Top 13 # Xem Nhiều Nhất Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Chứa Tham Số M / 2023 Mới Nhất 12/2022 # Top Like | Techcombanktower.com

Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Chứa Tham Số M / 2023

Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m (hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó) một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.

¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất

¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

– Tính biệt số Δ

– Xét các trường hợp của Δ (nếu Δ có chứa tham số)

– Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (*)

– Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ’. Ta có:

Δ’= [-(m + 1)] 2 – 3.(3m – 5)

= m 2 + 2m + 1 – 9m + 15

* TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ’ như sau:

m = 0: Phương trình (*) có nghiệm đơn x = 3/4.

m = 4: Phương trình (*) có nghiệm kép x = 1/2.

* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ (Δ’).

– Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

– Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

– Nghiệm duy nhất (nghiệm kép) ⇔ Δ = 0

* Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p ∈ R). Các bước làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để pt có 2 nghiện phân biệt

Bước 4: Thay x 1, x 2 vào (2) ta tìm được giá trị tham số.

* Ví dụ (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

– Ta có : 3x 2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x 1; x 2 khi đó theo định lý Vi-et ta có:

* TH1: Với m = 3, PT(1) trở thành 3x 2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x 1 = 2/3 và x 2 = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2: Với m = 7, PT(1) trở thành 3x 2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x 1 = 4/3 và x 2 = 4 thỏa mãn điều kiện.

⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x 1 + x 2 và x 1.x 2 thay vào biểu thức trên được kết quả.

a) Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa (x 1 – x 2) 2 = x 1 – 3x 2.

– Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:

b) Phương trình có 2 nghiệm khi chỉ khi m<5/4.

[khai triển hằng đẳng thức và thêm bớt 2x 1x 2]

– Từ pt thứ nhất trong hệ (*) với (**) ta có hệ pt:

– Đối chiếu với điều kiện m<5/4 thấy m = 1 và m = -1 đều thỏa mãn (x 1 – x 2) 2 = x 1 – 3x 2.

⇒ Kết luận: Với m = 1 hoặc m = -1 hì pt đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bước 3: Biến đổi kết quả để không phụ thuộc tham số (không còn tham số)

a) CMR phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt đã cho mà không phụ thuộc vào m.

– Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

⇒ Kết luận: P min = 15/4 khi m = 5/4.

Bước 1: Tìm điều kiện phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0).

Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

+) Với bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn α (x 1 < x 2 < α)

+) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho x 1 < α < x 2

Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

a) CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn x 1 < 1 < x 2.

Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo yêu cầu bài toán thì x 1 < 1 < x 2

Thay (*) và (**) ta được: (2m – 5) – (2m – 2) + 1 < 0

⇔ 0.m – 2 < 0 (đúng với mọi m).

⇒ Kết luận: Vậy với mọi m thì pt trên có 2 nghiệm x 1, x 2 thỏa x 1 < 1 < x 2.

Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Chứa Tham Số Cực Hay / 2023

Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số cực hay

A. Phương pháp giải

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.

Hướng dẫn:

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình ( m là tham số).

a) Giải hệ phương trình với m = 2.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x 2 + y 2 = 5.

Hướng dẫn:

C. Bài tập trắc nghiệm

Cho hệ phương trình sau (I):

Câu 1: Với m đạt giá trị nào để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 A. m = 1

B. m = -1

 C. m ≠ 1

D. m ≠ 0

Câu 2: Với m đạt giá trị nào để hệ phương trình có vô số nghiệm.

A. m = 1

B. m = -1

C. không có

D. Mọi m nguyên dương

Câu 3: Với m đạt giá trị nào để hệ phương trình vô nghiệm.

 A. m = 1

B. m = -1

 C. m ≠ -1

D. m ≠ 0

Câu 4: Cho hệ phương trình sau: . Khẳng định nào sau đây là không đúng?

A. Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất khi m ≠ ±2.

