Top 15 # Xem Nhiều Nhất Cách Giải Các Bài Toán Về Ancol Mới Nhất 6/2023 # Top Like

Các dạng bài toán về Mệnh đề và cách giải các dạng toán khác nhau về mệnh đề giúp học sinh làm quên với các dạng bài khác nhau để học sinh có thể nắm vững kiến thức của mình trong bài Mệnh Đề.

I. Lý thuyết về Mệnh đề

1. Mệnh đề là gì?

– Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định ĐÚNG hoặc SAI.

– Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai.

2. Mệnh đề phủ định

– Cho mệnh đề , mệnh đề “không phải ” gọi là mệnh đề phủ định của phủ định của , ký hiệu là .

– Nếu đúng thì sai, nếu sai thì đúng.

3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo

– Cho hai mệnh đề và , mệnh đề “nếu thì ” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là ⇒.

– Mệnh đề ⇒Q sai khi đúng sai.

– Cho mệnh đề ⇒, khi đó mệnh đề ⇒ gọi là mệnh đề đảo của ⇒.

– Nếu ⇒Q đúng thì:

◊ P là điều kiện ĐỦ để có Q

◊ Q là điều kiện CẦN để có P

4. Mệnh đề tương đương

– Cho hai mệnh đề và , mệnh đề ” nếu và chỉ nếu ” gọi là mệnh đề tương đương, ký hiệu là ⇔.

– Mệnh đề ⇔đúng khi cả ⇒và ⇒ cùng đúng.

* Chú ý: “Tương đương” còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như “điều kiện cần và đủ”, “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu”.

5. Mệnh đề chứa biến

– Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

6. Các kí hiệu ∀, ∃ và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃

– Kí hiệu ∀ : đọc là với mọi; ký hiệu ∃ đọc là tồn tại.

– Phủ định của mệnh đề là mệnh đề .

– Phủ định của mệnh đề là mệnh đề .

II. Các dạng bài tập toán về Mệnh đề và phương pháp giải

* Dạng 1: Xác định mệnh đề và tính đúng sai của mệnh đề

* Phương pháp:

– Dựa vào định nghĩa mệnh đề xác định tính đúng sai của mệnh đề đó

– Mệnh đề chứa biến: Tìm tập D của các biến x để p(x) đúng hoặc sai

Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

a) Trời hôm nay đẹp quá!

b) Phương trình x2 – 3x +1 = 0 vô nghiệm.

c) 15 không là số nguyên tố.

d) Hai phương trình x2 – 4x + 3 = 0 và có nghiệm chung.

e) Số Π có lớn hơn 3 hay không?

f) Italia vô địch Worldcup 2006.

g) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

h) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

* Hướng dẫn:

– Câu a) câu e) không là mệnh đề (là câu cảm thán, câu hỏi?)

– Câu c) d) f) h) là mệnh đề đúng

– Câu b) câu g) là mệnh đề sai

Ví dụ 2: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau

a) 2 là số chẵn

b) 2 là số nguyên tố

c) 2 là số chính phương

* Hướng dẫn:

a) Đúng

b) Đúng (2 chia hết cho 1 và chính nó nên là số nguyên tố)

c) Sai (số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9)

Ví dụ 3: Điều chính ký hiệu ∀ và ∃ để được mệnh đề đúng

a) ∀x ∈ R: 2x + 5 = 0

b) ∀x ∈ R: x2 – 12 = 0

* Hướng dẫn:

a) ∃x ∈ R: 2x + 5 = 0

b) ∃x ∈ R: x2 – 12 = 0

* Dạng 2: Các phép toán về mệnh đề – phủ định mệnh đề

* Phương pháp: Dựa vào định nghĩa các phép toán

+)

+)

+)

+)

Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?

P: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

Q: “66 là số nguyên tố”.

R: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại

K: “Phương trình x4 – 2×2 + 2 = 0 có nghiệm”

H:

* Hướng dẫn:

– Ta có mệnh đề phủ định là:

: “Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau”; mệnh đề này SAI

: “66 không phải là số nguyên tố”; mệnh đề này ĐÚNG

: “Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại”, mệnh đề này SAI

: “3≤-2”; mệnh đề này SAI

: “Phương trình x4 – 2×2 + 2 = 0 vô nghiệm”; mệnh đề này SAI

: ; mệnh đề này ĐÚNG

Ví dụ 2: Phủ định của các mệnh đề sau

A: n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6.

