Top 12 # Xem Nhiều Nhất Cách Giải Hệ Thức Viet Mới Nhất 6/2023 # Top Like

1.1. Khái niệm:

Định lý Viet là công thức thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức trong trường số phức và các hệ số do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra. Viète được phiên âm theo tiếng Việt là Vi-ét.

Định lý Vi-et học ở chương trình đại số ở cấp 2 và cấp 3 có nội dung kiến thức quan trọng đối với học sinh.

1.2. Định lý Vi-et thuận: 

Định lý viet thuận

1.3. Định lý Vi-et đảo:

Định lý Viet đảo

1.4. Ứng dụng của hệ thức Vi-et

Theo hệ thức Vi-et, phương trình (ax^2 + bx + c = 0) (2) với a≠0 có hai nghiệm là x1, x2 khi và chỉ khi thỏa mãi các hệ thức:

(x_1 + x_2 = frac{-b}{a})

và

(x_1*x_2 = frac{c}{a})

Từ hệ thức viet chúng ta có thể áp dụng để tìm 2 số a và b khi biết a+b=S và a.b=P, khi đó ta chỉ cần giải phương trình (x^2-Sx+P=0), a và b chính là 2 nghiệm của phương trình.

Do đó, các ứng dụng của Định lý Vi-et bao gồm:                               

• Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2. Ví dụ: Với phương trình (x^2 – 5x + 6 = 0), ta có thể tính nhẩm nghiệm số nguyên của phương trình là 2 và 3 bởi 2 + 3 = 5 và 2 x 3 = 6.       

• Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc 2: 

• Biến tam thức bậc 2 thành nhân tử: Nếu x1, x2 là nghiệm của đa thức (f(x) = ax^2 + bx + c) có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x – x1)(x – x2)

2. Định lý viet bậc 2 và bậc 3

2.1. Định lý viet bậc 2

Công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình bậc 2 có dạng như sau nếu 2 nghiệm của phương trình lần lượt là x1 và x2, ta có công thức:

(ax^2 + bx + c = 0), điều kiện a # 0 thì ta có x1 + x2 = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a

2.2. Định lý viet bậc 3

Phương trình (ax^3 + bx^2 + cx + d  = 0) có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 khi đó:

Định lý viet bậc 3

Lưu ý: Áp dụng Định lý viet bậc 3  giúp giải một số bài phương trình bậc 3 dễ dạng hơn

3. Phương trình đa thức bất kỳ                                  

Phương trình đa thức bất kỳ có dạng: 

Cho x1, x2, x3,…, xn là n nghiệm của phương trình đa thức ở trên, ta có công thức như sau: 

Do đó, công thức Vi-ét sẽ là kết quả của phép tính ở vế phải và ta được: 

Phương trình đa thức bất kỳ 

Theo đó, trong hàng k bất kỳ, ta sẽ có đẳng thức (a_{n-k}) sẽ là vế phải còn vế trái sẽ là:

Phương trình đa thức bất kỳ 1

Ví dụ về phương trình bậc 3 cho x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình: (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)

Ta chia đều cho a3 tức a ở cả 2 về của phương trình đồng thời chuyển dấu trừ (nếu có) sang về phải thì công thức Vi-et là:

Phương trình đa thức bất kỳ  2

4. Các ứng dụng của định lý Vi-ét

4.1. Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng              

Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng 1 

 

Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng 2

       

Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng 3 

Tìm Số Biết Tổng Và Tích Của Chúng 4

4.2. Tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm   

biểu thức đối xứng giữa các nghiệm  1

 

biểu thức đối xứng giữa các nghiệm  2

 

biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 3

 

biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 4

 

biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 5

biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 6

4.3. Tìm Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số    

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 1

 

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 2

 

 

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 3

 

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 4

 

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 5

 

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 6

 

Nhãn

Hệ Thức Liên Hệ Giữa Các Nghiệm Phụ Thuộc Tham Số 8 

4.4. Tìm Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước (Điều Kiện Cho Trước)         

Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước 1

 

Nhãn

 

Nhãn

 

Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước 5

 

Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước 6

 

Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước 8

 

Nhãn

Điều Kiện Của Tham Số Để 2 Nghiệm Liên Hệ Với Nhau Bởi 1 Hệ Thức Cho Trước 10

4.5. Thiết Lập Phương Trình Bậc 2             

Dựa trên cơ sở của định lý Vi-et, ta thiết lập phương trình bậc 2 có nghiệm là x1, x2. Nếu x1+x2=S; x1.x2=P thì nghiệm của phương trình là x1, x2

Xét các ví dụ: 

Thiết Lập Phương Trình Bậc 2

 

Thiết Lập Phương Trình Bậc 2

 

Thiết Lập Phương Trình Bậc 2

Thiết Lập Phương Trình Bậc 2

4.6. Xét Dấu Các Nghiệm

Nhãn

 

Xét Dấu Các Nghiệm 2

    

Xét Dấu Các Nghiệm 3

       

Xét Dấu Các Nghiệm 4

 

Xét Dấu Các Nghiệm 5

                                                  

5. Bài tập ứng dụng định lý Vi-et

Bài tập 1: Gọi các nghiệm của phương trình (x^2 – 3x + 1 = 0) là x1, x2. Yêu cầu tìm giá trị của các biểu thức mà không giải phương trình.

Bài tập ứng dụng định lý Viète  6

Bài tập ứng dụng định lý Viète 7

Bài tập 2: Đề bài có phương trình x^2 + (2m – 1)x – m = 0

a. Chứng minh với mọi m phương trình luôn có nghiệm.

b. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm. Để biểu thức A=(x_1^2 + x_2^2 – x_1.x_2) có giá trị nhỏ nhất hãy tìm giá trị của m.

Bài giải:

Bài tập ứng dụng định lý Viète 8

Bài tập 3: Tìm giá trị của k của phương trình x^2 + 2x + k = 0 để nghiệm x1, x2 thỏa mãn 1 trong các điều kiện như sau:

x1 – x2 = 14

x1 = 2×2

(x_1^2 + x_2^2 = 1)

1/x1 + 1/x2 = 2

Bài giải: 

NhãnBài tập ứng dụng định lý Viète

Cho phương trình bậc ( 2: ) ( ax^2+bx+c ) có hai nghiệm ( x_1;x_2 ). Khi đó :

Bài toán: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng ( S ) và tích của chúng bằng ( P )

Theo định lý Viet thì hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc ( 2 ) :

***Chú ý: Điều kiện để tồn tại hai số đó là ( S^2-4P geq 0 )

Tìm hai số biết rằng chúng có tổng bằng ( 27 ) và có tích bằng ( 180 )

Theo định lý Viet thì hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

(Leftrightarrow (x-15)(x-12)=0)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=15x=12end{array}right.)

Chúng ta sử dụng các biến đổi nêu trên để quy biểu thức về dạng ( S,P ) rồi từ đó tính giá trị của biểu thức

Cho phương trình ( x^2-(m+2)x+(m+3)^2 ) có hai nghiệm phân biệt ( x_1;x_2 )

Chứng minh rằng với mọi giá trị của ( m ) thỏa mãn phương trình đã cho có nghiệm thì giá trị của biểu thức

(A=frac{x_1}{x_2+1}+frac{x_2}{x_1+1}) luôn không đổi

Áp dụng hệ thức Viet ta có :

(left{begin{matrix} S=x_1+x_2=m+2 P=x_1.x_2=(m+3)^2 end{matrix}right.)

(A=frac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1.x_2+x_1+x_2+1}=frac{S^2+S-2P}{S+P+1})

Thay vào ta được

(A=frac{(m+2)^2+m+2-2(m+3)^2}{(m+3)^2+m+2+1})

Các bước giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của ( m ) để phương trình có hai nghiệm

Bước 2: Biến đổi ( K ) về dạng ( S, P ) với (left{begin{matrix} S=x_1+x_2P=x_1.x_2 end{matrix}right.)