B. Hệ phương trình (I) có vô số nghiệm khi m = 2.

C. Hệ phương trình (I) vô nghiệm khi m = -2

D. khẳng định A, B sai.

Câu 5: Cho hệ phương trình sau: . Với m = 1 thì hệ có nghiệm là?

A. (x;y) = (2;1)

B. (x;y) = (1;2)

C. (x;y) = (2;-1)

D. (x;y) = (1;1)

Câu 6: Cho hệ phương trình sau: có nghiệm là?

Câu 7: Cho hệ phương trình sau: có là nghiệm của hệ phương trình không?

 A. Có

B. Không.

Câu 8: Cho hệ phương trình sau: . Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x;y) trong đó x = 2.

 A. m = 1

B. m = 2

 C. m = 4

D. m = 5

Câu 9: Cho hệ phương trình sau: . Bạn Nam nói hệ có nghiệm duy nhất khi m ≠ ±1, và bạn Tùng nói không có giá trị nào của m thỏa mãn để hệ vô nghiệm. Nam và Tùng nói đúng hay sai?

A. Cả hai bạn Nam và Tùng đều sai.

B. Cả hai bạn Nam và Tùng đều đúng.

C. Bạn Nam sai, bạn Tùng đúng.

D. bạn Nam đúng, bạn Tùng sai.

Câu 10: Cho hệ phương trình: . Nghiệm nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình?

A. (m;m).

B. (m – 1;m)

C. (m;m – 1)

D. (- m;- m)

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Đề Tài Giải Và Biện Luận Các Phương Trình Và Bất Phương Trình Bậc Hai Chứa Tham Số / 2023

Trong chương trình toán lớp 10 THPT, có một dạng toán mà học sinh thường sai lầm, hoặc không giải quyết trọn vẹn là việc giải và biện luận các phương trình và bất phương trình bậc hai chứa tham số, đặc biệt loại chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vì vậy người giáo viên phải có phương pháp giúp học sinh cách tiếp cận tốt và hiệu quả về loại toán này. Trong đề tài này, ngoài phương pháp trực tiếp, tôi dùng phương pháp đồ thị bậc nhất và bậc hai, gợi mở cho học sinh hướng giải quyết khá tốt cho các dạng mà tham số ở hệ số tự do (vì chỉ gới hạn ở đồ thị bậc nhất và bậc hai cho lớp 10, sau này đã khảo sát được các hàm khác, học sinh sẽ được ôn lại tổng thể). Chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót, mong thầy và các bạn bổ sung thêm đề đề tài được hoàn chỉnh và tốt hơn. II- NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC 1) Tính tích cực học tập của học sinh thể hiện ở chỗ: – Sự tự nguyện tham gia trả lời các câu hỏi và yêu cầu hoạt động của thầy. – Thích tham gia tranh luận. – Mong muốn được đóng góp với thầy, với bạn những thông tin mới. – Tập trung chú ý vào các vấn đề đang học. – Kiên trì làm xong các bài đã học, không nản chí trước các tình huống khó khăn. 2) Người chủ động không chỉ làm theo những gì đã được định sẵn, được yêu cầu mà còn làm theo kế hoạch riêng của mình. 3) Biểu hiện của sáng tạo là: – Nhìn nhận một sự vật theo một khía cạnh mới, nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau. – Biết đặt ra nhiều giả thiết khi phải lý giải một hiện tượng, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi phải xử lý một tình huống. – không vội vã bằng lòng với giải pháp đã có, không suy nghĩa cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới. III- NỘI DUNG – Công thức phá dấu giá trị tuyệt đối: – Đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b – Đồ thị hàm số bậc hai y=ax2+bx+c – Xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai. ‚ Đặt vấn đề cho học sinh: A- PHƯƠNG TRÌNH DẠNG BẬC HAI CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI * Bài toán 1: Giải biện luận các phương trình sau: Các hoạt động: HĐ 1: Cho học sinh chủ động làm bằng các kiến thức đã biết về loại này Phân thành 3 nhóm, nghiên cứu rồi đại diện báo cáo trước lớp. ( Đối với học sinh, đa số sẽ làm trực tiếp ) HĐ 1.2 : Biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 có điều kiện ẩn HĐ 2: Đại diện nhóm lên báo cáo Các nhóm khác cho ý kiến Giáo viên nhận xét, chỉnh sửa và tổng kết phương pháp chung. HĐ 2.1: Cách kết luận bài toán khi chia làm nhiều trường hợp như các bài trên Sau đây là một đáp án đúng, đã được giáo viên chỉnh sửa hoàn chỉnh : + Xét phương trình (1) : x2-2x-m=0, có =1+m – Nếu < 0 Û m <-1: (1) vô nghiệm + Xét phương trình (2): x2-2x+m=0, có =1-m – Nếu 1: (2) vô nghiệm Kiểm tra điều kiện nghiệm x < 0: Nghiệm x4 không thoả mãnNghiệm x3 =< 0 Û m < 0. + Kết luận: Dùng trục tham số m, có kết luận như sau: – Nếu m < -1: PT có nghiệm x3= – Nếu m=-1: PT có nghiệm x1=x2=1, x3=1-, x4=1+ – Nếu -1 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3= – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=0, x2=x4=2 Có dạng: Û + Xét PT (1) Û x2=. – Nếu 2-m 2, PT (1) vô nghiệm Kiểm tra điều kiện -1 < x < 2: – Nghiệm x1 -1 Û 0 < m < 2 + Xét PT (2) Û x3=. Nghiệm này thoả mãn khi: -1 < < 2 Û -6 < m < 0 + Kết luận: Dùng 2 trục tham số m, có kết luận: – Nếu m 0 : PT vô nghiệm – Nếu m=-6: PT có nghiệm x2=x3=2 – Nếu -6 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3= – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=-1, x2=1 – Nếu 0 < m < 2: có nghiệm x1, x2= – Nếu m=2: Có nghiệm x1=x2=0 Bài 3: + Xét (1): Có =1-3m – Nếu 1/3: (1) vô nghiệm + Xét (2): Có =1+m – Nếu < 0 Û m < -1: (2) vô nghiệm + Kết luận: Dùng 2 trục tham số, có: – Nếu m < -1: PT có 2 nghiệm x1=, x2= – Nếu m=-1: PT có nghiệm x3=x4=x1=-1, x2=3 – Nếu -1 < m < 1/3: PT có 4 nghiệm x1=, x2=, x3=-1-,, x4=-1+ – Nếu m=1/3: PT có nghiệm x3=-2, x1=x4= 0, x2=2 * Nhận xét và gợi ý hướng mới: – Qua cách làm trên ta thấy, phải rất vững kiến thức về biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai mới có thể giải quyết trọn vẹn như trên. Mặc dù cách làm tương đối cồng kềnh, phức tạp nhưng lại có tác dụng khi không rút được tham số m, đặc biệt nếu là bất phương trình thì lại càng phức tạp vì ta còn phải so sánh sự lớn nhỏ giữa các nghiệm. – Vậy, đối với các dạng trên, cụ thể là 3 bài trên chúng ta có cách giải quyết nào tốt hơn không ? – Để học sinh suy nghĩ và đề xuất phương pháp. – Gợi ý của giáo viên: Trong 3 bài trên đều có thể rút được tham số m về 1 vế, vế còn lại là 1 hàm số bậc nhất hoặc bậc hai với điều kiện nào đó. – Sự tương giao giữa đồ thị 2 vế là số nghiệm phương trình đã cho. – Vậy ta có thể dùng phương pháp đồ thị để giải quyết loại toán này dễ dàng hơn. HĐ 3: Để học sinh làm theo 3 nhóm các bài trên bằng đồ thị. Đại diện lên trình bày HĐ 3.1: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, bậc hai với tập xác định tương ứng. HĐ 3.2: Tìm hiểu ý nghĩa hình học của nghiệm trên hệ trục toạ độ Sau đây là đáp án: Bài 1: (1) y x y x 2 -1 -6 2 (1) (2) y =m x1 y =m (2) + Xét (1) Û x2-2x-m=0, 1 nếu có nghiệm, gọi x1=1-, x2=1+ + Xét (2) Û x2-2x+m=0, 2 1 0 nếu có nghiệm, gọi x3=1-, x4 x2 x1 x4=1+ VT y=m là đường thẳng song x3 song hoặc trùng ox -1 VP là 2 (P) y=x2-2x và –x2+2x, với tập xác định tương ứng Số giao điểm đồ thị 2 vế là số nghiệm của PT đã cho Đồ thị có dạng hình vẽ + Từ đồ thị ta có kết luận: – Nếu m < -1: PT có nghiệm x3=1-, – Nếu m=-1: PT có nghiệm x1=x2=1, x3=1-, x4=1+ – Nếu -1 < m < 0: PT có nghiệm x2=,1+ x3=1-, – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=0, x2=x4=2 Bài 2: 0 Û x2 x3 -2 Û + Xét PT (1): 2×2+m-2=0, nếu có nghiệm, gọi x1=-, x2= + Xét PT (2): 2x+m+2=0, nếu có nghiệm, gọi x3=- VT y=m là đường thẳng song song hoặc trùng ox VP là (P) y=-x2+2 và đường thẳng (D) y= –2x-2, với tập xác định : -1 < x < 2 Đồ thị có dạng hình vẽ + Từ đồ thị ta có kết luận: – Nếu m 0 : PT vô nghiệm – Nếu m=-6: PT có nghiệm x2=x3=2 – Nếu -6 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3=- – Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=-1, x2=1 (1) y x 2 1 1 -1 -3 y =m (2) x3 – Nếu 0 < m < 2: PT có nghiệm x1=-, x2= – Nếu m=2: PT có nghiệm x1=x2=0. Bài 3: -2 0 Û x2+m= ±(2x-2m) Û 3m= x1 x2 * Xét PT (1): x2-2x+3m=0, nếu có nghiệm, gọi x1=1-, x4 x2=1+ * Xét PT (2): x2-2x-m=0, nếu có nghiệm, gọi x3=1-, x4=1+ + VT y=3m là đường thẳng song song hoặc trùng Ox + VP là 2 (P) y=-x2+2x và y=3×2+6x , với tập xác định tương ứng Đồ thị có dạng hình vẽ + Từ đồ thị ta có kết luận: – Nếu m < -1: PT có 2 nghiệm x1=1-, x2=1+ – Nếu m=-1: PT có nghiệm x3=x4=x1=-1, x2=3 – Nếu -1 < m < 1/3: PT có 4 nghiệm x1=1-, x2=1+, x3=1-,, x4=1+ – Nếu m=-1/3: PT có nghiệm x3=-2, x1=x4=0, x2=2 * Nhận xét: Qua cách làm bằng đồ thị như trên, ta thấy: Bài toán đơn giản và gọn hơn rất nhiều, không phải kiểm tra điều kiện nghiệm, là công đoạn rất cồng kềnh. Qua đó, chúng ta có thể xử lý tất cả các bài dạng trên được theo cách này. * Tổng quát kiến thức: Trong giới hạn của chương trình lớp 10 và để sử dụng được đồ thị bậc nhất, bậc hai ta chỉ đề cập dạng như trên Để học sinh tự tổng quát lên 3 dạng toán phương trình chứa dấu tuyệt đối tương ứng ( rút được tham số m ) Ký hiệu: f(x,m) là biểu thức bậc nhất hoặc bậc hai chứa tham số m, thì ta có 3 bài toán tổng quát và cách giải bằng đồ thị tương ứng sau: HĐ 4: Nếu các phương trình trên đổi thành các bất phương trình, điều kiện bài thay đổi như thế nào ? Sử dụng các kết quả trên vào phần bất phương trình sau: B- BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG BẬC HAI CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI Khi học sinh làm xong dạng trên, có thể áp dụng cho bất phương trình dạng đó. Nhưng việc đọc nghiệm sẽ phức tạp hơn, đó cũng là một cách để học sinh củng cố, đào sâu hơn về đồ thị bậc nhất, bậc hai, ý nghĩa hình học của nó trên hệ toạ độ. PP: Vẫn dùng phương pháp trên, chia nhóm học sinh làm 3 bài tập sau, đại diện nhóm chữa, các hoạt động tương tự trên. * Bài toán 2: Giải biện luận các bất phương trình sau: y x y =m (2) (1) Bài 1: 1 Bất PT Û m < VT y=m là đường thẳng song song