B: ΔABC vuông cân tại A

C: √2 là số thực

* Hướng dẫn:

: n không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3 thì n không chia hết cho 6.

: ΔABC không vuông cân tại A ⇔ ΔABC không vuông hoặc không cân tại A.

: √2 không là số thực ⇔

Ví dụ 3: Phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai.

Q: ∃x ∈ R: x3 + x2 + x + 2 ≠ 0

R: ∀A, ∀B: A∩B⊂A

* Hướng dẫn:

: ∃x ∈ R: x2 + 2 ≤ 0 ; mệnh đề này SAI

: ∀x ∈ R: x3 + x2 + x + 2 = 0 ; mệnh đề này SAI

R: ∀A, ∀B: A∩B⊂A ⇔ ∀x∈A∩B ⇒x∈A

: ∃x∈A∩B⇒x∉A ; mệnh đề này SAI

* Dạng 3: Các phép toán về mệnh đề – mệnh đề kéo theo, tương đương

* Phương pháp: Dựa vào định nghĩa các phép toán

+) ; chỉ SAI khi đúng sai

+) ; chỉ ĐÚNG nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai

Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.

a) P:” Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

c) P:”Tam giác ABC vuông cân tại A” và Q: “Tam giác ABC có “.

* Hướng dẫn:

a) Mệnh đề: P ⇒ Q; P:”Tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”. Là mệnh đề ĐÚNG

– Mệnh đề Đảo Q ⇒ P: “Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì ABCD là hình thoi”. Là mệnh đề SAI

c) Mệnh đề: P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì “

– – Mệnh đề Đảo Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC có thì ABC là tam giác vuông cân tại A”; Là mệnh đề SAI.

Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q và xét tính đúng sai.

a) P: “Tứ giác ABCD là hình thoi” và Q: “Tứ giác ABCD là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau”

b) P: “Bất phương trình có nghiệm” và Q: “”

* Hướng dẫn:

a) P ⇔ Q: “Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi Tứ giác ABCD là hình bình hành và 2 đường chéo vuông góc với nhau”. Là mệnh đề ĐÚNG vì P⇒Q đúng và Q⇒P đúng

b) P ⇔ Q: “Bất phương trình khi và chỉ khi “. Là mệnh đề ĐÚNG vì P⇒Q đúng và Q⇒P đúng

* Dạng 4: Phương pháp chứng minh bằng phản chứng

* Phương pháp: Để chứng minh mệnh đề A đúng ta giả thiết nếu C sai thì dừng phép chứng minh và kết luận A đúng.

Ví dụ 1: Chứng minh “n2 chẵn ⇒ n chẵn”

* Hướng dẫn:

– Mệnh đề A: n chẵn

– : n lẻ: ⇒ n = 2p + 1 () ⇒ n2 = (2p+1)2 = 4p2 + 4p + 1

⇒ n2 = 2(2p2 + 2p) + 1 ⇒ n2 = 2k + 1 (k = 2p2 + 2p)

⇒ n2 lẻ (trái giả thiết).

⇒ Vậy n chẵn.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

* Hướng dẫn:

– Giả sử: ⇒ a2 + b2 < 2ab ⇒ a2 + b2 – 2ab < 0 ⇒ (a-b)2<0 (Sai).

– Vậy

III. Bài tập về Mệnh đề

Bài 1 trang 9 sgk đại số 10: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a) 3 + 2 = 7 ; b) 4 + x = 3;

* Lời giải bài 1 trang 9 sgk đại số 10:

a) 3 + 2 = 7 là mệnh đề và là mệnh đề sai: Vì 3 + 2 = 5 ≠ 7

b) 4 + x = 3 là mệnh đề chứa biến: Vì với mỗi giá trị của x ta được một mệnh đề.

Ví dụ : với x = 1 ta có mệnh đề ” 4 + 1 = 3 “.

với x = -1 ta có mệnh đề ” 4 + (-1) = 3 “.

với x = 0 ta có mệnh đề 4 + 0 = 3.

d) 2 – √5 < 0 là mệnh đề và là mệnh đề đúng: Vì 2 = √4 và √4 < √5.

Bài 2 trang 9 sgk đại số 10: Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó:

a) 1794 chia hết cho 3 ;

b) √2 là một số hữu tỉ

* Lời giải bài 2 trang 9 sgk đại số 10:

a) Mệnh đề “1794 chia hết cho 3” Đúng vì 1794:3 = 598

– Mệnh đề phủ định: “1794 không chia hết cho 3”

b) Mệnh đề “√2 là số hữu tỉ'” Sai vì √2 là số vô tỉ

– Mệnh đề phủ định: “√2 không phải là một số hữu tỉ”

c) Mệnh đề π < 3, 15 Đúng vì π = 3,141592654…

– Mệnh đề phủ định: “π ≥ 3, 15”

Bài 3 trang 9 SGK Đại số 10: Cho các mệnh đề kéo theo:

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).

