =0 và (d2) : 2x +y +8 =0 đồng thời cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A ,B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân Bài 58: Viết PT đường thẳng d) đi qua giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x- y +5 =0 và (d2) : x +y -2 =0 đồng thời tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác co diện tích bằng 8 Bài 59: Cho tam giác ABC biết PT các cạnh : (AB) : x-y-2=0 , (AC) : 3x -y -5 =0 , (BC) : x-4y -1 =0 . Viết PT các đường cao của tam giác Bài 60: Cho tam giác ABC biết PT cạnh AB là 5x -3y +2 =0, đường cao AD: 4x-3y +1 =0. đường cao BE : 7x +2y – 22=0 a, Viết PT đường cao CF b, Viết PT các cạnh AC, BC c, Tìm toạ độ đỉnh C Bài 61:Tính góc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) biết : a, (d1): 4x+3y+1=0 và (d2): 3x+4y+3=0 b, (d1): và (d2): x+2y-7=0 c, (d1): và (d2): Bài 62: Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau: a, Qua điểm M(2;3) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d): x-y=0 b, Qua điểm M(2;-1) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d): c, Qua điểm M(-1;2) và tạo một góc 450 với đường thẳng (d): Bài 63: Cho tam giác ABC biết: (AB): x+y+1=0 (BC): 2x-3y-5=0 a, Viết phương trình các cạnh sao cho tam giác ABC cân tại A và AC đi qua điểm M(1;1) b, Tính các góc của tam giác Bài 64: Cho hai đường thẳng: (d1): 2x- y – 2 = 0 , (d2) : 2x + 4y – 7 = 0 a. Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2) . b. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua P(3; 1) cùng với (d1), (d2) tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2). Bài 65: Cho hai đường thẳng: (d1): 2x- y – 2 = 0 , (d2) : 2x + 4y – 7 = 0 a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua góc toạ độ sao cho đường thẳng (d) tạo với (d1), (d2) một tam giác cân có đỉnh giao điểm của (d1), (d2). b. Tính diện tích tam giác Bài 66: Cho hai đường thẳng: (d1): x + 2y – 3 = 0 (d2) : 3x – y + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm P(3; 1) và cắt (d1), (d2) lần lượt tại A, B sao cho (d) tạo với (d1), (d2) một tam giác cân có cạnh đáy AB. Bài 67: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có phương trình theo thứ tự là: (d): x + 2y – 1 = 0 , (d’) : 3x – y + 5 = 0 Tìm phương trình cạnh còn lại biết nó đi qua điểm M(1; 3) Bài 68: Cho hai đường thẳng có phương trình: (d1): x + 2y – 4 = 0, (d2) : 4x- 2y + 1 = 0 Cắt nhau tại I. Lập phương trình đường thẳng () đi qua A(2; 3) và () cùng với (d1), (d2) tạo thành tam giác cân đỉnh I. Bài 69: Cho tam giác ABC, biết B(-3; 1), đường cao qua đỉnh A và đường phân giác trong qua đỉnh C lần lượt là: (dA): x + 3y + 12 = 0 , (dC) : x + 7y + 32 = 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài 70: Viết phương trình các cạnh của hình vuông, biết hình vuông có một đỉnh là (-4; 5) và một đường chéo có phương trình là (d): 7x – y + 8 = 0. Bài 71: Một tam giác vuông cân có đỉnh góc vuông là A(4; -1), cạnh huyền có phương trình là (BC): 3x – y + 5 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại. Bài 72: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), B(3; 4), CosA = , CosB = . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài 73: Cho tam giác ABC có C(-3; 2), CosA = , CosB = và phương trình cạnh (AB): 2x – y – 2 = 0. Viết phương trình hai cạnh còn lại Bài 74: Cho tam giác ABC cân tại A có B(-3; -1), C(2; 1) và CosA = . Viết phương trình các cạnh của tam giác Bài 75: Cho hai điểm A(-1; 2), B(3; 5). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 2. Bài 76: Cho hai điểm A(1; 1), B(3; 6). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 3. Bài 77: CMR: Qua điểm A(4; -5) không có đường thẳng nào mà khoảng cách từ B(-2; -3) tới đường thẳng đó bằng 12. Bài 78: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2), B(5; 4). Bài 79: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(-2; 3) và cách đều hai điểm A(5; -1), B(3; 7). Bài 80: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1; 2) và cách đều hai điểm A(2; 3), B(4; -5). Bài 81: Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 0), C(3; 4). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cách đều hai điểm B, C. Bài 82: Viết phương trình đường thẳng (d) cách điểm A(3; 1) một đoạn bằng 2 và cách điểm B(-2; -4) một đoạn bằng 3. Bài 83: Cho hai điểm B (1; 1), C(2; 3) và đường thẳng (d): 4x + 3y + 3 = 0. a. Tìm điểm A thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân. b. Tìm điểm A thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABC vuông. c. Viết phương trình đường thẳng () cách điểm B một khoảng bằng 2 và cách điểm C một khoảng bằng 4. Bài 84: Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm cách đường thẳng (d): 4x + 3y + 5 = 0 một đoạn bằng 6 và cách đều hai điểm A(-2; -5), B(12; -3). Bài 85: Cho hai đường thẳng: (d1): x – 3y + 3 = 0 , (d2) : 3x – y – 1 = 0 Tìm tất cả những điểm cách đều (d1) và (d2): a. Nằm trên trục hoành b. Nằm trên trục tung Bài 86: Cho ba đường thẳng: (d1): x + y + 3 = 0 , (d2) : x – y – 4 = 0 , (d3) : x – 2y = 0 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng (d2). Bài 87: Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) và đường thẳng (d): x – 2y + 8 = 0 a. Xác định điểm C thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân. b. Xác định điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho diện tích tam giác ABM bằng 17. Bài 88: Diện tích tam giác ABC bằng , hai đỉnh A(2; -3), B(3; -2) và trọng tâm G của tâm thuộc đường thẳng: (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C. Bài 89: Cho hai điểm A(1; 1), B(-1; 3) và đường thẳng (d): x + y + 4 = 0 a. Tìm trên (d) điểm C cách đều hai điểm A, B. b. Với C tìm được, tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính diện tích hình bình hành. Bài 90: Viết phương trình đường thẳng () song song với (d): 3x – 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến đường thẳng (d) bằng 1. Bài 91: Cho hình vuông ABCD có hai cạnh là(d1): 4x – 3y + 3 = 0 , (d2) : 4x – 3y – 17 = 0 Và đỉnh A(2; -3). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình vuông. Bài 92: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(5; -1) và một trong các cạnh nằm trên đường thẳng (d): 4x – 3y – 7 = 0. Viết phương trình các cạnh còn lại. Bài 93: Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết AB, CD, BC, AD lần lượt đi qua các điểm M(2; 1), N(3; 5), P(0; 1), Q(-3; -1). Bài 94: Tìm M thuộc d): 2x + y – 1 = 0 và cách đường thẳng () : 4x + 3y – 10 = 0 một khoảng bằng 2. Bài 95: Cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1) và đường thẳng (d): y = 2x. a. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC đều b. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân. c. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC vuông. Bài 96: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3; 1), B(1; -3) a. Tìm toạ độ điểm C biết C trên Oy. b. Tìm toạ độ điểm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy. Bài 97: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2; -4) và trọng tâm G(0; 4). a. Giả sử M(2; 0) là trung điểm cạnh BC. Xác định toạ độ các đỉnh A, B. b. Giả sử M di động trên đường thẳng (d): x + y – 2 = 0. Tìm quỹ tích điểm B. Xác định M để cạnh AB ngắn nhất. Bài 98: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1) và PT các cạnh. (AB): 4x + y + 15 = 0 (AC) : 2x + 5y + 3 = 0 a. Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC. b. Tìm toạ độ đỉnh B và viết phương trình đường thẳng BC. Bài 99: Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8) a. Tìm toạ độ trọng tâm G, trục tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC. b. CMR: I, H, G thẳng hàng c. Tính diện tích tam giác ABC Bài 100: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, biết phương trình cạnh (BC): x – y – 2 = 0, điểm A, B nằm trên Ox. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3. Bài 101: Cho điểm A(3; 1). a. Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc phần tư thứ nhất. b. Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông Bài 102: Cho tam giác ABC, biết A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). a. Tính diện tích tam giác ABC b. Tìm điểm M trên Ox sao cho góc AMB bằng 600 . c. Tìm điểm C trên Ox sao cho góc APC bằng 450 . Bài 103: Cho điểm A(1; 1). Tìm điểm B thuộc đường thẳng (d): y = 3 và điểm C thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC đều. Bài 104: Cho ba điểm M(1; 1), N(3; 2), P(2; -1) theo thứ tự là trung điểm cách cạnh AB, BC,CA. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Bài 105: Cho hai điểm A(-3; -2), B(3; 1) và đường thẳng (d): x + y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng () song song với (d) và cắt đoạn AB tại M sao cho . Bài 106: Lập phương trình của tập hợp (E) gồm những điểm mà tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm F1(-3; 0), F2(3; 0) bằng 10. Bài 107: Lập phương trình của tập hợp (H) gồm những điểm mà giá tri tuyệt đói của hiệu số các khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm F1(-5; 0), F2(5; 0) bằng 8. Bài 108: Tìm trên đường thẳng (d): 3x + 2y + 1 = 0 điểm M(xM ; yM) sao cho P = x2M + y2M nhỏ nhất. Bài 109: Tìm trên trục Ox điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là nhỏ nhất, biết: A(1; 1) và B(2; -4) b. A(1; 2) và B(3; 4) Bài 110: Tìm trên trục Ox điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là nhỏ nhất, biết: a. A(1; 1) và B(-2; -4) b. A(1; 2) và B(3; -2) Bài 111: Tìm trên đường thẳng (d): x + 2y – 1 = 0 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là nhỏ nhất, biết: a. A(1; 1) và B(-2; -4) b. A(1; 1) và B(3; 1) Bài 112: Cho ba điểm A(2; 4), B(3; 1), C(1; 4) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. a. Tìm M thuộc đường thẳng (d) sao cho AM + MB nhỏ nhất. b. Tìm N thuộc đường thẳng (d) sao cho AN + CN nhỏ nhất Bài 113: Cho hai điểm M(3; 3), N(-5; 19) và d): 2x + y – 4 = 0. Hạ MK vuông góc với đường thẳng (d), gọi P là điểm đối xứng của M qua (d). a. Tìm toạ độ của K và P. b. Tìm điểm A thuộc đường thẳng (d) sao cho AM + AN nhỏ nhất. Bài 114: Cho tam giác ABC, biết A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0). a. Tính diện tích tam giác ABC. b. Tìm điểm M trên Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất. Bài 115: Cho điểm M(4; 1). Một đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại a . Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. b. OA + OB nhỏ nhất. c. Bài 116 : Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số : (d): . Tìm điểm M nằm trên (d) và cách A(0; 1) một khoảng bằng 5. Bài 117: Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số:(d): . Tìm điểm M nằm trên (d) sao cho MP ngắn nhất. Bài 118 : Cho điểm M(3; 1) thẳng (d) có phương trình tham số: (d): a, Tìm điểm A nằm trên (d) sao cho A cách M một khoảng bằng b, Tìm điểm B trên (d) sao cho MB ngắn nhất Bài 119: Cho tam giác ABC , biết cạnh BC có trung điểm M(0; 4), còn hai cạnh kia có phương trình là : (d1) : 2x +y -11 = 0 (d2) x +4y -2 = 0 a, Xác định toạ độ đỉnh A b, Gọi C là đỉnh nằm trên đường thẳng (d) : x- 4y -2 =0, N là trung điểm của AC . Tìm toạ độ điểm N rồi tìm toạ độ B ,C.

Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và cách giải các bài tập minh hoạ cho từng dạng toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng giúp các em học tốt môn toán hình lớp 10.

I. Tóm tắt lý thuyết phương trình đường thẳng

1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng

a) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

– Cho đường thẳng (d), vectơ gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của (d) nếu giá của vuông góc với (d).

* Nhận xét: Nếu là vectơ pháp tuyến của (d) thì cũng là VTPT của (d).

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

* Định nghĩa

– Phương trình (d): ax + by + c = 0, trong đó a và b không đồng thời bằng 0 tức là (a2 + b2 ≠ 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng (d) nhận là vectơ pháp tuyến.

* Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng.

– (d): ax + c = 0 (a ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

– (d): by + c = 0 (b ≠ 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

– (d): ax + by = 0 (a2 + b2 ≠ 0): (d) đi qua gốc toạ độ.

– Phương trình dạng đoạn chắn: ax + by = 1 nên (d) đi qua A (a;0) B(0;b) (a,b ≠ 0)

– Phương trình đường thẳng có hệ số góc k: y= kx+m (k được gọi là hệ số góc của đường thẳng)

2. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

– Cho đường thẳng (d), vectơ gọi là vectơ pháp tuyến (VTCP) của (d) nếu giá của song song hoặc trùng với (d).

* Nhận xét: Nếu là vectơ chỉ phương của (d) thì cũng là VTCP của (d). VTCP và VTPT vuông góc với nhau, vì vậy nếu (d) có VTCP thì là VTPT của (d).

b) Phương trình tham số của đường thẳng:

* có dạng: ; (a2 + b2 ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và nhận làm vectơ chỉ phương, t là tham số.

* Chú ý: – Khi thay mỗi t ∈ R vào PT tham số ta được 1 điểm M(x;y) ∈ (d).

– Nếu điểm M(x;y) ∈ (d) thì sẽ có một t sao cho x, y thoả mãn PT tham số.

– 1 đường thẳng sẽ có vô số phương trình tham số (vì ứng với mỗi t ∈ R ta có 1 phương trình tham số).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

* có dạng: ; (a,b ≠ 0) đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và nhận làm vectơ chỉ phương.

d) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

– Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) có dạng:

+ Nếu: thì đường thẳng qua AB có PT chính tắc là:

+ Nếu: xA = xB: ⇒ AB: x = xA

+ Nếu: yA = yB: ⇒ AB: y = yA

e) Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

– Cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng Δ: ax + by + c = 0, khoảng cách từ M đến Δ được tính theo công thức sau:

3. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

– Cho 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0;

+ d1 cắt d2 ⇔

+ d1

+ d1 ⊥ d2 ⇔

* Lưu ý: nếu a2.b2.c2 ≠ 0 thì:

– Hai đường thẳng cắt nhau nếu:

– Hai đường thẳng

– Hai đường thẳng ⊥ nhau nếu:

II. Các dạng toán về phương trình đường thẳng

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến và 1 điểm thuộc đường thẳng

Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng (d) biết (d): đi qua điểm M(1;2) và có VPPT = (2;-3).

* Lời giải: Vì (d) đi qua điểm M(1;2) và có VPPT = (2;-3)

⇒ PT tổng quát của đường thẳng (d) là: 2(x-1) – 3(y-2) = 0 ⇔ 2x – 3y +4 = 0

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương và 1 điểm thuộc đường thẳng

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d) đi qua điểm M(-1;2) và có VTCP = (2;-1)

* Lời giải: Vì đường thẳng đi qua M (1 ;-2) và có vtcp là = (2;-1)

⇒ phương trình tham số của đường thẳng là :

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng:

a) đi qua M(3;2) và

b) đi qua M(3;2) và

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ có VTCP = (2;-1) vì (d)

⇒ PT đường thẳng (d) là:

b) đường thẳng Δ: 2x – y – 1 = 0 có vtpt là = (2;-1). Đường thẳng (d)

⇒ PT (d) đi qua điểm M(3;2) và có VTPT = (2;-1) là: 2(x-3) – (y-2) = 0 ⇔ 2x – y -4 = 0

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường thẳng

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) biết rằng (d):

a) đi qua M(-2;3) và ⊥ Δ: 2x – 5y + 3 = 0

b) đi qua M(4;-3) và ⊥ Δ:

* Lời giải:

a) Đường thẳng Δ: 2x – 5y + 3 = 0 nên Δ có VTPT là =(2;-5)

vì (d) vuông góc với Δ nên (d) nhận VTPT của Δ làm VTCP ⇒ = (2;-5)

⇒ PT (d) đi qua M(-2;3) có VTCP = (2;-5) là:

b) Đường thẳng Δ có VTCP = (2;-1), vì d⊥ Δ nên (d) nhận VTCP làm VTPT ⇒ = (2;-1)

⇒ Vậy (d) đi qua M(4;-3) có VTPT = (2;-1) có PTTQ là: 2(x-4) – (y+3) = 0 ⇔ 2x – y – 11 = 0.

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

– Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B chính là đường thẳng đi qua A nhận nhận vectơ làm vectơ chỉ phương (trở về dạng toán 2).

Ví dụ: Viết PTĐT đi qua 2 điểm A(1;2) và B(3;4).

* Lời giải:

– Vì (d) đi qua 2 điểm A, B nên (d) có VTCP là: = (3-1;4-2) = (2;2)

⇒ Phương trình tham số của (d) là:

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góc k cho trước

– (d) có dạng: y = k(x-x0) + y0

Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3;

* Lời giải:

– PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 3 có dạng: y = k(x-x0) + y0

⇒ Vậy PTĐT (d) là: y = 3(x+1) + 2 ⇔ y = 3x + 5

Dạng 7: Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng

– Trung trực của đoạn thẳng AB chính là đường thẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng này và nhận vectơ làm VTPT (trở về dạng toán 1).

Ví dụ: Viết PTĐT (d) vuông góc với đường thẳng AB và đi qua trung tuyến của AB biết: A(3;-1) và B(5;3)

* Lời giải:

– (d) vuông góc với AB nên nhận = (2;4) làm vectơ pháp tuyến

– (d) đi qua trung điểm I của AB, và I có toạ độ: xi = (xA+xB)/2 = (3+5)/2 = 4; yi = (yA+yB)/2 = (-1+3)/2 = 1; ⇒ toạ độ của I(4;1)

⇒ (d) đi qua I(4;1) có VTPT (2;4) có PTTQ là: 2(x-4) + 4(y-1) = 0 ⇔ 2x + 4y -12 = 0 ⇔ x + 2y – 6 = 0.

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với Ox 1 góc ∝ cho trước

– (d) đi qua M(x0;y0) và tạo với Ox 1 góc ∝ (00 < ∝ < 900) có dạng: y = k(x-x0) + y0 (với k = ±tan∝

Ví dụ: Viết PTĐT (d) biết (d) đi qua M(3;2) và tạo với chiều dương trục Ox 1 góc bằng 450.

* Lời giải:

– Giả sử đường thẳng (d) có hệ số góc k, như vây k được cho bở công thức k = tan∝ = tan(450) = 1.

⇒ PTĐT (d) đi qua M(-1;2) và có hệ số góc k = 1 là: y = 1.(x+1) + 2 ⇔ y = x + 3

Dạng 9: Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm lên 1 đường thẳng

* Giải sử cần tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng (d), ta làm như sau:

– Lập phương trình đường thẳng (d’) qua M vuông góc với (d). (theo dạng toán 4).

– H là hình chiếu vuông góc của M lên (d) ⇒ H là giao của (d) và (d’).

Ví dụ: Tìm hình chiếu của điểm M(3;-1) lên đường thẳng (d) có PT: x + 2y – 6 = 0

* Lời giải:

– Gọi (d’) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d)

– (d) có PT: x + 2y – 6 = 0 nên VTPT của (d) là: = (1;2)

– (d’) ⊥ (d) nên nhận VTPT của (d) là VTCP ⇒ =(1;2)

– PTĐT (d’) qua M(3;-1) có VTCP (1;2) là:

– H là hình chiếu của M thì H là giao điểm của (d) và (d’) nên có:

Thay x,y từ (d’) và PT (d): (3+t) + 2(-1+2t) – 6 = 0 ⇔ 5t – 5 = 0 ⇔ t =1

⇒ x = 4, y = 1 là toạ độ điểm H.

Dạng 10: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua một đường thẳng

* Giải sử cần tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d), ta làm như sau:

– Tìm hình chiếu H của M lên (d). (theo dạng toán 9).

– M’ đối xứng với M qua (d) nên M’ đối xứng với M qua H (khi đó H là trung điểm của M và M’).

Ví dụ: Tìm điểm M’ đối xứng với M(3;-1) qua (d) có PT: x + 2y – 6 = 0

* Lời giải:

– Đầu tiên ta tìm hình chiếu H của M(3;-1) lên (d). Theo ví dụ ở dạng 9 ta có H(4;1)

– Khi đó H là trung điểm của M(3;-1) và M'(xM’;yM’), ta có:

;

⇒ xM’ = 2xH – xM = 2.4 – 3 = 5

⇒ yM’ = 2yH – yM = 2.1 – (-1) = 3

⇒ Điểm đối xứng của M(3;-1) lên (d): x + 2y – 6 = 0 là M'(5;3)

Dạng 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng

– Để xét vị trí của 2 đường thẳng (d1): a1x + b1y + c1 = 0; và (d2): a2x + b2y + c =0; ta giải hệ phương trình:

(*)

_ Hệ (*) vô nghiệm ⇒ d1

_ Hệ (*) vô số nghiệm ⇒ d1 ≡ d2

_ Hệ (*) có nghiệm duy nhất ⇒ d1 cắt d2 và nghiệm là toạ độ giao điểm.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của 2 đường thằng

a) d1: x + y – 2 = 0; d2: 2x + y – 3 = 0

b) d1: x + 2y – 5 = 0; d2:

* Lời giải:

a) Số giao điểm của d1 và d2 là số nghiệm của hệ phương trình

– Giải hệ PT trên ta được nghiệm x = 1; y =1.

b) Từ PTĐT d2 ta có x = 1-4t và y = 2+2t thay vào PTĐT d1 ta được:

(1-4t) + 2(2+2t) – 5 = 0 ⇔ 10 = 0 (vô lý) ⇒ 2 đường thẳng không cắt nhau (d1//d2).

Xem Video bài học trên YouTube

Giáo viên dạy thêm cấp 2 và 3, với kinh nghiệm dạy trực tuyến trên 5 năm ôn thi cho các bạn học sinh mất gốc, sở thích viết lách, dạy học