hoặc trùng ox x2 x4 x3 x1 VP là 2 (P) y=x2-2x và y=-x2+2x, với tập xác định tương ứng 0 2 1 + Xét bất PT (1): Gọi nghiệm của f(x,m)= x2-2x-m nếu có là x1=1-, x2=1+ -1 + Xét bất PT (2): Gọi nghiệm nếu có của g(x,m)=x2-2x+m nếu có là x3=1-, x4=1+ + Ta cần tìm m để đường thẳng y=m không nằm trên đồ thị VP. + Từ đồ thị, ta có kết luận sau: – Nếu m x3=1-, – Nếu 0 1+= x2 Bài 2: Bất PT Û Û y x 3 3/2 2 (1) (2) 2 y x (2) (1) + Như vậy ta cần đường thẳng y=m nằm giữa 2 (P) y=x2-x (1) và y=-x2+3x (2) 9/4 với 0 < x < 2 + Nếu f(x,m)=x2-x-m có nghiệm, x4 gọi x1=1-, x2=1+ + Nếu g(x,m)=x2-3x+m có nghiệm, y =m x2 x1 x3 gọi x3=3-, x4=3+ 1/2 + Từ đồ thị ta có kết luận sau: 1 – Nếu m 9/4: 0 Bất PT vô nghiệm – Nếu -1/4< m < 2 nghiệm là : -1/4 x3=3- < x < 1+=x2 – Nếu m=2 nghiệm là 1< x < 2 – Nếu 2 < m < 9/4 nghiệm là: x3 =3- < x < 3+= x4 Bài 3: + Dễ thấy “m thì x < 0 là nghiệm + Vậy ta tìm m sao cho đường thẳng y=m không nằm trên x2 x4 x1 x3 (P) y=x2-2x hoặc không nằm y =m + Gọi nghiệm của f(x,m)=x2-2x-m -2 -1 0 1 2 nếu có là: x1=1-, x2=1+ + Gọi nghiệm của g(x,m)=x2+2x-m nếu có là: x3=-1-, x4=-1+ -1 + Từ đồ thị ta có kết quả sau: – Với “m: BPT có nghiệm là x < 0 Ngoài ra: – Nếu m 0 – Nếu -11+= x2 Bài 4: Bất PT Û (x2-2x)2 < (x+m)2 Û (x2-3x-m)(x2-x+m) < 0 Û Û (1) y + Nếu f(x,m)=x2-3x-m (1) có nghiệm, 3 2 3/2 1/4 đặt x1=3-, x2=3+ 1 0 x 1/2 + Nếu g(x,m)=x2-x+m (2) có nghiệm, y =m đặt x3=1-, x4=1+ x3 x1 x4 x2 + Ta cần tìm m để đường thẳng y=m hoặc đồng thời không nằm dưới 2 (P) y=x2-3x, y=-x2+x -2 hoặc đồng thời không nằm trên 2 (P) đó. -9/4 (2) + Từ đồ thị ta có kết luận sau: – Nếu m 1+=x4 – Nếu -9/4<m < -2: x3=1- < x < 3-=x1 hoặc x2=3+ < x < 1+=x4 – Nếu -2< m < 0: x4=1+ < x < 3+= x2 hoặc x3=1- < x < 3-= x1 – Nếu 0<m < ¼: x1=3- < x < x3 hoặc x4=1+ < x < 3+=x2 * Giáo viên có thể tự ra các đề toán dạng trên 1 cách dẽ dàng. Có thể lấy các bài mà đồ thị có thể phức tạp hơn song tôi nghĩa không cần thiết, quan trọng hơn là phương pháp xử lý dạng toán này. IV- KẾT LUẬN Qua giải pháp trên, tôi muốn đề cập đến việc ứng dụng đồ thị bậc nhất và đồ thị bậc hai trong lớp 10 vào một loại phương trình, bất phương trình tương đối khó. Qua thực tế giảng dạy, học sinh đã làm rất tốt dạng này. Hơn nữa khi đến lớp 12, các em có thể vẽ đồ thị của hàm số phức tạp hơn, thì phương pháp trên vẫn áp dụng được, và học sinh đã tự làm được điều đó. Mặc dù vậy, không phải bài nào cũng làm được như trên, do đó ngoài việc ứng dụng phương pháp đồ thị, học sinh vẫn phải nắm vững phương pháp làm trực tiếp. Đây chỉ là một phần rất nhỏ trong việc xây dựng dạng toán cho học sinh thực hành. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp để giải pháp trên đạt hiệu quả cao hơn nữa hơn . Tôi xin chân thành cảm ơn.