Các số nguyên tố có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.

Một tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.

b) Hãy phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.

c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”.

* Lời giải Bài 3 trang 9 SGK Đại số 10:

Mệnh đề

Mệnh đề đảo

Phát biểu bằng khái niệm “điều kiện đủ”

Phát biểu bằng khái niệm “điều kiện cần”

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a+b chia hết cho c.

Nếu a+b chia hết cho c thì cả a và b đều chia hết cho c.

a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a+b chia hết cho c.

a+b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c.

Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.

Các số nguyên chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0.

Một số nguyên tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.

Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có tận cùng bằng 0.

Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau

Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân.

Tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó cân.

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

Hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau.

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau.

Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau.

Bài 4 trang 9 SGK Đại số 10: Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”.

a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.

c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

* Lời giải bài 4 trang 9 SGK Đại số 10

a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.

c) Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.

Bài 5 trang 10 SGK Đại số 10: Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó.

b) Có một số cộng với chính nó bằng 0.

c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.

* Lời giải bài 5 trang 10 SGK Đại số 10:

a) ∀ x ∈ R: x.1 = x

b) ∃ a ∈ R: a + a = 0

c) ∀ x ∈ R: x + (-x) = 0

Bài 6 trang 10 SGK Đại số 10: Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó.

b) ∃ n∈N : n2 = n

c) ∀ n∈N; n ≤ 2n

d) ∃ x∈R : x < 1/x.

* Lời giải bài 6 trang 10 SGK Đại số 10:

a) Bình phương của mọi số thực đều dương.

– Mệnh đề này sai vì khi x = 0 thì x2 = 0.

– Sửa cho đúng: ∀x∈R : x2 ≥ 0.

b) Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó.

– Mệnh đề này đúng. Vì có: n = 0; n = 1.

c) Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó.

– Mệnh đề này đúng.

d) Tồn tại số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.

– Mệnh đề này đúng. Vì có: 0,5 < 1/0,5.

Bài 7 trang 10 SGK Đại số 10: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của nó:

a) ∀ n ∈ N: n chia hết cho n ;

b) ∃ x ∈ Q : x2 = 2

c) ∀ x ∈ R : x < x + 1;

d) ∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1

* Lời giải bài 7 trang 10 SGK Đại số 10:

a) A: “∀ n ∈ N: n chia hết cho n”

: “∃ n ∈ N: n không chia hết cho n”.

⇒ đúng vì với n = 0 thì n không chia hết cho n.

b) B: “∃ x ∈ Q: x2 = 2”.

: “∀ x ∈ Q: x2 ≠ 2”. : Đúng

c) C: “∀ x ∈ R : x < x + 1”.

: “∃ x ∈ R: x ≥ x + 1”.

: Sai vì x + 1 luôn lớn hơn x.

d) D: “∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1”.

: “∀ x ∈ R: 3x ≠ x2 + 1”. Sai.

Xem Video bài học trên YouTube

Giáo viên dạy thêm cấp 2 và 3, với kinh nghiệm dạy trực tuyến trên 5 năm ôn thi cho các bạn học sinh mất gốc, sở thích viết lách, dạy học

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ w = 0 có đúng 1 căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 có đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

– Cho phương trình bậc 2 số phức có dạng: Az 2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức cho trước, A≠0).

– Khi đó: Δ = B 2 – 4AC

– Cho z = r(cosφ + isinφ) và z’ = r'(cosφ’ + isinφ’)

II. Các dạng toán về Số phức và cách giải

– Chú ý: Khi tính toán các số thức có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng hay hiệu 2 số phức,…

b) M là tổng của 10 số hạng đầu tiên của 1 cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u 1 = 1, bội q = (1 + i) 2 = 2i. Ta có:

° Ví dụ 1: Tìm số phức z thoả mãn

thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

– Cách giải: Sử dụng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Oxy

– Cách giải: Biến đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a – bi

♦ Loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta sử dụng kết quả

– Đẻ z là số thực âm ⇔ a < 0 và b = 0.

– Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

– Theo bài ra,

– Với x ≠ 0 và y≠ 2 ta có:

– Vậy quỹ tích của M là đường thẳng qua N và song song với Ox, đó là đường thẳng y = -3.

– Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I(1;-2) bán kính R = 1.

* Phương pháp giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

– Đặt z=x+yi, với x,y ∈ R, từ (1) ta có:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được gọi là căn bậc 2 của số phức z nếu w 2 = z hay (x + yi) 2 = a + bi.

♦ Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sạ:

° Phương trình bậc 2 với hệ số phức

– Là phương trình có dạng: az 2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

– Gọi m=a+bi với a,b∈R.

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm z 1=1+i; z 2=-2-3i.

° Ví dụ 2: Giải các phương trình phức sau:

a) Đặt t = z 2, khi đó pt trở thành:

b) Nhận thấy z=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho z 2 ta được:

° Công thức De – Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.

° Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z 2012

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

– Vì z=-1 không phải là nghiệm của phương trình nên nhân 2 vế (*) với (z+1) ta được:

♥ Cách 1: Áp dụng bất đăng thức tam giác, ta có:

♥ Cách 2: Đặt z=x+iy⇒ z-3+4i=(x-3)+(y+4)i

1. Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc

Gốc chung là đỉnh của góc. Hai tia là hai cạnh của góc. (Hình8a).

Đặc biệt : Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau (Hình 8b) góc xOy hoặc góc yOx được kí hiệu là góc xOy hoặc góc yOx.

Khi hai tia Ox, Oy không đối nhau, điểm M gọi là điểm nằm trong góc xOy hay tia OM nằm trong góc xOỵ nếu tia OM nằm giữa hai tia Ox, Oy.

Ví dụ 1. (Bài 6 tr. 75 SGK)

Điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :

a) Hình gồm hai tia chung gốc Ox, Oy là … . Điểm O là … .

Hai tia Ox, Oy là …

b) Góc RST có đỉnh là …. , có hai cạnh là … .

c) Góc bẹt là … .

Hướng dẫn

a) Góc xOy ; đỉnh ; hai cạnh. b) s ; SR và ST.

c) Góc có hai cạnh là hai tia đối nhau.

Dạng 2. ĐỌC TÊN GÓC, VIẾT KÍ HIỆU GÓC VÀ ĐẾM GÓC Phương pháp giải

Dùng ba chữ để viết các góc : chữ ở giữa chỉ đỉnh của góc ; hai chữ hai bên cùng với chữ ở giữa là tên của hai tia chung

gốc tạo thành hai cạnh của góc. Trên ba chữ của tên góc có kí hiệu ^.

Ví dụ 2. (Bài 7 tr. 75 SGK)

Quan sát hình 10 rồi điền vào bảng sau

Đọc tên và viết kí hiệu các góc ở hình 11. Có tất cả bao nhiêu góc ?

Ví dụ 4. Vẽ 5 tia chung gốc Ox, Oy, Om, On, Ot. Chúng tạo thành bao nhiêu góc ?

Hướng dẫn

Có thể dùng công thức n(n-1)/2 trong đó n là số tia.

Đáp số: 10 góc.

Ví dụ 5. Vẽ một số tia chung gốc. Biết rằng chúng tạo thành tất cả 21 góc. Hỏi có bao nhiêu tia ?

Hướng dẫn

n(n-1)/2 = 21 suy ra n (n – 1) = 42 = 7.6. Vậy n = 7. Đáp số: 7 tia.

Ví dụ 6. Vẽ 3 đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Chúng tạo thành bao nhiêu góc ?

Số góc tạo thành là ( 6.5 )/2 = 15 (góc).

Dạng 3. ĐIỂM NẰM TRONG GÓC Phương pháp giải

Muốn biết điểm M có nằm trong góc xOy hay không ta chỉ cần xét xem tia OM có nằm giữa hai tia Ox, Oy hay không ?

Ví dụ 7. (Bài 9 tr. 75 SGK)

Điền vào chỗ trông trong phát biểu sau :

Khi hai tia Oy, Oz không đối nhau, điểm A nằm trong góc yOz nếu tia OA nằm giữa hai tia …

Hướng dẫn

Oy, Oz.

Ví dụ 8. (Bài 10 tr. 75 SGK)

Lấy ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Gạch chéo phần mặt

phẳng chứa tất cả các điểm nằm trong ba góc BAC, ACB, CBA.

Hướng dẫn

Hình 13.

Ví dụ 9. Vẽ ba đường thẳng cắt nhau tại ba điểm A, B, C. Lấy một điểm O nằm trong góc

ABC và nằm trong góc ACB. Hãy chứng tỏ rằng điểm O cũng nằm trong góc BAC.

Điểm O nằm trong góc ABC nên tia BO nằm giữa hai tia BA và BC, do đó tia BO cắt đoạn thẳng AC tại điểm D

nằm giữa A và C, suy ra điểm D nằm trên tia CA.

Điểm O nằm trong góc ACB nên tia CO nằm Hình 14 giữa hai tia CA, CB do đó tia CO cắt đoạn thẳng BD tại điểm

O nằm giữa B và D.

Điểm O nằm giữa B và D nên tia AO nằm giữa hai tia AB, AC do đó điểm o nằm trong góc BAC.

PHẦN TIẾP THEO:

1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi O là một tia gốc O.

Khi đọc (hay viết) tên một tia, phải đọc (hay viết) tên gốc trước .

Ví dụ : Tia Ox (H.40)

Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.

Ví dụ : Hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau. (H.41)

(H.43).

a) Nếu hai tia OA, OB đối nhau thì điểm o nằm giữa A và B.

b) Ngược lại, nếu O nằm giữa A và B :

– Hai tia OA, OB đôi nhau.

– Hai tia AO, AB trùng nhau; hai tia BO, BA trùng nhau.

B. CÁC DẠNG TOÁN. Dạng 1. VẬN DỤNG KHÁI NIỆM TIA, HAI TIA ĐốI NHAU, HAI TIA TRÙNG Phương pháp giải

– Phải xem xét hai ý trong định nghĩa của tia đó là gốc và phần đường thẳng bị chia ra bởi

gốc.

– Nên nhớ đến nhận xét mỗi điểm trên đường thẳng là gốc chung của hai tia đối nhau.

– Cần chú ý rằng hai tia đối nhau hoặc hai tia trùng nhau đều phải có điều kiện gốc

chung.

Ví dụ 1. (Bài 22 trang 112 SGK)

Điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :

a) Hình tạo thành bởi điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O là một…

b) Điểm R bất kì nằm trên đường thẳng xy là gốc chung của … .

c) Nếu điểm A nằm giữa hai điểm B và C thì:

– Hai tia … đối nhau.

– Hai tia CA và … trùng nhau.

– Hai tia BA, BC …

Giải

a) Tia gốc O.

b) Hai tia đối nhau Rx và Ry.

a) AB và AC ; CB ; trùng nhau.

Ví dụ 2. (Bài 23 trang 113 SGK)

Trên đường thẳng a lấy 4 điểm M, N, P, Q như hình 44.

a) Trong các tia MN, MP, MQ, NP, NQ thì những tia nào trùng nhau ?

b) Trong các tia MN, NM, MP có những tia nào đối nhau không ?

c) Nêu tên hai tia gốc P đối nhau.

Hướng dẫn

a) Xét riêng những tia cùng gốc M ; những tia cùng gốc N ta được những tia trùng nhau là MN,

MP, MQ. Hai tia NP, NQ cũng trùng nhau.

c) Hai tia gốc p đối nhau là PN và PQ (hoặc PM và PQ).

Ví dụ 3. (Bài 24 trang 113 SGK)

Cho hai tia Ox, Oy đối nhau, điểm A thuộc Ox, các điểm B, C thuộc tia Oy (B nằm giữa O và

C). Hãy kể tên :

a) Tia trùng với tia BC ; b) Tia đối của tia BC.

Giải

a) Tia trùng với tia BC là tia By.

Ví dụ 4. (Bài 25 trang 113 SGK)

Cho hai điểm AB, hãy vẽ :

a) Đường thẳng AB ;

b) Tia AB ;

c) Tia BA.

Hướng dẫn

a) Hình 46a ; b) Hình 46b ; c) Hình 46c.

Điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :

a) Tia AB là hình gồm điểm A và tất cả các điểm nằm cùng phía với B đối với…

b) Hình tạo thành bởi điểm A và phần đường thẳng chứa tất cả các điểm nằm cùng phía đối với A là một tia gốc …

Trả lời

a) A ; b) A.

Ví dụ 6. (Bài 30 trang 114 SGK)

Điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :

Nếu điểm O nằm trên đường thẳng xy thì:

a) Điểm O là gốc chung của …

b) Điểm … nằm giữa một điểm bất kì khác O của tia Ox và một điểm bất kì khác o của tia

Oy.

Trả lời

a) Hai tia đối nhau Ox và Oy ; b) o.

Ví dụ 7. (Bài 32 trang 114 SGK)

Trong các câu sau đây, em hãy chọn câu đúng :

a) Hai tia Ox, Oy chung gốc thì đối

b) Hai tia Ox, Oy cùng nằm trên một đường thẳng thì đối nhau.

c) Hai tia Ox, Oy tạo thành đường thẳng xy thì đối nhau.

Trả lời : Câu c)

Ví dụ 8. Vẽ hai tia Ox, Oy đôi nhau. Lấy điểm M thuộc tia Ox, điểm N thuộc tia Oy và điểm K

sao cho N nằm giữa hai điểm o và K. Vì sao có thể khẳng định được :

a) Hai tia OM, ON đối nhau.

b) Hai tia OM, OK đối nhau.

Giải

a) Điểm M thuộc tia Ox ; điểm N thuộc tia Oy. Vậy tia OM trùng với tia Ox ; tia ON

trùng với tia Oy. Do hai tia Ox, Oy đối nhau nên hai tia OM, ON đối nhau (1).

b) Điểm N nằm giữa hai điểm O và K nên hai tia ON và OK trùng nhau (2).

Từ (1) và (2) suy ra hai tia OM, OK đối nhau.

Dạng 2. NHẬN BIẾT ĐIỂM NẰM GIỮA HAI ĐIỂM KHÁC Phương pháp giải

Dùng nhận xét nếu hai tia OA, OB đối nhau thì gốc O nằm giữa hai điểm A và B.

Ví dụ 9. (Bài 26 trang 113 SGK)

Vẽ tia AB. Lấy điểm M thuộc tia AB. Hỏi :

a) Hai điểm B, M cùng phía đối với điểm A hay nằm khác

phía đối với điểm A ?

b) Điểm M nằm giữa hai điểm A, B hay điểm B nằm giữa hai điểm A, M ?

Giải

a) Hai điểm B và M nằm cùng phía đối với điểm A (H.48.a,b)

giữa hai điểm A và M.

Nếu điểm M thuộc tia BA thì hai tia MA, MB đối nhau do đó điểm M nằm giữa hai điểm A

và B.

Ví dụ 10. (Bài 28 trang 113 SGK)

Vẽ đường thẳng xy. Lấy điểm O trên đường thẳng xy. Lấy điểm M thuộc tia Oy. Lấy điểm N

thuộc tia Ox.

a) Viết tên hai tia đối nhau gốc o.

b) Trong ba điểm M, O , N thì điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

Giải

a) Hai tia đối nhau gốc O là tia Ox và Oy.

Điểm N thuộc tia Ox nên tia ON trùng với tia Ox. Suy ra hai tia OM, ON đối nhau do đó điểm

O nằm giữa hai điểm M và N.

Ví dụ 11. (Bài 29 trang 114 SGK)

Cho hai tia đối nhau AB và AC.

a) Gọi M là một điểm thuộc tia AB. Trong ba điểm M, A, C thì điểm nào nằm giữa hai điểm

còn lại ?

b) Gọi N là một điểm thuộc tia AC. Trong ba điểm N, A, B thì điểm nào nằm giữa hai điểm

còn lại ?

Giải

a) M thuộc tia AB nên tia AM trùng với tia AB.

Hai tia AB và AC đối nhau nên hai tia AM và AC đối nhau do đó điểm A nằm giữa hai

điểm M và C.

Ví dụ 12. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B ; điểm M nằm giữa hai điểm A và O; điểm N

nằm giữa hai điểm B và O.

a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O.

b) Chứng tỏ rằng điểm o nằm giữa hai điểm M và N.

Giải

a) Điểm M nằm giữa hai điểm A và O nên hai tia OM và OA trùng nhau (1).

b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B nên hai tia OA và OB đối nhau (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai tia OM, ON đối nhau do đó điểm O nằm giưa hai điểm M và N.

Dạng 3. TIA CĂT ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải

Xét xem nếu tia và đường thẳng chỉ có một điểm chung thì chúng cắt nhau.

Ví dụ 13. (Bài 31 trang 114 SGK)

Lấy ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Vẽ hai tia AB, AC.

a) Vẽ tia Ax cắt đường thẳng BC tại điểm M nằm giữa B, C.

b) Vẽ tia Ay cắt đường thẳng BC tại điểm N không nằm giữa B, C.

Hướng dẫn

Xem hình 52.

Luyện tập các dạng bài tập về tia – Toán lớp 6