Bước 3: Áp dụng hệ thức Viet để biến đổi ( K ) về phương trình ẩn ( m ) rồi giải ra tìm ( m )

(=-frac{m^2+7m+12}{m^2+7m+12}=-1)

Bài toán: Cho phương trình bậc hai : ( ax^2+bx+c ) với ( a,b,c ) là các hệ số chưa tham số ( m ) . Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm ( x_1;x_2 ) thỏa mãn hệ thức ( K )

Cho phương trình : ( x^2 – (2m+1)x+m^2+2 =0 ) . Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ( x_1;x_2 ) thỏa mãn

(3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

Áp dụng đinh lý Viet ta có

(left{begin{matrix} x_1+x_2 =2m+1x_1.x_2=m^2+2 end{matrix}right.)

Thay vào ta được :

(3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0 Leftrightarrow 3(m^2+2)-5(2m+1)+7=0)

(Leftrightarrow 3m^2-10m+8=0)

(Leftrightarrow (3m-4)(m-2)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}m=2m=frac{4}{3}end{array}right.)

Kết hợp với ( (1) ) ta được ( m=2 )

( x_1; x_2 ) trái dấu (Leftrightarrow P=x_1.x_2<0)

(left{begin{matrix} S=x_1+x_2=-frac{b}{a} P=x_1x_2=frac{c}{a} end{matrix}right.)

Tìm ( m ) để phương trình ( (m-1)x^2+2x+m =0 ) có ít nhất một nghiệm không âm

Xét ( m=1 ) phương trình đã cho trở thành

(2x+1=0Leftrightarrow x=-frac{1}{2}) ( loại )

Xét (m neq 1). Để phương trình có nghiệm thì

(Delta’ =1-m(m-1) geq 0)

(Leftrightarrow m^2-m-1 leq 0)

(Leftrightarrow m in [frac{1-sqrt{5}}{2};frac{1+sqrt{5}}{2}] hspace{1cm} (1) )

Theo định lý Viet thì:

(left{begin{matrix} x_1+x_2 =-frac{2}{m-1} x_1x_2=frac{m}{m-1} end{matrix}right.)

Để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm thì

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} m geq 1 m in [0;1) end{array}right.)

Kết hợp với ( (1) ) thì ta có (m in [0;frac{1+sqrt{5}}{2}])

Hệ thức Viet và ứng dụng nâng cao

Cách làm: Ta quy biểu thức chứa nghiệm về biểu thức theo tham số bằng cách sử dụng định lý Viet rồi từ đó tìm (min , max) của biểu thức chứa tham số đó

Cho phương trình ( x^2+(m+1)x+m =0 ). Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm ( x_1;x_2 ) sao cho biểu thức ( A= x_1^2+x_2^2 ) đạt giá trị nhỏ nhất

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì

(Delta = (m+1)^2-4m geq 0)

(Leftrightarrow (m-1)^2 geq 0). Điều này luôn đúng với mọi (m in mathbb{R})

Áp dụng định lý Viet ta có

(left{begin{matrix} x_1+x_2=-(m+1) x_1x_2= m end{matrix}right.)

Thay vào ta có :

(A=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)

(=(m+1)^2-2m =m^2+1geq 1)

Vậy (A_{min}=1 Leftrightarrow m=0)

Đây là phương pháp để giải các bài toán số học trong các kỳ thi HSG Quốc gia, quốc tế. Ý tưởng của phương pháp là với các phương trình nghiệm nguyên bậc hai ( 2 ) ẩn ( a,b ) thì ta coi [/latex] a [/latex] là một nghiệm theo phương trình ẩn [/latex] b [/latex]. Áp dụng đinh lý Viet thì phương trình còn một nghiệm ( a_1 ) khác. Như vậy phương trình lại có một cặp nghiệm ( (a_1;b) ). Cứ lặp lại các bước như trên thì ta sẽ lại tạo ra một cặp nghiệm mới ( (a_1;b_1) ; (a_2;b_2 ) ) . Vì từ ((a;b)rightarrow (a_1;b_1)) như vậy nên ta gọi phương pháp này là ” bước nhảy Viet ”

Chứng minh rằng nếu ( a, b ) là các số nguyên dương sao cho ( k=frac{a^2+b^2}{ab-1} ) là một số nguyên thì ( k=5 )

Trong tất cả các cặp số ( (a, b) ) thỏa mãn ( k ) là một số nguyên, ta chọn ra cặp ( (a, b) ) sao cho ( a+b ) là nhỏ nhất.

Xét phương trình: ( k=frac{x^2+b^2}{xb-1}Leftrightarrow x^2-kbx+b^2+k=0;;;;;;(*) )

Rõ ràng, phương trình ( (*) ) nhận một nghiệm là ( a, ) gọi nghiệm còn lại là ( x_0 ). Theo định lý Viet, ta có:

Nếu trong hai số ( a;b ) có một số bằng ( 1 ) giả sử ( b=1 ), thế thì: ( k=frac{a^2+1}{a-1}=a+1+frac{2}{a-1}inmathbb{Z} )

( begin{cases}x_0+a=bkx_0.a=b^2+kend{cases} )

Rõ ràng, ( x_0inmathbb{Z^+} )

(Leftrightarrow left[begin{array}{l}a=2a=3end{array}right.)

( Rightarrow k=5 )

(k<frac{2b^2}{b^2-1}=frac{2}{1-frac{1}{b^2}}lefrac{2}{1-frac{1}{4}}=frac{8}{3};;;;;;;;;;(1))

Mặt khác, ta lại có:

Vậy ta có ( k=5 ) là giá trị duy nhất thỏa mãn bài toán

Tác giả: Việt Phương

Chương I: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông – Hình Học Lớp 9 – Tập 1

Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông

Bài 2: Tỷ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn

Bài trước các bạn đã tìm hiểu về mối liên hệ giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Trong bài 2 các bạn sẽ tiếp tục xem là biết các cạnh của tam giác thì chúng ta có thể biết được các góc trong tam giác là bao nhiêu hay không qua bài học tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Bài 3: Bảng Lượng Giác

Bài học tiếp theo các bạn sẽ tìm hiểu cách tính được số đo của một góc thông qua các tỉ số lượng giác của góc đó qua bài học Bảng lượng giác một công cụ giúp chuyển đổi ngôn ngữ tỉ số lượng giác sang số đo góc tương ứng.

Bài 4: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông

Ở các bài trước ta đã tìm hiểu mối liên hệ giữa cạnh với cạnh, tỉ số lượng giác giữa góc với góc. Trong bài học tiếp theo các bạn sẽ tìm hiểu xem giữa góc và cạnh có quan hệ gì trong một tam giác vuông qua bài Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Bài 5: Ứng Dụng Thực Tế Các Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn Thực Hành Ngoài Trời

Qua những kiến thức vừa học trong chương 1 chúng ta sẽ sử dụng vào thực tế để đo đạc chiều dài của một đối tượng thông qua bài học Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Thực hành ngoài trời.

Ôn Tập Chương I: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông

Chương Hệ thức lượng trong tam giác vuông cung cấp cho các em kiến thức cần thiết về tam giác vuông, cách tính độ dài hình học, các góc lượng giác, mối liên hệ công thức của đường cao với các cạnh góc vuông, công thức tính diện tích, cực trị hình học…

Các bạn đang xem Chương I: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông tại Hình Học Lớp 9 Tập 1 môn Toán Học Lớp 9 của chúng tôi Hãy Nhấn Đăng Ký Nhận Tin Của Website Để Cập Nhật Những Thông Tin Về Học Tập Mới Nhất Nhé.

GD&TĐ – Trắc nghiệm khách quan là xu hướng chủ đạo để kiểm tra đánh giá định kỳ chất lượng học tập, thi THPTQG đối với môn Vật lí cho học sinh lớp 12.

Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, nội dung kiến thức kiểm tra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kỹ, nắm vững toàn bộ kiến thức của từng chương trong chương trình Vật lí 12.

Để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra đánh giá định kỳ chất lượng học tập, thi tuyển, học sinh không những phải nắm vững kiến thức, mà còn phải có phương pháp phản ứng nhanh nhạy, xử lý tốt đối với các dạng bài tập của từng chương.

Với lý do trên, thầy Lê Đắc Duẩn – giáo viên Trường THPT Yên Dũng số 2 (Bắc Giang) – chia sẻ kinh nghiệm giúp học sinh hệ thống kiến thức và giải nhanh các dạng bài tập trắc nghiệm phần đại cương sóng cơ và giao thoa sóng cơ trong chương Sóng cơ – Vật lý 12.

Dạng bài tập I: Xác định các đại lượng đặc trưng của sóng

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

Ví dụ minh họa:

Dạng bài tập II: Viết phương trình sóng

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

Ví dụ minh họa:

Dạng bài tập III: Độ lệch pha giữa hai điểm M và N trên cùng một phương truyền sóng

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

Ví dụ minh họa:

Dạng bài tập IV: Giao thoa sóng

– Dạng viết phương trình dao động tổng hợp tại điểm M trong miền giao thoa. Xác định biên độ sóng tại một điểm trong vùng giao thoa.

+ Hai nguồn cùng biên độ A

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

+ Hai nguồn A, B dao động cùng pha

Hai nguồn A, B dao động ngược pha

Hai nguồn A, B dao động vuông pha

Ví dụ minh họa:

+ Hai nguồn khác biên độ A

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

Các ví dụ minh họa:

– Tìm số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai nguồn

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

+ Trường hợp a: Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn cùng pha:

Ví dụ minh họa:

+ Trường hợp b : Tìm số điểm dao động cực đại và cưc tiểu giữa hai nguồn ngược pha:

Ví dụ minh họa:

+ Trường hợp c: Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu giữa hai nguồn vuông pha:

Ví dụ minh họa:

Tìm số điểm cực đại, cực tiểu trong đoạn thẳng MN nằm trên đoạn thẳng nối hai nguồn.

Phương pháp: Nắm kiến thức cần nhớ

Ví dụ minh họa:

Tìm số điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ M, N

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

+ Hai nguồn A, B dao động cùng pha:

+ Hai nguồn A, B dao động ngược pha:

Ví dụ minh họa:

Xác định số điểm cực đại, cực tiểu trên đường tròn tâm O ( O cũng là trung điểm của đoạn thẳng chứa hai nguồn AB)

Phương pháp: Nắm kiến thức cần nhớ

Tìm số điểm dao động cực đại hoặc cực tiểu trên đường nối 2 nguồn trong trường hợp cùng pha, ngược pha.

Tính số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đoạn AB là k.

Suy ra số điểm cực đại hoặc cực tiểu trên đường tròn là =2.k (Do mỗi đường cong hypebol cắt đường tròn tại 2 điểm).

Cũng có thể xác định vị trí cực hoặc cực tiểu trên đường nối 2 nguồn trong trường hợp cùng pha, ngược pha nhờ vào công thứ xác định vị trí.

+ Hai nguồn dao động cùng pha:

+ Hai nguồn dao động ngược pha:

Ví dụ minh họa:

Xác định vị trí tại M cùng pha, ngược pha, với các nguồn

Phương pháp: Nắm lại kiến thức cần nhớ:

Ví dụ minh họa:

Xác định số điểm cực đại, cực tiểu trên đoạn thẳng là đường trung trực của AB và cách AB một đoạn x ( hoặc trên đường thẳng vuông góc với AB)

Phương pháp: Nắm kiến thức cần nhớ

Ví dụ minh họa:

Xác định khoảng cách ngắn nhất hoặc lớn nhất từ một điểm M đến hai nguồn thỏa mãn điều kiên của đề bài ( như M cực đại, cực tiểu, cùng pha, ngược pha, vuông pha, lệch pha… so với nguồn )

Phương pháp: Nắm kiến thức cần nhớ

Ví dụ minh họa:

Xem nội dung lý thuyết đại cương sóng cơ và giao thoa sóng cơ TẠI ĐÂY