Chuyên Đề Hệ Phương Trình Có Chứa Tham Số / 2023

I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai

Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm

Hệ phương trình có chứa tham số I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm Bài 1 Cho hệ phương trình A,tìm m để hệ có nghiệm B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x,y),(x,y) thoả mãn P = x+ x + y + y đạt giá trị nhỏ nhất Giải Hệ pt Hệ có nghiệm pt (2) có nghiệm m b- Theo Viét : x=6 , xx=m-1 Nên p = (x+x)-2xx+(x-3)+(x-3)=-4m+46 (m10) khi m=10 Bài 2 Cho hệ phương trình ; a-Tìm a,b để hệ có nghiệm b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a Giải a-Từ(1) thay vào (2)ta có :24x-6ax+a-5b=0(3) Hệ có nghiệm pt(3) c ó nghiệm b b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm c-Hệcó nghiệm với mọi abmaxmọi a Các bài tập tương tự 1- Giải và biện luận h ệ phương trình : 2- Cho hệ phương trình : a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5 b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b 3- Cho hệ phương trình a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt b-hệ có hai nghiệm(x,y)(x,y)Chứng minh rằng (x-x)+(y-y) 4- Cho hệ phương trình: a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt b-hệcó hai nghiệm(x,y)(x,y)Tìm mđể:(x-x)+(y-y)=4 5- Cho hệ phương trình: a- Tìm m để hệ có nghiệm b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x,y),(x,y) thoả mãn P = x+ x+y+y đạt giá trị nhỏ nhất 6-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau : 7- Cho hệ pt:có nghiệm với mọi b CMR:a=0 II-Hệ đối xứng loại một Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn cho nhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s)Khi đó có hệ phương trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm được s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm được giá trị của tham số . Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau Bài1-Chohệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm Giải Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s)Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có s=4m ,p=5m-1 Hệ có nghiệm sm hoặc m Bài 2- Chohệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm Giải Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s)Khiđóhệphươngtrình: hoặc (với m) Hệ có nghiệm s(TMĐK) Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm : Giải Đặt s=x+y,p=x(ĐK:s,p KhiđóhệptHệcónghiệm Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm : Giải Đặtu=,v=(đK:u,v,x,y)Khiđóhệpt: Hệcónghiệm u,v Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm : Giải Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u)Khiđóhệ:nên u,v là nghiệm pt bậc hai: X-8X +m=0 (u,v)Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn bằng Hai đồ thị hai hàm số y=x-8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có hoành độ .Nên dựa vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16 Bài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt Giải HệptvHệ có ba nghiệm phân biệt khi có hai nghiệm phân biệt x ,y pt X-X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt (m= ptcó nghiệm kép X=0,5) Bai7-Cho hệ phương trình : a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình : a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (svới mọi m) b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy nhất Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1 Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của tham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện đủ Bài8-Tìm mđể hệ pt có nghiệm duy nhất Giải * Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0 * Với m=0 hệ pt : Vậy :m=0 Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất `Bài tập 1-cho hệ pt : a-Giải hệ pt khi m=3 b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m 2- Cho hệ pt : a-Giải hệ pt khi m=2 3- Cho hệ pt : a- Giải hệ khi m=-3 b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 4- Tìm m để hệ :có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ nhất 5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : 6- Cho hệ pt : a- Giải hệ khi m=2 b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất 7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : 8- Tìm m để hệ : có 4 nghiệm phân biệt 9- Giải biện luận hệ pt: 10-Tìm m để hệ có nghiệm : III-Hệ đối xứng loại hai +Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau thì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại +Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt này có thể giải được hệ +Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một Bài1-Chohệpt:Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Giải Trừ hai vế của của hai pt ta có : Hệ có hai nghiệm phân biệt m+3 Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải Trừ hai vế của hai pt,ta có hệ: hoặc Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m-1=0 khi đó hệ (2) vô nghiệm .Vậy m=-1 Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Giải Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duy nhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2xcó nghiệm duy nhất khi m=0 v m=8 Vớim=0hệlà:hoặc(hệcóvôsốnghiệm) Với m=8 hệ:(hệ có nghiệm duy nhất) Vậy m=8 Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Giải : Đ K :-1 Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y=thay vào hệ ta có m= Với m=hệ pt: Màdấu bằng xảy ra x=y=(thoả