Trong chương trình Đại số lớp 10, các em đã được làm quen với các công thức lượng giác, mở đầu chương trình Đại số 11 các em sẽ tiếp tục được học các kiến thức và phương pháp giải về các bài tập hàm số và phương trình của lượng giác. Với tài liệu này chúng tôi trình bày lý thuyết và hướng dẫn chi tiết các em cách giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bám sát chương trình sách giáo khoa. Tài liệu là một nguồn tham khảo bổ ích để các em ôn tập phần hàm số lượng giác tốt hơn.
I. Lý thuyết cần nắm để giải bài tập toán 11 phần lượng giác
Các lý thuyết phần cần nắm để giải được bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác bao gồm các hàm số cơ bản như: hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
1. Hàm số y = sin x và y = cos x
HÀM SỐ Y = SIN X
HÀM SỐ Y = COS X
+ TXĐ: D = R
+ Hàm số lẻ
+ Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1]
+ Đồng biến trên mỗi khoảng
(−π/2 + k2π;π/2 + k2π) và
nghịch biến trên mỗi khoảng
(π2 + k2π;3π/2 + k2π)
+ Có đồ thị hình sin qua điểm O (0,0)
+ Đồ thị hàm số
+ TXĐ: D = R
+ Hàm số chẵn
+ Tuần hoàn với chu kỳ 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1]
+ Đồng biến trên mỗi khoảng
(−π + k2π; k2π) và
nghịch biến trên mỗi khoảng
(k2π;π + k2π)
+ Có đồ thị hình sin đi qua điểm (0; 1)
+ Đồ thị hàm số
2. Hàm số y = tan x và y = cot x
HÀM SỐ Y = TAN X
HÀM SỐ Y = COT X
+ TXĐ D = R ∖{π/2 + kπ, k∈Z}
+ Là hàm số lẻ
+ Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R.
+ Đồng biến trên mỗi khoảng
(−π/2 + kπ;π/2 + kπ)
+ Nhận mỗi đường thẳng x = π/2 + kπ làm đường tiệm cận
+ Đồ thị hàm số
+ TXĐ D = R∖{kπ,k∈Z}
+ Là hàm số lẻ
+ Tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R.
+ Nghịch biến trên mỗi khoảng
(kπ;π + kπ)
+ Nhận mỗi đường thẳng x = kπ làm đường tiệm cận
+ Đồ thị hàm số
II. Phương pháp giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác
Để giải bài tập toán 11 phần hàm số lượng giác, chúng tôi phân thành các dạng toán sau đây:
+ Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
- Phương pháp giải: Chú ý đến tập xác định của hàm số lượng giác và tìm điều kiện của x để hàm số xác định
- Ví dụ: Hãy xác định tập xác định của hàm số:
Hàm số xác định khi:
Kết luận TXĐ của hàm số D = R∖{π/2 + kπ, k∈Z}
+ Dạng 2: Xác định hàm số lượng giác là hàm chẵn, hàm lẻ
- Phương pháp giải: Để xác định hàm số y = f(x) là hàm chẵn hay hàm lẻ, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Xác định tập xác định D của f(x)
Bước 2: Với x bất kỳ , ta chứng minh –
Bước 3: Tính f(-x)
– Nếu f(-x) = f(x), thì hàm số y = f(x) là hàm chẵn
– Nếu f(-x) = -f(x), thì hàm số y = f(x) là hàm lẻ
– Nếu :
f(-x) f(x) thì hàm số y = f(x) không là hàm chẵn
f(-x) -f(x) thì hàm số y = f(x) không là hàm lẻ
- Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số sau: y = tanx + 2sinx
Với x bất kỳ: và –:
Ta có: f(-x) = tan(-x) + 2 sin(-x) = -tanx – 2sinx = -(tanx + 2sinx) = -f(x),
Vậy hàm số y = tanx + 2sinx là hàm số lẻ.
+ Dạng 3: Hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ tuần hoàn
- Phương pháp giải: Để chứng minh y = f(x) (có TXĐ D) tuần hoàn, cần chứng minh có TR sao cho:
Giả sử hàm số y = f(x) tuần hoàn, để tìm chu kỳ tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn 2 tính chất trên
- Ví dụ: Hãy chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π.
Ta có: f(x + π) = sin 2( x+π) = sin (2x + 2π) = sin2x = f(x)
Vậy hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π
+ Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số và xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến
– Phương pháp giải:
1. Vẽ đồ thị hàm số theo dạng các hàm số lượng giác
2. Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Vẽ đồ thị hàm số y = cosx
Hàm số
- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành
+ Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến
Hàm số đồng biến khi
Hàm số nghịch biến khi
+ Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
- Phương pháp giải:
Vận dụng tính chất :
- Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: