Chương Iv. §2. Giới Hạn Của Hàm Số

--- Bài mới hơn ---

  • Giải Toán Lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Trang 132, 133 Sgk Đại Số
  • Hướng Dẫn Cách Tải Và Chơi Game Nhảy Audition Offline Cho Máy Tính
  • Tải Game Đế Chế Xanh
  • Cách Chơi Đế Chế Aoe, Kinh Nghiệm Chơi Aoe Để Thành Pro Nhanh Nhất
  • Tải Game Thiện Nữ Mobile Về Điện Thoại Và Pc Đơn Giản
  • Gv: Khái quát các trường hợp của giới hạn hàm số tại một điểm :

    Bài toán:Tính

    TH1: Nếu xác định tại thì (Chỉ cần thếvào hàm số )

    TH2: Nếu thế vào mà được các dạng vô định ( nghĩa là không xác định tại ):

    1.Dạng : dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân liên hợp( nếu có chứa căn thức)

    2.Dạng (với thường gặp trong giới hạn một bên) : ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.

    Gv: yêu cầu học sinh lên bảng giải bài tập, các em còn lại giải bài tập ra nháp.

    Hướng dẫn giải bài tập:

    a) ta thấy hàm số xác định tại nên ta thay vào phương trình

    b) ta thấy nếu thay vào hàm số thì ta có cả tử và mẫu đều là bằng không (ta có dạng vô định ) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc hai

    ta sẽ tách theo công thức

    với và là nghiệm của phương trình

    c) ta thấy hàm số ở dạng mà có căn dưới mẫu nên ta dùng cách nhân liên hợp

    d) ta có hàm số giới hạn một bên, ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.

    Gv: gọi học sinh đứng lên nhận xét

    Gv: chính xác hóa lời giải

    Hs: nghi nhận và ghi vào vở

    Hs: lên bảng làm bài tập

    Hs: nhận xét bài bạn

    b)

    vìnên

    Vậy

    Hoạt động 2: Giới hạn hàm số tại vô cực

    Hướng dẫn HS giải bài toán : Tính :

    Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp :

    1.Rút mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng )

    2.Nhân liên hợp ( thường áp dụng cho dạng và có chứa căn thức)

    – Lưu ý các giới hạn đặc biệt để xét giới hạn trong bài tập.

    Gv:Yêu cầu HS nghiên cứu giải bài tập 2.

    Gv:Gọi HS lên bảng trình bày lời giải

    Gv:Gọi HS khác nhận xét bài làm

    Gv: Nhận xét,sửa chữa lời giải của HS.

    Khái quát lại các giải của dạng giới hạn hàm số tại vô cực

    xác hóa lời giải của học

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng 0 Nhân Vô Cùng
  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng 0/0, Dạng Vô Cùng Trên Vô Cùng
  • Phương Pháp Khử Dạng Vô Định
  • Kĩ Thuật Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Các Dạng Toán Đại Cương Điển Hình
  • Tải Game Brain Out Cho Android
  • Các Quy Tắc Tính Giới Hạn Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Hướng Dẫn Vào Game Thiện Nữ Bằng Client Pc Trên Win 10
  • Game Con Đường Tơ Lụa Mobile
  • Hướng Dẫn Tải Và Cài Đặt Đột Kích Trên Windows 10 2022 – Đột Kích Cf 2022
  • Cách Tải Cf Về Máy Tính Windows 10 2022
  • Hướng Dẫn Download Và Cài Đặt Gta Vice City Việt Hóa Full !!
  • Các quy tắc tính giới hạn hàm số

    1. Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

    + Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = pm infty ) và (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} gleft( x right) = L ne 0) thì (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} left[ {fleft( x right).gleft( x right)} right]) được cho trong bảng sau:

    3.1.Dạng $frac{0}{0}$ đối với giới hạn tại một điểm

    Ví dụ 1: Tính: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$

    Giải

    Bước 1: Ta thế 4 vào phương trình f(x) thì sẽ được dạng  nên khẳng định đây là dạng $frac{0}{0}$.

    Bước 2: Biến đổi: $mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 16}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{left( {x – 4} right)left( {x + 4} right)}}{{x – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} left( {x + 4} right) = 8$

    Ví dụ 2.

    Tính $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$

    Giải

    Bước 1: Ta thế 0 vào biểu thức dưới dấu lim thì sẽ thấy dạng  $frac{0}{0}$  nên khẳng định đây là dạng  $frac{0}{0}$.

    Bước 2: Lúc này ta biến đổi nó bằng cách nhân lượng liên hợp cho cả tử và mẫu:

    $mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sqrt {{x^2} + 1} – 1}}{{{x^2}}}$ $ = lim frac{{left( {sqrt {{x^2} + 1} – 1} right)left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$ $mathop { = lim }limits_{x to 0} frac{{{x^2}}}{{{x^2}left( {sqrt {{x^2} + 1} + 1} right)}}$

    Đến đây, chia cả tử và mẫu cho x2 ta được: $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{{sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = frac{1}{2}$

    3.2.Dạng $frac{infty }{infty }$

     Phương pháp: Ta chia cho x với số mũ lớn nhất của tử và mẫu.

    Ví dụ 1.

    Tính giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}}$.

    Giải

    Thay $ + infty $ và biểu thức ta thấy có dạng $frac{{ + infty }}{{ + infty }}$.

    Lại có bậc của x lớn nhất bằng 2, ta chia cả tử và mẫu cho x2.

    $mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4{x^2} – x – 1}}{{3 + 2{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{4 – frac{1}{x} – frac{1}{{{x^2}}}}}{{frac{3}{{{x^2}}} + 2}} = frac{4}{2} = 2$

    3.3. Dạng ${ + infty + infty }$

    Ví dụ

    Tính các giới hạn sau: $mathop {lim }limits_{x to – infty } frac{{sqrt {4{x^2} – x – 1} – x}}{{x – 1}}$

    Giải

    Lưu ý: Học sinh rất dễ nhầm dạng ${ + infty + infty }$ và dạng ${ + infty – infty }$.

    3.4. Dạng ${ + infty – infty }$

    Ví dụ

    Tính gới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$.

    Giải

    Bước 1: Nhân với biểu thức liên hợp của biểu thức sau dấu lim.

    Bước 2: Sau liên hợp, có dạng $frac{infty }{infty }$, nên ta chia cả tử và mẫu cho x.

    $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)$

    $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{left( {sqrt {{x^2} – x} – sqrt {{x^2} + 1} } right)left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$

    $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – x – 1}}{{left( {sqrt {{x^2} – x} + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}$

    $ = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ – 1 – frac{1}{x}}}{{left( {sqrt {1 – frac{1}{x}} + sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} } right)}} = – frac{1}{2}$

    3.5. Dạng ${0.infty }$

    Ví dụ

    Tính giới hạn sau:$mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $

    Giải

    $mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)sqrt {frac{x}{{{x^2} – 9}}} $

    $ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {{x^2} – 9} }}$

    $ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} left( {x – 3} right)frac{{sqrt x }}{{sqrt {x – 3} .sqrt {x + 3} }}$

    $ = mathop {lim }limits_{x to {3^ + }} frac{{sqrt {x – 3} sqrt x }}{{sqrt {x + 3} }} = 0$

    • Các phương pháp tính giới hạn dãy số.
    • Các phương pháp tính gới hạn hàm số.

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bí Kíp Casio Để Tính Giới Hạn Của Dãy Số Và Hàm Số
  • Phương Pháp Giải Các Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Chuyên Đề 2: Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Giá Trị Tuyệt Đối
  • Hướng Dẫn Cách Nén Và Giải Nén Trên Hosting Dùng Cpanel
  • Cách Giải Nén Nhiều Tệp Rar ▷ ➡️ Ngừng Sáng Tạo ▷ ➡️
  • Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Làm Bài Văn Lập Luận Giải Thích
  • Bài Tập Tổng Hợp Về Căn Bậc Ba Có Lời Giải Chi Tiết
  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng Vô Cùng Trừ Vô Cùng, Vô Cùng Trên Vô Cùng
  • Thiên Linh Cái Là Gì
  • Bùa Ngải Thiên Linh Cái Là Gì? Càng Hiểu Bạn Càng Rùng Mình Vì Sợ
  • Toán lớp 12: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit

    Giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    Bài toán 1: Giới hạn của hàm số mũ, hàm số Logarit

    Phương pháp

    Chúng ta có các dạng giới hạn đặc biệt sau:

    Mở rộng: Ta có

    Quy tắc Lopitan: Nếu f(x), g(x) khả vi ở lân cận x 0 trừ tại điểm x 0 thì:

    Đồng thời

    Quy tắc vẫn đúng với x → ∞

    Bài toán 2: Đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

    Phương pháp:

    – Hàm số lũy thừa:

    – Hàm số mũ:

    – Hàm số Logarit:

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

    Hướng dẫn:

    a) Ta biến đổi

    b) Ta biến đổi

    c) Ta biến đổi

    Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

    Hướng dẫn:

    Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

    Hướng dẫn:

    B. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Tìm giới hạn sau

    Bài 2: Tìm giới hạn sau

    Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x = 2

    Bài 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log(ln2x).

    Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số

    Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số

    Bài 7: Tính đạo đạo hàm của hàm số y=log 3(x+1)-2ln(x-1)+2x tại điểm x = 2

    Bài 8: Cho hàm số . Tính tổng T

    Bài 9: Cho . Tính giá trị biểu thức S

    Bài 10: Cho hàm số y = ln(2x 2 + e 2). Nếu thì giá trị m bằng bao nhiêu?

    Ta có

    • Dạng 1: Lũy thừa: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
    • Dạng 2: Lôgarit: lý thuyết, tính chất, phương pháp giải
    • Dạng 3: Tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Trắc nghiệm tìm tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Dạng 4: Các dạng bài tập về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit
    • Trắc nghiệm giới hạn, đạo hàm của hàm số mũ, lũy thừa, lôgarit

    Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi

    ham-so-mu-ham-so-luy-thua-ham-so-logarit.jsp

    --- Bài cũ hơn ---

  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Chuỗi
  • Giải Mã Lá Số Tử Vi Trọn Đời
  • Các Bước Luận Đoán Lá Số Tử Vi (Phần 1)
  • Tôi Học Giải Đoán Lá Số Tử Vi
  • Luận Về Cách Giải Đoán Một Lá Số Tử Vi
  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng 0 Nhân Vô Cùng

    --- Bài mới hơn ---

  • Chương Iv. §2. Giới Hạn Của Hàm Số
  • Giải Toán Lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Trang 132, 133 Sgk Đại Số
  • Hướng Dẫn Cách Tải Và Chơi Game Nhảy Audition Offline Cho Máy Tính
  • Tải Game Đế Chế Xanh
  • Cách Chơi Đế Chế Aoe, Kinh Nghiệm Chơi Aoe Để Thành Pro Nhanh Nhất
  • Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    Bài toán: Tính giới hạn

    Ta có thể biến đổi về dạng 0/0 hoặc ∞/∞ rồi dùng các phương pháp tính giới hạn của hai dạng kia để làm.

    Tuy nhiên, trong nhiều bài tập ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn, quy đồng mẫu thức …. Là có thể đưa về dạng quen thuộc.

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Tính giới hạn:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Bài 2: Tính giới hạn:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Bài 3: Tính giới hạn:

    Hướng dẫn:

    Bài 4: Tính giới hạn:

    Hướng dẫn:

    Bài 5: Tính giới hạn:

    Hướng dẫn:

    Bài 6: Tính giới hạn:

    Hướng dẫn:

    (chia cả tử và mẫu cho x 3)

    Bài 7: Tính giới hạn:

    Hướng dẫn:

    B. Bài tập vận dụng

    Bài 1: bằng:

    A. √5 B. 0 C. 5/2 D. +∞

    Bài 2: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của là:

    A. Không tồn tại B. 0 C. 1 D. +∞

    Bài 3: Cho hàm số . Giá trị đúng của là:

    A. -∞

    B. 0

    C. √6

    D. +∞

    Bài 4: Giới hạn bằng:

    A. 0 B.-1 C.1 D. -∞

    Bài 5: Giới hạn bằng:

    A. +∞ B. -∞ C.0 D.1

    Bài 6: Giới hạn bằng:

    A. -√2/2 B. √10/5 C. -√5/5 D. √2

    Bài 7: Giới hạn bằng:

    A. 0 B. 1 C. +∞ D. không tồn tại

    Bài 8: Giới hạn bằng:

    A. 1 B. 0 C. -∞ D. không tồn tại

    Bài 9: Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn

    A. (-1/a 2) B. +∞ C. -∞ D. không tồn tại

    Bài 10: Tính giới hạn

    A. 2 B.0 C. 0.5 D. 0.25

    Đáp án: C

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng 0/0, Dạng Vô Cùng Trên Vô Cùng
  • Phương Pháp Khử Dạng Vô Định
  • Kĩ Thuật Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Các Dạng Toán Đại Cương Điển Hình
  • Tải Game Brain Out Cho Android
  • Tổng Hợp Đáp Án Game Brain Out Từ Level 1 Đến Level 200
  • Bí Kíp Casio Để Tính Giới Hạn Của Dãy Số Và Hàm Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Các Quy Tắc Tính Giới Hạn Hàm Số
  • Hướng Dẫn Vào Game Thiện Nữ Bằng Client Pc Trên Win 10
  • Game Con Đường Tơ Lụa Mobile
  • Hướng Dẫn Tải Và Cài Đặt Đột Kích Trên Windows 10 2022 – Đột Kích Cf 2022
  • Cách Tải Cf Về Máy Tính Windows 10 2022
  • www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 1 BÍ KÍP CASIO ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ PHẦN I. TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giới hạn của dãy số ( ) n u khi n → +∞ ký hiệu là lim n u . Do n → +∞ (một số vô cùng lớn) nên khi dùng MTCT để tính giới hạn bằng chức năng CALC ta sẽ gán cho biến một giá trị lớn tùy ý (thường là 100; 1000000;......). Cụ thể như sau: 1. Đối với hàm lũy thừa (chứa n ở mũ) Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số (thay biến n bởi biến x). - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = 100x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 13 4.5 lim 6 2 3.5 n n n n ++ + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a3^Q)$+4O5^Q)+1R6+2^Q)$p3O5 ^Q) Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập 100 = ta được kết quả hình 2. Giá trị 20 3 − là giới hạn cần tìm. 2. Đối với hàm không phải là hàm lũy thừa Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số (thay biến n bởi biến x). - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = 1000000x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 3 4 lim 5 4 n n n n + + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: aQ)d+3Q)+4R5Q)d+Q)+4. Ta được màn hình 1: - Bước 2: bấm r nhập 1000000 (có thể 1000000000) = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 10,2 5 = là giới hạn cần tìm. PHẦN II. TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn của hàm số khi → +∞x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = 1000000x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 24 3 1 lim 5 2x x x x→+∞ + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: as4Q)d+3Q)+1R5Q)+2 www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 2 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập 1000000 (có thể 1000000000) = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 20,4 5 = là giới hạn cần tìm. 2. Giới hạn của hàm số khi → −∞x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị = −1000000x , sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 23 4 3 1 lim 5 2x x x x x→−∞ − + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a3Q)ps4Q)d+3Q)+1R5Q)+2 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập -1000000 (có thể -1000000000) = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 1, 0 là giới hạn cần tìm. 3. Giới hạn của hàm số khi → 0 x x . Phương pháp 1 Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị ,= 0 0001x x (hoặc ,= 0 0001nx x nếu → 0 n x x sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 2 22 2 12 lim 4x x x x→− + + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a2Q)+sQ)d+12RQ)dp4. Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập ,−2 0001 (có thể ,−2 0000001 ) = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375 8 − =− là giới hạn cần tìm. Phương pháp 2: dùng đạo hàm để tính (qy) Ta dùng định nghĩa đạo hàm 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x→ − ′ = − . Dạng 1: 0 0 ( ) lim x x g x A x x→ = − biết 0 ( ) 0g x = . Ta viết 0 ( ) ( ) ( )g x f x f x= − . Khi đó nếu ( )f x có đạo hàm tại 0 x thì 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x f x f x A f x x x→ − ′= = − . Dạng 2: 0 ( ) lim ( )x x F x B G x→ = biết 0 0 ( ) ( ) 0F x G x= = . www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 3 Ta viết 0 ( ) ( ) ( )F x f x f x= − và 0 ( ) ( ) ( )G x g x g x= − . Khi đó nếu ( )f x , ( )g x có đạo hàm tại 0 x và 0 ( ) 0g x′ ≠ thì 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )x x f x f x x x f x B g x g x g x x x → − ′− = = ′− − . (Phương pháp L’Hopital). Lưu ý: Phương pháp này áp dụng cho giới hạn hữu hạn dạng 0 0 . Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 3 2 lim 2x x x x→− + + + . Ta thực hiện bấm máy như sau: aqyQ)d+3Q)+2$p2 $$qyQ)+2$z2 được mành hình 1. Nhập xong ta bấm = được màn hình 2. Kết quả bài này bằng 1− . Ví dụ: Tính giới hạn 2 21 2 1 2 6 lim 1x x x x x→ + − + + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: aqy2Q)+1psQ)d+2Q)+6$$1$$qy Q)dp1$1 được màn hình 1. Nhập xong ta bấm = được màn hình 2. Kết quả bài này là giá trị gần bằng ( ) 2 0, 6 3 = . 4. Giới hạn phải của hàm số khi +→ 0 x x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị ,= + 0 0 0001x x (hoặc ,= + 0 0 0001nx x nếu → 0 n x x sau đó bấm nút =. Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 2 2 12 lim 4x x x x+→− + + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a2Q)+sQ)d+12$$Q)dp4 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập ,− +2 0 0001 = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375 8 − =− là giới hạn cần tìm. 5. Giới hạn phải của hàm số khi −→ 0 x x . Cách thức tính: - Bước 1: nhập hàm số. - Bước 2: bấm nút r màn hình máy tính xuất hiện Ta nhập giá trị ,= − 0 0 0001x x (hoặc ,= − 0 0 0001nx x nếu → 0 n x x sau đó bấm nút =. www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 4 Ví dụ: Tính giới hạn 2 2 2 2 12 lim 4x x x x−→ − + − . Ta thực hiện bấm máy như sau: - Bước 1: a2Q)psQ)d+12$$Q)dp4 Ta được màn hình 1. - Bước 2: bấm r nhập ,−2 0 0001 = ta được kết quả hình 2. Giá trị gần đúng 30,375 8 = là giới hạn cần tìm. PHẦN III. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Bài 1. Chứng minh phương trình 32 6 1 0x x− + = có ít nhất hai nghiệm. Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS w72Q)qdp6Q)+1==z2=2== Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải Xét hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + . Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 2;0 −   . Ta có ( 2) 3f − = − và (0) 1f = . Do đó ( 2). (0) 0f f− < . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( 2;0)− (1). Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 0;1    . Ta có (0) 1f = và (1) 3f = − . Do đó (0). (1) 0f f < . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1) (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm. Bài 2. Chứng minh rằng phương trình 5 3 3 0x x− + = luôn có nghiệm. Hướng dẫn: Để chứng minh phương trình luôn có nghiệm ta chỉ cần chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên một khoảng nào đó ta đã chọn. Ta sử dụng MTCT để tìm một khoảng phù hợp đó như sau: Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS (sử dụng TABLE) w7Q)^5$p3Q)+3==z2=2==RR Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải Xét hàm số 5( ) 3 3f x x x= − + . Hàm số 5( ) 3 3f x x x= − + liên tục trên đoạn 2; 1 − −   . www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 5 Ta có ( 2) 23f − = − và ( 1) 5f − = . Do đó ( 2). ( 1) 23.5 115 0f f− − = − = − < . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( 2; 1)− − . Hay phương trình đã cho luôn có nghiệm. Bài 3. Chứng minh phương trình 32 6 1 0x x− + = có đúng ba nghiệm trong khoảng ( 2;2)− . Hướng dẫn: Phương trình bậc 3 có tối đa ba nghiệm. Do đó để chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm thì ta chia khoảng ( 2;2)− thành ba khoảng phân biệt, mà trên mỗi khoảng đó phương trình có một nghiệm. Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS w72Q)qdp6Q)+1==z2=2== Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải Xét hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + . Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 2;0 −   . Ta có ( 2) 3f − = − và (0) 1f = . Do đó ( 2). (0) 0f f− < . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( 2;0)− (1). Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 0;1    . Ta có (0) 1f = và (1) 3f = − . Do đó (0). (1) 0f f < . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0;1) (2). Hàm số 3( ) 2 6 1f x x x= − + liên tục trên đoạn 1;2    . Ta có (1) 3f =− và (2) 5f = . Do đó (1). (2) 0f f < . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;2) (3). Từ (1), (2) và (3) suy ra phương trình đã cho có đúng ba nghiệm trên khoảng ( 2;2)− . Bài 4. Chứng minh phương trình 4 cos 3x x− = có ít nhất một nghiệm. Hướng dẫn: Chuyển về cùng vế trái 4 cos 3 0x x− − = rồi tiến hành dùng MTCT tìm khoảng chứa nghiệm. Thường chọn các giá trị cung góc lượng giác đặc biệt như: , , , , 6 4 3 2 π π π π Lưu ý: do phương trình có chứa hàm số lượng giác nên trước khi bấm máy tính phải chuyển đơn vị đo là radian. qw4 Cách bấm máy tính CASIO 570VN PLUS w74kQ))p3pQ)==zqKa4=qKa2=qKa4 = Ta được kết quả hiển thị như sau: Giải www.facebook.com/mathsnqdieu GV: Cao Thành Thái 6 4 cos 3 4 cos 3 0x x x x− = ⇔ − − = . Xét hàm số ( ) 4 cos 3f x x x= − − . Hàm số ( ) 4 cos 3f x x x= − − liên tục trên đoạn 0; 2 π         . Ta có (0) 1f = và 3 2 2 f π π    = − −    . Do đó (0). 0 2 f f π    <    . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng 0; 2 π       . Bài 5. Chứng minh rằng phương trình 4 2014 2022 0x x− + − = có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2. Hướng dẫn: Phương trình có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2. Do đó ta chọn một khoảng từ 2 trở xuống, chẳng hạn ( 3; 1)− − , ( 2;0)− , (1;2) Giải Xét hàm số 4( ) 2014 2022f x x x= − + − . Hàm số 4( ) 2014 2022f x x x= − + − liên tục trên đoạn 0;2    . Ta có (0) 2022f =− và (2) 1997f = . Do đó (0). (2) 0f f < . Vậy phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm trên khoảng ( )0;2 .

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Giải Các Phương Trình Chứa Ẩn Dưới Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
  • Chuyên Đề 2: Phương Trình Và Bất Phương Trình Chứa Giá Trị Tuyệt Đối
  • Hướng Dẫn Cách Nén Và Giải Nén Trên Hosting Dùng Cpanel
  • Cách Giải Nén Nhiều Tệp Rar ▷ ➡️ Ngừng Sáng Tạo ▷ ➡️
  • Công Cụ Chuyển Đổi Pdf Thành Ppt Tốt Nhất: Chuyển Đổi Sang Powerpoint Trực Tuyến (Miễn Phí)
  • Cách Giải Bài Toán Giới Hạn

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài Tập Giới Hạn Dãy Số
  • Bài 4. Bài Toán Và Thuật Toán
  • Phương Pháp Giải Nhanh Các Bài Toán Về Cấu Tạo Nguyên Tử (Chi Tiết)
  • He Thong Kien Thuc Hoa Hoc Lop 10 Chuong Trinh Coban Va Nang Cao Luyen Thi Dai Hoc Va Cao Dang
  • 5 Bài Toán Chỉ Người Có Iq Cao Mới Giải Được, Bạn Có Thể Giải Thành Công Mấy Bài?
  • Cách Giải Bài Toán Giới Hạn, Cách Học Toán Giỏi, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Học Sinh Giỏi Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lãi Kép, Cách Giải Bài Toán Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lớp 3, Cách Giải Bài Toán Hàm Hợp, Cách Giải Bài Toán Khó, Cách Giải Bài Toán X, Cách Giải Bài Toán, Cách Giải Bài Toán Lớp 4, Cách Giải Bài Toán Về Ankan, Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích, Cách Giải Bài Toán Hiệu Tỉ, Cách Giải Bài Toán Ma Trận, Cách Giải Bài Toán Trên Google, Cách Giải Bài Toán Phần Trăm, Cách Giải Bài Toán Tổng Hiệu, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Khái Niệm “khổ Giới Hạn Của Đường Bộ”Để Xe Và Hàng Hóa Trên Xe Đi Lại An Toàn Bao Gồm Những Giới Hạn, Khái Niệm Khổ Giới Hạn Của Đường Bộ Để Xe Và Hàng Hóa Trên Xe Đi Lại An Toàn Bao Gồm Những Giới Hạn, Sứ Mệnh Lịch Sử Của Giai Cấp Công Nhân Việt Nam Giai Đoạn Cuộc Cách Mạng 4.0, Cách Ra Đề Thi Học Sinh Giỏi, Quy Cách Mốc Ranh Giới, Cách Viết Giới Thiệu Bản Thân, Quy Cách Mốc Địa Giới Hành Chính Cấp Xã, Chủ Nghĩa Mác Lênin Với Cách Mạng Thế Giới, Cách Viết Giấy Giới Thiệu, Cách Thưc Viết Bài Thuyết Trình Dư Thi Bí Thu Chi Bộ Giỏi, Tư Tưởng Hồ Chí Minh Có ý Nghĩa Như Thế Nào Đối Với Sự Nghiệp Cách Mạng Thế Giới, Luận án Cách Mạng Công Nghiệp 4.0 Trên Thế Giới, Học Tập Và Làm Theo Tấm Gương Đạo Đức Phong Cách Hồ Chí Minh Là Nhiệm Vụ Của Toàn Đảng Toàn Dân, Giải Bài Tập Giới Hạn Của Dãy Số, Giải Bài Tập Giới Hạn Hàm Số, Giải Bài Tập Dãy Số Có Giới Hạn 0, Giải Bài Tập Dãy Số Có Giới Hạn Vô Cực, Bài Giải Giới Hạn Hàm Số, Giải Bài Tập Giới Hạn Dãy Số, Bài Giải Cứu Thế Giới, Giải Bài Tập Giới Hạn, Giải Bài Tập Giới Hạn Của Hàm Số, Giải Bài Tập Giới Hạn Của Dãy Số Sgk, Giới Thiệu Và Hướng Dẫn Chỉ Dẫn Tham Khảo Theo Phong Cách Harvard, Lời Giải Đề Thi Học Sinh Giỏi Hóa Học Lớp 8, Hãy Lắng Nghe Cuộc Cách Mạng Thông Tin Đã Bao Phủ Thế Giới Bằng Những Thiết Bị, Cách Giải Bài Vật Lý Lớp 6, Cách Giải Bài Tập Tia X, Cach Xem Sao Giai Han, Lười Giải Phiếu Bài Tập Toán Cuối Tuần Toán 4tuân 16, Giải Toán Lớp 5 Toán Phát Chiển Năng Lực Tư Tuần 14 Đến 15,16, Đề Thi Hs Giỏi Toán 6, Làm Thế Nào Để Học Giỏi Môn Toán Lớp 10, Cách Giải Bài Tập Hối Phiếu, Cách Làm Báo Cáo Giải Trình, Giải Bài Tập Khoảng Cách Lớp 11, Giai Bai 3 Trang 19 2 Cach, 7 Cách Đơn Giản Giải Độc Cơ Thể, Cách Giải Bài Tập Tỷ Giá Hối Đoái, Khái Niệm Nào Sau Đây Không Thể Lý Giải Bằng Đường Giới Hạn Khả Năng Sản , Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 6, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8, Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải Toán 8 Tập 1, Phương Pháp Giải Toán Qua Các Bài Toán Olympic, Đề Thi Học Sinh Giỏi 9 Toán, Bí Quyết Học Giỏi Toán, Đề ôn Thi Học Sinh Giỏi Toán Lớp 6, Bộ Đề Thi Học Sinh Giỏi Lớp 7 Môn Toán, Bộ Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 8, Các Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán ở Mỹ,

    Cách Giải Bài Toán Giới Hạn, Cách Học Toán Giỏi, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet, Toán Lớp 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tt, Toán Đại 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Toán 9 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Học Sinh Giỏi Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lãi Kép, Cách Giải Bài Toán Lớp 2, Cách Giải Bài Toán Lớp 3, Cách Giải Bài Toán Hàm Hợp, Cách Giải Bài Toán Khó, Cách Giải Bài Toán X, Cách Giải Bài Toán, Cách Giải Bài Toán Lớp 4, Cách Giải Bài Toán Về Ankan, Cách Giải Bài Toán Quỹ Tích, Cách Giải Bài Toán Hiệu Tỉ, Cách Giải Bài Toán Ma Trận, Cách Giải Bài Toán Trên Google, Cách Giải Bài Toán Phần Trăm, Cách Giải Bài Toán Tổng Hiệu, Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 5 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Đề Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 5 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 8 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình 9, Bài 6+7 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Bài 6 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, ôn Tập Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 7 Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Tiếp, Bài Giảng Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình, Chuyên Đề Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Lớp 8, Bài 6 Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình Violet,

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Biểu Thức
  • Cách Kết Luận Cho Bài Toán Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Trên Một Đoạn
  • Đề Tài Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Có Hiệu Quả
  • Các Dạng Bài Tập Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln), Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Hàm Số Và Cách Giải
  • Các Bài Toán Về Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tỉ Số Của Chúng
  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng 0/0, Dạng Vô Cùng Trên Vô Cùng

    --- Bài mới hơn ---

  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng 0 Nhân Vô Cùng
  • Chương Iv. §2. Giới Hạn Của Hàm Số
  • Giải Toán Lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Trang 132, 133 Sgk Đại Số
  • Hướng Dẫn Cách Tải Và Chơi Game Nhảy Audition Offline Cho Máy Tính
  • Tải Game Đế Chế Xanh
  • Tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    Tìm trong đó f(x 0) = g(x 0) = 0

    Dạng này ta gọi là dạng vô định 0/0

    Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

    Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x 0 thì ta có :f(x) = (x-x 0)f 1(x)

    * Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích

    Khi đó , nếu giới hạn này có dạng 0/0 thì ta tiếp tục quá trình như trên.

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Bài 2: Tìm giới hạn sau:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Bài 3:

    Hướng dẫn:

    Đặt t = x – 1 ta có:

    Bài 4:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Nên ta có B = 1 + 1 + 1 = 3

    Bài 5:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Vậy A = -2/3

    Bài 6:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    B. Bài tập vận dụng

    Bài 1: bằng số nào sau đây?

    Bài 2: bằng

    A. 5 B. 1 C. 5/3 D. -5/3

    Bài 3: bằng:

    A. 0 B. 4/9 C. 3/5 D. +∞

    Đáp án: C

    Đáp án C

    Bài 4: bằng:

    A. -2

    B. -1

    C. 1

    D. 2

    Bài 5: bằng:

    A. -∞ B. 3/5 C. -2/5 D. 0

    Bài 6: bằng:

    Bài 7: bằng:

    A. -3

    B. -1

    C. 0

    D. 1

    Bài 8: bằng:

    A. -2/3 B. -1/3 C. 0 D. 1/3

    Bài 9: bằng:

    A. +∞

    B. 4

    C. 0

    D. -∞

    Bài 10: bằng:

    A. 0 B. -1 C. -1/2 D. -∞

    Bài 11: bằng:

    A. 1/4 B. 1/6 C. 1/8 D. -1/8

    Bài 12: bằng:

    A. +∞ B. 1/8 C. -9/8 D. -∞

    Đáp án: D

    Đáp án D

    Bài 13: bằng:

    A. 0 B. -1/6 C. -1/2 D. -∞

    Bài 14: bằng:

    A. +∞ B. 2/5 C. -7 D. -∞

    Bài 15: bằng:

    A. 2/3 B. 1/2 C. -2/3 D. -1/2

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Phương Pháp Khử Dạng Vô Định
  • Kĩ Thuật Sử Dụng Máy Tính Cầm Tay Giải Các Dạng Toán Đại Cương Điển Hình
  • Tải Game Brain Out Cho Android
  • Tổng Hợp Đáp Án Game Brain Out Từ Level 1 Đến Level 200
  • Đáp Án Game Brain Out Level 1 Đến Level 255
  • Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Bài 4. Bài Toán Và Thuật Toán
  • Phương Pháp Giải Nhanh Các Bài Toán Về Cấu Tạo Nguyên Tử (Chi Tiết)
  • He Thong Kien Thuc Hoa Hoc Lop 10 Chuong Trinh Coban Va Nang Cao Luyen Thi Dai Hoc Va Cao Dang
  • 5 Bài Toán Chỉ Người Có Iq Cao Mới Giải Được, Bạn Có Thể Giải Thành Công Mấy Bài?
  • Iq Va Phuong Phap Xac Dinh
  • Bài tập giới hạn dãy số – có lời giải chi tiết. Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp: + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

    Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp:

    + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

    + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

    Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

    Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng cóthể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

    Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉta rút ra nhận xét như sau.

    + Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng + – vô cùng

    + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

    Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

    + Nếu bậc của tử béhơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

    Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn cóthể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

    Thật vậy, sử dụng nhận xét đóta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Cách Giải Bài Toán Giới Hạn
  • Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln) Và Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Biểu Thức
  • Cách Kết Luận Cho Bài Toán Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Trên Một Đoạn
  • Đề Tài Phương Pháp Tìm Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Có Hiệu Quả
  • Các Dạng Bài Tập Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln), Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Hàm Số Và Cách Giải
  • Phương Pháp Tính Giới Hạn Dãy Số

    --- Bài mới hơn ---

  • Cách Hóa Giải Biển Số Xe Xấu Giúp Chủ Nhân Gặp Được Nhiều May Mắn Hơn
  • Cách Cúng Giải Hạn Tam Tai Năm 2012
  • Cách Gia Hạn Giấy Phép Xe Máy
  • Cách Làm Lễ Dâng Sao Giải Hạn 2022 Ở Đâu?
  • Hướng Dẫn Cách Cúng Giải Hạn Tháng 7 Âm Lịch Cô Hồn
  • Published on

    1. 3. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Vì (un ) coù giôùi haïn laø 0 neân un coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïngnaøo ñoù trôû ñi.Maët khaùc, vn un un . Do ñoù, vn cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keåtöø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (un ) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soáhaïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (v n ) cuõng coù giôùi haïn laø 0.(Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng). nBài 6. Vì sao dãy (un ) với un 1 không thể có giới hạn là 0 khi n ?Hướng dẫn:Vì un ( 1)n 1, neân un khoâng theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïngnaøo ñoù trôû ñi. Chaúng haïn, un khoâng theå nhoû hôn 0,5 vôùi moïi chúng tôi ñoù, daõy soá (u n ) khoâng theå coù giôùi haïn laø 0.Bài 7. Cho biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (vn) không có giới hạn hữuhạn. Dãy un vn có thể có giới hạn hữu hạn không?Hướng dẫn: Xem nội dung lời giải bài 3.Bài 8. a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết lim un vaø vn un vôùi moïi n. Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy (vn ) khi n + ? n b) Tìm lim vn vôùi vn n! n 1Bài 9. Biết un 2 . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)? 3nBài 10. Dùng định nghĩa giới hạn cảu dãy số. Chứng minh: 3n 2 n2 2a) lim 3 b) lim n n 1 n n 1 sin nc) lim 0 d ) lim 3 1 n3 n n nTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 3
    2. 4. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 2: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. 1. Các giới hạn đặc biệt: C C lim 0; lim 0; lim C C; lim n n n n n n n C lim n k , k N * ; lim 0; k N* n n nk lim q n 0, q 1 ; lim q n , q 1 n n A A lim 0 lim vn ; lim lim vn 0 n vn n n vn n 2. Định lý về giới hạn hữu hạn: Giaû söû lim un a vaø lim vn b. Khi ñoù: n n 1. lim un vn a b n 2. lim un .vn a.b n un a 3. lim ,b 0 n vn b 4. lim un a (vôùi un 0 vôùi moïi n N* ) n 3. Định lý về giới hạn un 1.Neáu lim un a vaø lim vn thì lim 0 n n n vn un 2.Neáu lim un a 0, lim vn 0 vaø vn 0, n * thì lim n n n vn 3.Neáu lim un vaø lim vn a 0 thì lim un vn n n n Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất. Nếu biểu thức chứa căn thức ( dạng A B ; 3 A 3 B ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.BÀI TẬP MẪU: 3n3 5n2 1Bài 1. Tính lim . n 2n3 6n 2 4n 5 Giải:Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 4
    3. 5. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 5 1 3 3n3 5n 2 1 n n3 3lim 3 limn 2n 6n2 4n 5 n 6 4 5 2 2 n n2 n3 2n2 1 5nBài 2. Tính lim . n 1 3n2 Giải: 1 1 5 2 2n 1 5n 2 n n2 n 0lim lim 0n 1 3n2 n 1 3 3 n2Bài 3. Tính lim n2 7 n2 5 n Giải n 2 7 n2 5 2lim n2 7 n2 5 lim lim 0n n n 2 7 n 2 5 n n 2 7 n 2 5Bài 4. Tính lim n 2 3n n2 n Giải: 3n 3 3lim n2 3n n2 lim limn n n 2 3n n 2 n 3 2 1 1 nBÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Tính các giới hạn sau: 4n2 n 1 n2 n 1 2a) lim b) lim c) lim n 2 n 3 2n2 n 2n3 5 n n 1 a0 n m a1n m 1 … am 1n amToång quaùt: Tính giôùi haïn: lim n b0 n p b1n p 1 … bp 1n bpTính giôùi haïn sau: 3 2 2n 4 n2 1 2 3n n 1d) lim e) lim n 2n 1 3 n n2 2 n 1 4n5Đáp số: 27a) 2 b) 0 c) d) 1 e) 4Bài 1.1 Tính: lim n2 n n 1 n 1 1Giải: Tính: lim n2 n n 1 lim ( n) 1 n n n n2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 5
    4. 6. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Bài 2. Tính các giới hạn: 2n 4 n 2 7 3n2 1 n2 1 3n2 14 na) lim b) lim c) lim n 2n 2 n 3 n n n 1 2n 2 3 2n3 nd ) lim n n 2Đáp số: 2a) b) 3 1 c) 0 d) 3 2 2Bài 3. Tình giới hạn sau: 3n 1 2n 1 3n 2 4.3n 7n 1a) lim n b) lim c) lim n 3 2n n 1 2n n 2.5n 7n n 2 3n 5n 1d ) lim e) lim n 2 n 1 3n 1 n 5n 1Đáp số: 1a) 3 b) c) 7 d) e)1 3Bài 4. Tính các giới hạn sau: 3a) lim n 1 n b) lim n 2 3n n 2 c) lim n3 2n 2 n n n n 4n2 1 2n 1d ) lim n 2 n n e) lim f ) lim n n2 1 n2 2 n n n2 2n n n 3 1g) lim n n3 n 2 h) lim n n n2 2 n2 4Đáp số: 7 2 1 3a) 0 b) c) d) e)1 f) g)3 h) 2 3 2 2Bài 5.Tính các giới hạn sau: n 1 2 3 … n 1 2 3 … na) lim b) lim n n2 n 1 n n2 1 1 1 1 1 a a2 … a nc) lim … d ) lim vôùi a 1, b 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 b b2 … b n n 1 3 … 2n 1e) lim n 2n2 n 1 1 1 1 1f ) lim … n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 6
    5. 7. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 2 2g) lim 1 1 … 1 n 2.3 3.4 n 1 n 2 1 1 1 1h) lim … n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2.12 3.22 … n 1 n2i) lim n n4 1 1 1k ) lim … n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 1 3 5 2n 1l* ) lim … n 2 2 2 2 3 2nHướng dẫn và đáp số: 1 n n n n 1 2 3 … n 2 n n2 n 1a) lim lim lim n n2 n 1 n n 2 n 1 n n2 n 1 2 2 1b) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1c) Ta coù: 1 ; ; ;…; 1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 n(n 1) n n 1 1 1 1 1 1Suy ra: lim … lim 1 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n n 1 1 1 bd) S lim 1 a n 1 1 a 1 b 1 2n 1 n n n 1 3 … 2n 1 2 1e) S lim lim n 2n 2 n 1 n 2n 2 n 1 2 1 1 1 1 Söû duïng: k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2 1 1 1 1 1 1f) Vaäy: … 1.2.3 2.3.4 n. n 1 n 2 2 2 n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vaäy lim … lim n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2 n 2 2 n 1 n 2 4 2 k 1 k 2g) Ta thaáy: 1 k k 1 k k 1Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 7
    6. 8. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 2 2 2Vaäy: 1 1 … 1 … 1 2.3 3.4 k. k 1 n. n 1 1.4 2.5 k 1 k 2 n 1 n 2 1 n 3 . … … 2.3 3.4 k k 1 n n 1 3 n 1 2 2 2 1Vaäy lim 1 1 … 1 n 2.3 3.4 n 1 n 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1h) Sn … 1 … 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 1 neân lim Sn 2 2n 1 n 2i) Ta coù: Sn 2.12 3.22 … n 1 n2 1 1 12 2 1 2 2 … n 1 n2 2 n n 1 n n 1 2n 1Sn 13 23 … n3 12 22 …. n2 2 6 2 Sn n2 n 1 n n 1 2n 1 1lim limn n 4 n 4n 4 6n 4 4 1 n 1 n n n 1 1 1k ) Ta coù: 2 n 1 n n n 1 n 1 n n2 n 1 n n 1 1 1 1Sn … 2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 lim Sn 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 3 5 2n 1l) Ta coù: Sn … 2 2 2 23 2n 1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 3 2n 1Sn S … 2 n 2 22 22 23 23 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 2n 1 1 2n 1 2n 1 1 1 1 2 2n 1 … n 1 2 2 22 2 2n 1 2 1 2n 1 2 2n 2 2n 1 1 2 1 1 1 2n 1 1 2n 1Suy ra: S 1 n2 Sn 3 n 3 2 n 2 2 2 n 1 2 2n 2n n n 2 2 nMaët khaùc: . Maø lim 0 lim n 0 2n 1 1 n n 1 n n 1 n 2Vaäy lim Sn 3 nTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 8
    7. 9. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 3. Dùng nguyên lí kẹp. Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu un vn wn vôùi moïi n Và lim un lim wn L (L ) thì lim vn LBÀI TẬP MẪU: 1 2 nTính lim …. . n n 2 1 n 2 2 n 2 nGiải:Ta thấy: 1 2 n 1 2 … n 1 …. 2 n 1 n 2 2 2 n n n2 n 2 1 2 n 1 2 n n n 1Vaø …. … n2 1 n2 2 n2 n n2 1 n2 1 n2 1 2 n2 1 1 1 2 n n n 1Vaäy …. 2 n2 1 n2 2 n2 n 2 n2 1 n n 1 1 Maø lim n 2 n2 1 2 1 2 n 1Vaäy lim …. n n2 1 n2 2 n2 n 2BÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau: n 1 1 3sin n 4cosn n sin na) lim b) lim c) lim n 2 3n n n+1 n 3n+4 n sin 2n cos2n 1 3n 2d ) lim e) lim n 3n+1 n cosn+5n 2 1 1 1f ) lim … n n 2 1 n 2 2 n2 nĐáp số: 1 3a) 0 b) 0 c) d )0 e) f )1 3 5Bài 2. Cho 2 dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu lim vn 0 vaø u vn với mọi nthì lim un 0Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 9
    8. 10. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Hướng dẫn:lim vn 0 vn coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoùtrôû ñi. (1)Vì un vn vaø vn vn vôùi moïi n, neân un vn vôùi moïi n (2)Töø (1) vaø (2) suy ra un cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïngnaøo ñoù trôû ñi, nghóa laø lim un 0 Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: 1 ( 1)n 2 n( 1)na) un b) un c) un n! 2n 1 2n 2 11d ) un (0,99)n cos n e) un 5n cos nĐáp số:a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) DẠNG 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn: Phương pháp: 1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ: Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn. Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M. 3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1: Đặt lim un a n Từ lim un 1 lim f (un ) ta được một phương trình theo ẩn a. n n Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm. Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./ Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 10
    9. 11. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133BÀI TẬP MẪU: u1 2Bài 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi . un 1 2 un vôùi n 1Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó. Giải:Ta có: u1 2 vaø un 1 2 un , un 0 vôùi n N Ta chứng minh : un 2 vôùi n N (1) Vôùi n=1, ta coù u1 2 2 thì (1) ñuùng Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì uk 2. Vaäy un 2, n N Chứng minh dãy (un) tăng: Xeùt un 1 un 2 un un un un 2 0 2 1 un 2 Maø 0 un 2 neân un 1 un . Vaäy (u n ) laø daõy taêng (2) Töø (1) vaø (2) suy ra (un ) coù giôùi haïn. Đặt lim un a thì 0 a 2 n un 1 2 un lim un 1 lim 2 un n n a 2 a a2 a 2 0 a 1hoaëc a=2 Ta có: Vì un 0 neân lim un a 0.Vaäy lim un =2 n n Löu y: Trong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau: ù ” Neáu lim un a thì lim un 1 a ” n n u1 2Bài 2. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi 1. un 1 2 unChứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải:Ta có : 1 2 3 4 nu1 ; u2 ; u3 ; u4 .Töø ñoù ta döï ñoaùn: un (1) 2 3 4 5 n 1Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp: 1 1 Vôùi n=1, ta coù: u1 (ñuùng) 1 1 2 k Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k 1), nghóa laø uk . k 1Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 11
    10. 12. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 1 k 1Khi ñoù ta coù uk ,nghóa laø ñaúng thöùc (1) 1 2 uk k k 2 2 k 1cuõng ñuùng vôùi n=k+1. n Vaäy un , n * . n 1 nTöø ñoù ta coù lim u n lim 1 n 1BÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Chứng minh dãy (un) với un 2 2 … 2 2 là dãy hội tụ. n daáu caênPhương pháp: Xét dãy (un) tăng (hoặc giảm), xét (un) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới)Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi công thức truy hồi ta dùng các phương pháp. 1. Tìm công thức tổng quát ( dựa vào phương pháp đã được nêu ở phần kiến thức dãy số). Tính giới hạn un. 2. Tìm lim un 1 lim f un . Giải phương trình tìm lim un a Tìm giới hạn. n n n u1 0Bài 2. Cho dãy truy hồi un 1 3 . Tìm giới hạn của dãy. un (n 2) 4Hướng dẫn và đáp số:u1 0 1 3 1u2 1 4 4 2 15 1u2 1 16 4… n 1 1un 1 4 n 1 1baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh un 1 4 n 1 1Vaäy lim 1 1 n 4Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 12
    11. 13. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 u1 2Bài 3. Cho dãy truy hồi un 1 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới un (n 2) 2hạn đó.Hướng dẫn và đáp số:Cách 1: 2n 1 1Döï ñoaùn un 2n 1 2n 1 1lim un lim n 1n n 2 1Cách 2: Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. lim un a, tìm a n a 1 Giả sử lim un lim un 1 a a 1 n n 2 lim un 1 nBài 4. u1 2 a) Cho dãy truy hồi un 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm un 1 (n 1) 2 giới hạn đó. 0 un 1 b) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 . Chứng minh dãy (un) un 1 1 un (n 1) 4 có giới hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn và đáp số:b) * Chöùng minh (u n ) laø daõy taêng vaø bò chaën treânTa coù: 0 un 1, n NAÙp duïng baát ñaúng thöùc coái: 1un 1 1 un 2 un 1 1 un 2 1 un 1 un , n N * 4Vaäy (un ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì (un ) thì daõy coù giôùi haïn* Ñaët lim un a, a 0 n 2 1 1 1 1 1Ta coù: un 1 1 un lim un 1 1 un a 1 a a 0 a 4 n 4 4 2 2 1Vaäy lim un n 2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 13
    12. 14. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 2Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi un 1 u vaø u1 0 2 n un a) Chứng minh rằng un 2 vôùi moïi n 2 b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn và đáp số: 1 2a) Ta coù: u1 0, un 1 u un 0, n N * 2 n unAÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si: 1 2 2un 1 u un . 2 , n 1, n 2 n un unSuy ra un 2, n 2, n Nb) Ta coù: u n 2, n 2, n N neân un laø daõy bò chaën döôùi 1 2 1 u2Xeùt un 1 un u un 1 n 0, n 2, n N neân un 1 un , n N * 2 n un un 2* Ñaët lim un a, a chúng tôi coù: n 1 2 1 2 1 2 a 2un 1 u lim un 1 lim u a a a2 2 2 n un n n 2 n un 2 a a 2Vaäy lim un 2 nBài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un cos n. n * . Chứng minhdãy không có giới hạn.Hướng dẫn:Giaû söû lim un lim cos n a lim cos n 2 a lim cos n 2 cos n 0 n n n n 2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sin n 0 n n nmaët khaùc: sin n 1 sin ncos1 cos n sin1,Suy ra lim cos n 0 nSuy ra : lim cos2 n sin 2 n 0, voâ lyù nVaäy daõy soá (un ) vôùi un cos n khoâng coù giôùi haïn.Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ: 1 1 1a) n 1 … 2 ; n N 2 3 2 2 n 1 1 1b) n 1 2 … n ; n N 2 3 3 nHướng dẫn:a) Ta thấyTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 14
    13. 16. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1134Đáp số: 33Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 2 1 1 1a) S 1 … n 1 … b) S … 4 16 4 2 1 2 2 2Hướng dẫn : 1 4 2 2a) q ;S b) q ;S 4 3 2 4 3 2Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội n 1 2 2 4 2q . Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;… 3 3 9 3 1Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tính hai số hạng đầu u1 u2 4 2Hướng dẫn: u1 S 6 u1 6 1 q 1 q 1 1 q 1 u1 1 q 4 2 u1 u1q 4 2 2 n 13Bài 5. Giải phương trình sau: 2 x 1 x 2 x3 x4 x 5 … 1 x n … với 6x 1 nHướng dẫn: Dãy số x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,…, 1 x n … là một cấp số nhân với công bội 1 7q x . ĐS: x ;x 2 9Bài 6. 2 3 n 1 a) Tính tổng S 1 0,9 0,9 0,9 …. 0,9 … b) Cho 0 . Tính tổng S 1 tan tan 2 … tan3 4 c) Viết số thập phân vô hạn tiần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ a = 0,272727…… b = 0,999999999……….. d) Cho dãy bn sin sin 2 sin 3 … sin n với k . Tìm giới hạn 2 dãy bn.Hướng dẫn: 1 a) S 10 1 0,9 1 b) S 1 tan c)Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 16
    14. 17. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 7 2 7 a 0 … 10 102 103 10 4 2 2 2 7 7 … … …. 10 10 3 10 2n 1 102 10 4 1 1 3 2 10 7 10 1 1 11 1 1 10 2 10 2 9 1 b . 1 10 1 1 10 sin d) lim bn 1 sin n soá haïng a aa … aaa…aBài 9. Tính lim n 10 nHướng dẫn:Ta có: n soá haïng n soá haïng 10 1 100 1 10 n 1a aa … aaa..a a 1 11 … 111..1 a … 9 9 9 10 10 n 1 9n a 81 n soá haïng a aa … aaa..a 10a 10 n 1 9n 10aVaäy lim n 10n 81 10n 81Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 17

    --- Bài cũ hơn ---

  • Giải Toán Lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Trang 121, 122 Sgk Đại Số
  • Sao Vân Hớn Là Gì? Cách Giải Hạn Sao Vân Hớn Chiếu Mệnh Năm 2022
  • Ý Nghĩa Tốt Xấu Của Sao Thái Dương Và Cách Cúng Dâng Sao Giải Hạn
  • Hướng Dẫn Cách Cúng Sao Thủy Diệu, Đem Lại Thuận Lợi Trong Buôn Bán
  • Người Xưa Chỉ Cách Dùng Muối Giải Hạn Bằng Cách Đơn Giản: Đặt Vào Chỗ Này Trong Nhà
  • Tìm Giới Hạn Hàm Số Dạng Vô Cùng Trừ Vô Cùng, Vô Cùng Trên Vô Cùng

    --- Bài mới hơn ---

  • Thiên Linh Cái Là Gì
  • Bùa Ngải Thiên Linh Cái Là Gì? Càng Hiểu Bạn Càng Rùng Mình Vì Sợ
  • Các Cấp Độ Khi Luyện Bùa Thiên Linh Cái
  • Thiên Linh Cái Là Gì ? Cấm Kỵ Khi Luyện Thiên Linh Cái
  • Phongmath Pp Khu Dang Vo Dinh
  • Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng, vô cùng trên vô cùng

    A. Phương pháp giải & Ví dụ

    Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng ∞/∞

    Ví dụ minh họa

    Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Bài 2:

    Hướng dẫn:

    Bài 3:

    Hướng dẫn:

    Bài 4:

    Hướng dẫn:

    Bài 5:

    Hướng dẫn:

    Bài 6:

    Hướng dẫn:

    B. Bài tập vận dụng

    Bài 1: bằng:

    A. +∞ B. 4 C. 0 D. -∞

    Bài 2: bằng:

    A. 2/3 B. 1/2 C. -2/3 D. -1/2

    Bài 3: bằng:

    A. -∞ B. 3/5 C. -2/5 D. 0

    Bài 4: bằng:

    A. 0 B. -1/6 C. -1/2 D. -∞

    Bài 5: bằng:

    A. -∞ B. 2 C. 4/3 D. -4/3

    Bài 6: bằng:

    A. +∞ B. 2/5 C. -7 D. -∞

    Bài 7: bằng:

    A. 2/3 B. 1/2 C. -2/3 D. -1/2

    Bài 8: bằng:

    A. √5 B. 8 C. 5/2 D. +∞

    Bài 9: bằng:

    A. +∞ B. 1/3 C. 2/3 D. -2/3

    Bài 10: bằng:

    A. +∞ B. 4 C. 0 D. -∞

    Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

    Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi

    Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

    --- Bài cũ hơn ---

  • Bài Tập Tổng Hợp Về Căn Bậc Ba Có Lời Giải Chi Tiết
  • Cách Làm Bài Văn Lập Luận Giải Thích
  • Giới Hạn, Đạo Hàm Của Hàm Số Mũ, Lũy Thừa, Lôgarit
  • Hướng Dẫn Giải Bài Tập Chuỗi
  • Giải Mã Lá Số Tử Vi Trọn Đời
  • Web hay
  • Links hay
  • Push
  • Chủ đề top 10
  • Chủ đề top 20
  • Chủ đề top 30
  • Chủ đề top 40
  • Chủ đề top 50
  • Chủ đề top 60
  • Chủ đề top 70
  • Chủ đề top 80
  • Chủ đề top 90
  • Chủ đề top 100
  • Bài viết top 10
  • Bài viết top 20
  • Bài viết top 30
  • Bài viết top 40
  • Bài viết top 50
  • Bài viết top 60
  • Bài viết top 70
  • Bài viết top 80
  • Bài viết top 90
  • Bài viết top 100