--- Bài mới hơn ---
Giải Phương Trình Số Phức Như Thế Nào? Bài Tập Phương Trình Hóa Học Lớp 10 Về Halogen Bài 5 – 6 : Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Trên Excel? Giải Hệ Phương Trình Không Mẫu Mực Bằng Phương Pháp Thế Một số phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn bậc hai- Dạng $sqrt A = B$
Dạng $sqrt A = B$ luôn giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương khi bậc của A$ le ,$ 2; Bậc của B$ le ,$1.
Phương pháp . Biến đổi tương đương:
$sqrt A = B Leftrightarrow begin{array}{*{20}{l}}
{left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{B ge 0}\
{A = {B^2}}
end{array}} right.}
end{array}$
Ví dụ minh họa
Giải phương trình : $sqrt {3{x^2}, – ,5x, + ,2} , = ,6, – ,2x$ (*)
Giải
$begin{array}{l}
PT(*) Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{6, – ,2x ge 0}\
{3{x^2}, – ,5x, + ,2 = {{left( {6, – ,2x} right)}^2}}
end{array}} right.\
Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
x, le ,3\
{x^2}, – ,29x, + ,34, = ,0
end{array} right.,\
Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x, le ,3}\
{left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2}\
{x = 17}
end{array}} right.}
end{array}} right.\
Leftrightarrow ,x, = ,2
end{array}$
Nếu bậc của B $ ge $2 thì học sinh sẽ gặp khó khăn hơn rất nhiều. Để giúp các em hiểu rõ hơn về vấn đề này. Ta xét một ví dụ minh họa với các kỹ thuật khác nhau.
Phương pháp 1. Biến đổi tương đương đưa về phương trình đại số bậc cao.
Phương trình (1)
$ Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
{x^2},, – ,4x, – ,3, ge ,0\
x, + ,5, = ,{left( {{x^2}, – ,4x, – ,3} right)^2}
end{array} right.$
$ Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x, le ,2, – ,sqrt 7 \
x, ge ,2, + ,sqrt 7
end{array} right.\
{x^4}, – ,8{x^3}, + ,10{x^2}, + ,23x, + ,4, = ,0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x, le ,2, – ,sqrt 7 \
x, ge ,2, + ,sqrt 7
end{array} right.\
left( {x, + ,1} right)left( {x, – ,4} right)left( {{x^2}, – ,5x, – ,1} right), = ,0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left[ begin{array}{l}
x, le ,2, – ,sqrt 7 \
x, ge ,2, + ,sqrt 7
end{array} right.\
left[ begin{array}{l}
x, = , – 1\
x, = ,4\
x, = ,frac{{5, pm ,sqrt {29} }}{2},
end{array} right.
end{array} right.$
Vậy: S= $left{ { – 1;,frac{{5, + ,sqrt {29} }}{2}} right}$ là nghiệm của phương trình
Phương pháp 2: Phương pháp nhân liên hợp.
Sử dụng máy tính (Hoặc nhẩm nghiệm) ta sẽ tìm được một nghiệm nguyên x=-1. Khi đó ta thực hiện như sau:
Với x=-1. Ta phân tích: ${x^2}, – ,4x, – ,3, = ,(x, + ,1)left( {x, – ,5} right), + ,2$.
Phương trình (1) được viết như sau: $sqrt {x, + ,5} , – ,2, = ,left( {x, + ,1} right)left( {x, – ,5} right)$ (1)
Với điều kiện: $x, ge , – ,5$
Ta có:
$sqrt {x, + ,5} , – ,2, = ,left( {x, + ,1} right)left( {x, – ,5} right)$
$ Leftrightarrow ,frac{{x, + ,1}}{{sqrt {x, + ,5} , + ,2}}, = ,left( {x, + ,1} right)left( {x, – ,5} right)$
$ Leftrightarrow ,left[ begin{array}{l}
x, = , – 1\
frac{1}{{sqrt {x, + ,5} , + ,2}}, = ,x, – ,5,,,(2)
end{array} right.$
Giải phương trình (2): Đặt: $t, = ,sqrt {x, + ,5} , Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
t, ge ,0\
{t^2}, = ,x, + ,5
end{array} right.$
Phương trình (2) có dạng: $frac{1}{{t, + ,2}}, = ,{t^2}, – ,10$ $ Leftrightarrow ,{t^3}, + ,2{t^2}, – ,10t, – ,21, = ,0$
$ Leftrightarrow ,left[ begin{array}{l}
t, = , – 3\
t, = ,frac{{1, pm ,sqrt {29} }}{2}
end{array} right.$
So sánh với điều kiện: $t, = ,frac{{1, + ,sqrt {29} }}{2}$
Với $t, = ,frac{{1, + ,sqrt {29} }}{2}$ ta có: $x, = ,frac{{5, + ,sqrt {29} }}{2}$
Vậy: $S = left{ { – 1;{mkern 1mu} frac{{5{mkern 1mu} + {mkern 1mu} sqrt {29} }}{2}{rm{ }}} right}$ là nghiệm của phương trình.
Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa về phương trình tích.
Viết lại Phương trình (1) dưới dạng: $ Leftrightarrow ,{left( {x, – ,2} right)^2}, – ,7, = ,sqrt {x, + ,5} $
Đặt: $y, – ,2, = ,sqrt {x, + ,5} $
$ Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
y, ge ,2\
{left( {y, – ,2} right)^2}, = ,x, + ,5
end{array} right.$
Ta có hệ phương trình:
$left{ begin{array}{l}
y, ge ,0\
{left( {x, – ,2} right)^2}, = ,y, + ,5\
{left( {y, – ,2} right)^2}, = ,x, + ,5
end{array} right.$
$ Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
y, ge ,2\
{left( {x, – ,2} right)^2}, = ,y, + ,5\
left( {x – ,y} right)left( {x, + ,y, + ,3} right), = ,0
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
left{ begin{array}{l}
{left( {x, – ,2} right)^2}, = ,y, + ,5\
y, = ,x
end{array} right.\
left{ begin{array}{l}
{left( {x, – ,2} right)^2}, = ,y, + ,5\
y, = , – x, – ,3
end{array} right.\
y, ge ,2
end{array} right.$
$ Leftrightarrow ,left[ begin{array}{l}
x, = ,frac{{5, + ,sqrt {29} }}{2}\
x, = , – 1
end{array} right.$
Vậy: $S = left{ { – 1;{mkern 1mu} frac{{5{mkern 1mu} + {mkern 1mu} sqrt {29} }}{2}{rm{ }}} right}$ là nghiệm của phương trình.
Phương pháp 4: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai không hoàn toàn có delta là chính phương.
Đặt: $t, = ,sqrt {x, + ,5} $
$ Leftrightarrow {mkern 1mu} left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{t{mkern 1mu} ge {mkern 1mu} 0}\
{{t^2}{mkern 1mu} = {mkern 1mu} x{mkern 1mu} + {mkern 1mu} 5}
end{array}} right.$
$ Leftrightarrow {mkern 1mu} left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{t{mkern 1mu} ge {mkern 1mu} 0}\
{{t^2}{mkern 1mu} = {mkern 1mu} x{mkern 1mu} + {mkern 1mu} 2{mkern 1mu} + {mkern 1mu} 3}
end{array}} right.$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{t{mkern 1mu} ge {mkern 1mu} 0}\
{3{mkern 1mu} = {mkern 1mu} {t^2}{mkern 1mu} – {mkern 1mu} x{mkern 1mu} – {mkern 1mu} 2}
end{array}} right.$
Phương trình (1) có dạng: ${t^2}, + ,t, – ,{x^2}, + ,3x, – ,2, = ,0$
$ Leftrightarrow ,left[ begin{array}{l}
t, = ,x, – ,2
t, = , – x, + ,1
end{array} right.$
Với $t, = , – x, + ,1$ ta có:
$sqrt {x, + ,5} , = , – x, + ,1$
$sqrt {x, + ,5} , = , – x, + ,1 Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
x,, le ,1\
{x^2}, – ,3x, – ,4, = ,0
end{array} right. Leftrightarrow ,x, = , – 1$
Với $t, = ,x, – ,2$ ta có:
$sqrt {x, + ,5} ,, = ,x, – ,2 Leftrightarrow ,left{ begin{array}{l}
x, ge ,2\
{x^2}, – ,5x, – ,1, = ,0
end{array} right. Leftrightarrow ,x, = ,frac{{5, + ,sqrt {29} }}{2}$
Vậy: $S = left{ { – 1;{mkern 1mu} frac{{5{mkern 1mu} + {mkern 1mu} sqrt {29} }}{2}{rm{ }}} right}$ là nghiệm của phương trình.
————————-
Download tài liệu:
Word: Tại đây.
————————–
———————-
--- Bài cũ hơn ---
Đại Số 9 : Hệ Phương Trình , Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại (Kiểu) I Bài Tập Đại Số 10 Quy Tắc Crammer Là Gì? Hệ Ba Phương Trình Bậc Nhất Ba Ẩn