mãn hệ pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y= Vậy m= Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm Giải ĐK :x,y Hệ Hàm số f(t)= nghịch biến trong khoảng (2,+) Nênpt(1)x=ythay vào pt kia ta có pt: Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm Vậy: Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Giải Trừ haivế của hai pt ta có: x=y=0 V V ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm vô nghiệm 16 Bài tập 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất a- b, c, d, 3-Tìm m để hệ có nghiệm : IV-Hệ đẳng cấp bậc hai Xét hệ có dạng : Cách giải Cách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm của hệ pt hay không +Với x đặt y=tx thay vào hệ pt :chia hai vế của hai pt cho xcân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x khi đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm được t Cách 2:Cân bằng hệ số ẩn Xở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x,rút x theo y ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng phương giải được ẩn x Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự dota được pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo mỗi hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác nhau Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với mọi m: Giải Nhận xét ở pt (2) bậc nhất với ẩn x nên rút x ở pt (2) thayvào pt(1)tacó pt:2y-(40-9m)y-16=0(3)Đặt t=y(t) Ta có pt:2t-(40-9m)t-16=0(4) pt(4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên pt(3) luôn có nghiệm do đó hệ luôn có nghiệm với mọi m (ĐPCM) Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm : Giải +x=0 thay vào hệ giải ra tìm được y=,m=16 Bài 3-Tìm m để hệ :có 4 nghiệm phân biệt Giải Lấy pt (1) trừ pt (2) rồi rút x theo y ta có x=thay vàopt(1)tacó:(3m-12(m+1)y+4=0 Đặt t=y(Đ K:t)Ta có:(3m-12(m+1)t+4=0 (3) Hệ có 4nghiệm phân biệt pt(3)có2nghiệm dương phân biệt Bài tập 1-Tìm m để hệ có nghiệm : 2-Tìm m để hệ có nghiệm : V-Một số hệ khác 1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn Ví dụ 1- Tìm m để hệ sau có nghiệm : Giải *ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên .Khi đó nhân cả hai vế của (1) với -2 rồi cộng hai bất đẳng thức với nhau ta có: x *ĐK Đủ: Với m<-1.Ta có : Xét hệ pt: V Hệ có nghiệm Vậy : m<-1 Bài tập 1- Tìm m để hệ có nghiệm a- b- c- 2-Sử dụng hình học để tìm điều kiện hệ có nghiệm Sử dụng phương pháp này ở những hệ mà trong đó mỗi phương trình hay bất phương trình có tập nghiệm là một hình (đường thẳng, đường tròn ,elíp ,parabôl)hoặc một đồ thị hàm số ,khi giá trị của tham số thay đổi thì các hình đó cũng thay đổi ,dựa vào điều kiện sảy ra các vị trí tương đối của nó để biện luận tập nghiệm của hệ .Tuỳ theo mỗi hệ ,có khi phải biến đổi mới có thể sử dụng được phương pháp này Bài 1- Tìm a để hệ có hai nghiệm : Giải Nếu a<-1 hệ vô nghiệm Nếu a Khi đó hệ :Tập nghiệm của (1) là đường tròn tâm O(0,0) bán kính R= còn nghiệm của (2) là hai đường thẳng x+y-2=0 V x+y+2=0 đối xứng nhau qua O Nên hệ có nghiệm hai đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung Hai đường thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn Khoảng cách từ O đến hai đường thẳng bằng bán kính của đường tròn Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất : Giải Nếu a<0 hệ vô nghiệm Nếu a Khi đó nghiệm của (1) là hình tròn tâm I(0,-1)bán kính R= và nghiệm của (2) là hình tròn tâm J(-1,0) bán kính R= Nên hệ có nghiệm duy nhất Hai hình tròn có điểm chung duy nhất Hai hình tròn tiếp xúc ngoài nhau Bài 3-Tìm a để hệ có nghiệm ; Giải Nếu a<0 hệ vô nghiệm Nếu ađặtu=,v= Khiđóhệ: Trong hệ toạ độ nghiệm của (1)là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng :u+v=a(d) và nghiệm của (2) là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm O(o,o)bán kính R=.Nên hệ có nghiệm ó hai đường có điểm chung trong góc phần tư thứ nhất ód(o,m)d(o,d)(trongđóđtm:u+v=)óó Bài tập Bài 1-Tìm a để hệ có nghiệm : Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Bài 3-Tìm m để hệ có nghiệm : Bài 4-Tìm m để có nghiệm duy nhất : Bài 5-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Bài 6-Tìm m để hệ sau có nhiều nghiệm nhất : 3-sử dụng điều kiện cần và đủ Bài 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Giải Điều kiện cần :Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (-x,y)cũng là nghiệm của hệ Do đó để hệcó nghiệm duy nhất thìx=-xóx=0 Với x=0thay vào hệ ta có :(II) Đểhệ(II)có nghiệm duy nhất điều kiện là: Điều kiện đủ :hệ có nghiệm duy nhất x=0,y=2 Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Giải Hệ pt ó Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (x,-y) cũng là nghiệm Nên hệ có nghiệm duy nhất thì y=-yó y=0 Thay y=0 vào hệ ta có Nếu a=-1 thay vào hệ ,giải hệ ta có hệ có nghiệm duy nhất x=y=0 Vậy :a=-1 hoặc a=4/3 Bài-3 Tìmađể hệ có nghiệm duy nhất Giải Nếu (x,y)là nghiệm thì (-x,-y)cũng là nghiệm . Nên để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y=0.Thay vào hệ ta có a= Với a=,hệ pt:Nhận thấy x,y 0 thì VT(1) Nên (1) có nghiệm :x=y=0 thay vào (2)thoả mãn Vây :a= Bài tập Bài 1-Tìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất : Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Bài 3- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Bài 4-Cho hệ pt: a-Giải hệ với m=2 b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Bài 5-Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất