Bài viết này chúng ta cùng hệ thống lại cách giải một số dạng bài tập về hàm số, đồ thị hàm số y=ax để các em hiểu rõ hơn và dễ dàng vận dụng giải các bài toán tương tự khi gặp. Nhưng trước tiên chúng ta cùng tóm tắt lại phần lý thuyết của hàm số, đồ thị hàm số:
I. Lý thuyết về hàm số, đồ thị hàm số
* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.
* Lưu ý: Nếu x thay đổi mà y không thay đổi thì y được gọi là hàm số hằng (hàm hằng).
* Với mọi x 1; x 2 ∈ R và x 1<x 2 mà f(x 1)<f(x 2) thì hàm số y = f(x) được gọi làm hàm đồng biến.
* Tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn hệ thức y = f(x) thì được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
* Đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm (1; a).
II. Các dạng bài tập về hàm số và đồ thị hàm số
– Kiểm tra điều kiện: Mỗi giá trị của x được tương ứng với 1 và chỉ 1 giá trị của y.
Ví dụ 1 (bài 24 trang 63 SGK Toán 7 tập 1): Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:
– Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?
– Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x.
* Ví dụ 2 (bài 27 trang 64 SGK Toán 7 tập 1): Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng các giá trị tương ứng của chúng là
b)
a) Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng x;
b) Vì với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y nên đại lượng y là hàm số của đại lượng, trong trường hợp này với mọi x thì y luôn nhận duy nhất một giá trị là 2 nên đây là một hàm hằng.
– Nếu hàm số cho bằng bảng thì cặp giá trị tương ứng của x và y nằm cùng 1 cột.
– Nếu hàm số cho bằng công thức, ta thay giá trị của biến đã cho vào công thức để tính giá trị tương ứng của hàm số
Cho hàm số y = 5x – 1. Lập bảng các giá trị tương ứng của y khi: x = -5; -4; -3; -2; 0; 1/5.
Khi x = -5 ⇒ y = 5.(-5) – 1 = -25 – 1 = -26
Khi x = -4 ⇒ y = 5.(-4) – 1 = -20 – 1 = -21
Khi x = -3 ⇒ y = 5.(-3) – 1 = -15 – 1 = -16
Khi x = -2 ⇒ y = 5.(-2) – 1 = -10 – 1 = -11
Khi x = 0 ⇒ y = 5.(0) – 1 = 0 – 1 = -1
Khi x = 1/5 ⇒ y = 5.(1/5) – 1 = 1 – 1 = 0.
– Như vậy ta có bảng giá trị tương ứng sau:
a) f(5) = ?; f(-3) = ?
b) Hãy điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:
– Tương tự, lần lượt thay các giá trị còn lại của x là: x = -4 ; -3 ; 2 ; 5 ; 6 ; 12 vào công thức hàm số: y = 12/x ta được các giá trị y tương ứng là:-3; -4; 6; 2,4; 2; 1 và ta có được bảng sau:
Cho hàm số y = f(x) = x 2 – 2. Hãy tính f(2) ; f(1) ; f(0) ; f(-1) ; f(-2)
– Ta có y= f(x) = x 2 – 2 nên:
a) f(-1) = 9
b) f(-1/2) = -3
c) f(3) = 25
– Ta có y = f(x) = 1 – 8x.
a) Vậy f(-1) = 1 – 8(-1) = 1 + 8 = 9 ⇒ khẳng định a) ĐÚNG.
b) f(1/2) = 1 – 8(1/2) = 1 – 4 = -3 ⇒ khẳng định b) ĐÚNG
c) f(3) = 1 – 8.3 = 1 – 24 = -23 ⇒ khẳng định c) SAI
– Như vậy ta được bảng sau:
– Muốn tìm tọa độ một điểm ta vẽ 2 đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ.
– Để tìm một điểm trên một đồ thị hàm số ta cho bất kì 1 giá trị của x rồi tính giá trị y tương ứng.
– Có thể tính diện tích trực tiếp hoặc tính gián tiếp qua hình chữ nhật.
– Chú ý: Một điểm thuộc Ox thì tung độ bằng 0, thuộc trục Oy thì hoành độ bằng 0.
a) Viết tọa độ các điểm M, N, P, Q trong hình dưới (hình 19 trang 67 sgk).
b) Em có nhận xét gì về tọa độ của các cặp điểm M và N, P và Q.
M(-3; 2) ; N(2; -3) ; P(0; -2) ; Q(-2; 0)
b) Nhận xét: Trong mỗi cặp điểm M và N ; P và Q hoành độ của điểm này bằng tung độ của điểm kia và ngược lại
– Dựa vào hệ trục tọa độ Oxy theo bài ra ta có:
A(0,5; 2) ; B(2; 2) ; C(2; 0) ; D(0,5; 0).
P(-3; 3) ; Q(-1; 1) ; R(-3; 1).
– Từ vị trí các điểm dựng được, ta thấy tứ giác ABCD là hình vuông.
* Ví dụ 1 (bài 41 trang 72 SGK Toán 7 Tập 1): Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y = -3x.
A(-1/3; 1); B(-1/3; -1); C(0; 0).
– Theo bài ra, y = -3x, ta có:
– Với C(0; 0). ta được: 0 = (-3).0 nên C thuộc đồ thị hàm số đã cho.
– Ta thay tọa độ điểm đi qua vào đồ thị để tìm a.
* Ví dụ 1 (bài 42 trang 72 SGK Toán 7 Tập 1): Đường thẳng OA trong hình 26 là đồ thị của hàm số y = ax.
a) Hãy xác định hệ số a
b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có hoành độ bằng 1/2
a) Ta có A(2; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ điểm A thỏa mãn hàm y = ax. Tức là 1 = a.2 ⇒ a =1/2.
– Cho f(x)=g(x) để tìm x rồi suy ra y và tìm được giao điểm
– Xét hoành độ giao điểm thỏa mãn: 2x = x + 2 ⇒ x = 2 thay giá trị x = 2 vào một trong hai hàm trên ⇒ y = 4.
– Vậy 2 đồ thị giao nhau tại điểm A(2; 4).
– Cách 1: Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta lập tỉ số x/y nếu chúng cùng có 1 hệ số tỉ lệ thì suy ra 3 điểm đó cùng thuộc một đồ thị, ngược lại thì 3 điểm không thẳng hàng.
– Cách 2: Viết đồ thị đi qua một điểm rồi thay tạo độ 2 điểm còn lại vào, nếu 2 điểm này đều thỏa đẳng thức thì 3 điểm thẳng hàng, nếu 1 điểm không thỏa thì 3 điểm không thẳng hàng.
– Cách 1: Để A, B, C thẳng hàng thì:
– Ta sử dụng kiến thức phần tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch để tính k rồi biểu diễn y theo x.
– Hai đường thẳng cắt nhau khi: a 1 ≠ a 2 ⇒ a+1 ≠ 2, hay a≠1.
– Vì b 1 = -2 ≠ b 2 = 0 nên hai đường thẳng không trùng nhau.
– Hai đường thẳng vuông góc khi a 1.a 2 = -1 ⇒ (a+1).2 = -1 ⇒ a = -3/2.
III. Một số bài tập luyện tập về hàm số, đồ thị hàm số
* Bài 1: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ 1/4
a) Tìm x để f(x) = -5.
* Bài 2: Viết công thức của hàm số y = f(x) biết rằng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a =6.
a) Tìm x để f(x) = 1
b) Tìm x để f(x) = 2
c) Chứng tỏ rằng f(-x) = -f(x).
* Bài 3: Đồ thị hàm số y = ax đi qua điểm A (4; 2)
a) Xác định hệ số a và vẽ đồ thị của hàm số đó.
b) Cho B (-2, -1); C ( 5; 3). Không cần biểu diễn B và C trên mặt phẳng tọa độ, hãy cho biết ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Các điểm A(-3; 1); B(6; 2); P(9; -3) điểm nào thuộc đồ thị
* Bài 5: Hàm số f(x) được cho bởi bảng sau:
a) Tính f(-4) và f(-2)
b) Hàm số f được cho bởi công thức nào?
a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số.
b) Gọi M là điểm có tọa độ là (3;3). Điểm M có thuộc (d) không? Vì sao?
c) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với (d) cắt Ox tại A và Oy tại B. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?
* Bài 7: Hàm số y = ax được cho bởi bảng sau:
a) Tìm hệ số a của hàm số đã cho.
b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?