Top 10 # Xem Nhiều Nhất Cách Giải Bài Toán Xác Suất Mới Nhất 3/2023 # Top Like

“Xác suất – thống kê” thuộc môn “Toán ứng dụng”, trước kia “Xác suất – thống kê” chỉ được dạy ở chương trình Đại học. Cùng với việc đổi mới chương trình và SGK bậc THPT, “Xác suất – thống kê” được đưa vào chương trình bậc THPT: Lớp 10 phần thống kê, Lớp 11 phần xác suất.

Bộ môn “Xác suất – thống kê” mang tính thực tiễn cao, các bài toán về xác suất – thống kê thường gặp trong cuộc sống hàng ngày, lí thuyết “Xác suất – thống kê” được ứng dụng hầu hết trong các ngành khoa học. Hàng ngày, trong nhiều hoạt động của con người thường phải đối mặt với những tình huống không thể dự đoán trước một cách chính xác, nhưng khi phải quyết định những tình huống không chắc chắn đó chúng ta cần phải biết tính toán phần trăm xảy ra là bao nhiêu, bộ môn “Xác suất” giúp ta tính toán phần trăm đó một cách khoa học.

Trong bài viết này tôi đưa ra một số định hướng cho học sinh khi giải bài toán xác suất, các phân tích bài toán để có thể tìm được lời giải của bài toán. Khi gặp bài toán xác suất học sinh cần định hướng được bài toán theo: Áp dụng đinh nghĩa cổ điển của xác suất hoặc áp dụng các qui tắc tính xác suất.

Cách giải bài toán xác suất lớp 11

LỜI NÓI ĐẦU "Xác suất - thống kê" thuộc môn "Toán ứng dụng", trước kia "Xác suất - thống kê" chỉ được dạy ở chương trình Đại học. Cùng với việc đổi mới chương trình và SGK bậc THPT, "Xác suất - thống kê" được đưa vào chương trình bậc THPT: Lớp 10 phần thống kê, Lớp 11 phần xác suất. Bộ môn "Xác suất - thống kê" mang tính thực tiễn cao, các bài toán về xác suất - thống kê thường gặp trong cuộc sống hàng ngày, lí thuyết "Xác suất - thống kê" được ứng dụng hầu hết trong các ngành khoa học. Hàng ngày, trong nhiều hoạt động của con người thường phải đối mặt với những tình huống không thể dự đoán trước một cách chính xác, nhưng khi phải quyết định những tình huống không chắc chắn đó chúng ta cần phải biết tính toán phần trăm xảy ra là bao nhiêu, bộ môn "Xác suất" giúp ta tính toán phần trăm đó một cách khoa học. Trong bài viết này tôi đưa ra một số định hướng cho học sinh khi giải bài toán xác suất, các phân tích bài toán để có thể tìm được lời giải của bài toán. Khi gặp bài toán xác suất học sinh cần định hướng được bài toán theo: Áp dụng đinh nghĩa cổ điển của xác suất hoặc áp dụng các qui tắc tính xác suất. B. NỘI DUNG Cách giải bài toán xác suất lớp 11 I. Các kiến thức cần nhớ: 1) Các kiến thức về tổ hợp: Qui tắc cộng, qui tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. 3) Định nghĩa cổ điển của xác suất. II. Phương pháp giải: 1. Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất: Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra). Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi). Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra: Chú ý: Khi tính số phần tử của không gian mẫu và tập hợp mô tả biến cố cần nắm chắc kiến thức về tổ hợp để tìm. Khi áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất cần thoả mãn hai điều kiện: Không gian mẫu chỉ có hữu hạn các phần tử(số phần tử đếm được) Các kết quả của phép thử phải là đồng khả năng. Ví dụ: Khi gieo con súc sắc hoặc đồng tiền phải cân đối đồng chất để khả năng xuất hiện các mặt là như nhau, khi chọn quả cầu trong hộp thì khả năng chọn mỗi quả là như nhau.. đó chính là tính đồng khả năng. Khi gieo con súc sắc số lần gieo hữu hạn, số quả cầu trong hộp hữu hạn đó chính là tính hữu hạn của các phần tử của không gian mẫu. 2. Áp dung các qui tắc tính xác suât: * Bước 1: Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố : . Xác xuất của các biến cố : là tính được(dễ hơn so với A) Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố. * Bước 2: Biểu diễn biến cố A theo các biến cố. * Bước 3: Xác định mối quan hệ giữa các biến cố và áp dụng qui tắc: 1) Nếu xung khắc: 2) Nếu đối nhau: 3) Nếu độc lập: Chú ý: A và B độc lập thì cũng độc lập. A và B độc lập Bài1: Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen. Lần lượt lấy ra 3 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ. Giải: Cách1: ĐN cổ điển của xác suất Gọi A là biến cố: "Trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ" Vì sự lựa chọn không phân biệt thứ tự lấy nên số kết quả của quá trình lựa chọn là một tổ hợp chập 3 của 5+6=11 phần tử . Trong 3 bi lấy ra: Chọn 2 bi màu đỏ trong 5 bi đỏ có cách, còn 1 bi (màu đen) chọn trong 6 bi có cách Cách 2: Gọi là biến cố lần thứ i lấy được bi màu đỏ, i=1,2,3 Có: độc lập nên: độc lập; độc lập; độc lập Ba biến cố: xung khắc Vậy: Bài toán: Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen, 7 bi vàng. Lần lượt lấy ra 4 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ 3 màu: HD: Gọi A là biến cố " Trong 4 bi lấy ra không đủ 3 màu" là biến cố " Trong 4 bi lấy ra có đủ 3 màu" Các trường hợp chọn 4 bi đủ 3 màu: 2 đỏ, 1 xanh, 1 vàng 1 đỏ, 2 xanh, 1 vàng 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng Bài2:(Sách BTCB11) Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả. Tính xác suất sao cho lấy được hai quả khác màu Giải: Cách 1: Gọi C là biến cố: " lấy ra 2 quả khác màu" Lấy từ hộp thứ nhất 1 quả, hộp thứ hai 1 quả Số phần tử của không gian mẫu là: Có 2 khả năng lấy được hai quả khác màu: Hộp 1 lấy được quả đỏ, hộp 2 lấy được quả xanh số khả năng: Hộp 1 lấy được quả xanh, hộp 2 lấy được quả đỏ số khả năng: Cách 2: Gọi A là biến cố lấy được từ hộp 1 quả màu đỏ Gọi B là biến cố lấy được từ hộp 2 quả màu đỏ Có: A và B độc lập thì cũng độc lập, xung khắc nên: Chú ý: Gọi D là biến cố: " lấy ra 2 quả cùng màu" Bài 3: Có 3 xạ thủ cùng bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích lần lượt là: 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia? Giải: Gọi là biến cố người thứ i bắn trúng bia, i=1,2,3 A là biến cố có ít nhất một người nào bắn trúng bia là biến cố không có người nào bắn trúng bia . Chú ý: 1.Bài toán trên nhưng nếu 3 xạ thủ bắn lần lượt cho đến khi bắn trúng bia thì thôi. Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5? Giải: Gọi A là biến cố mục tiêu bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5 Ta có: 2.Bài toán: Có 1 xạ thủ bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn có: a) ít nhất một lần bắn trúng bia? b) Bắn trúng bia đúng 1 lần? Giải: a.Gọi A là biến cố có ít nhất 1 lần bắn trúng bia b. Gọi là biến cố người đó bắn trúng bia ở lần thứ i, i=1,2,3 A là biến cố trong 3 lần bắn người bắn trúng bia 1 lần 3. Hiển nhiên khi đọc bài toán trên không thể giải theo định nghĩa cổ điển của xác suất vì không thể tìm được số phần tử của không gian mẫu. Bài 4: Trường THPT Đội Cấn có 2 đội bóng chuyền thi đấu. Họ thoả thuận với nhau rằng đội nào đầu tiên thắng 5 séc thì được nhận toàn bộ giải thưởng. Đang thi đấu thì trời mưa nên trận đấu phải dừng lại khi đội thứ nhất thắng 4 ván, đội thứ hai thắng 3 ván. Vậy cần phải chia giải thế nào thì hợp lí? (Dựa theo nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ) Sai lầm thường gặp: Nhiều người cho rằng cần chia giải thưởng theo tỉ lệ 4:3, cũng có người cho rằng cần chia theo tỉ lệ 3:2 (với lập luận Đội 1 thắng nhiều hơn 1 ván bằng của 5 nên Đội 1 nhận giải, phần còn lại chia đôi mỗi người một nửa). Tất cả các ý kiến trên đều sai. Bài giải: Nếu tiếp tục chơi thêm 2 ván "giả tạo" nữa thì xác suất chiến thắng của Đội 2 (nhận toàn bộ giải) là: và do đó xác suất thắng cuộc của Đội 1 là . Vì vậy phải chia giải thưởng theo tỉ lệ 3:1 là hợp lí nhất. ( Bài toán này được dựa trên bài toán "Nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ" )

Dạng 1. tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển

Cách giải. Để tính xác suất P(A) của một biến cố ta thực hiện các bước n    Xác định không gian mẫu  , rồi tính số phần tử của 

 Xác

định

rồi

phần

Cách giải một số bài toán

tập

tả biến cố tính

cơ bản về xác suất

tử

của A  Tính P(A) theo công thức

p ( A) 

 Vd1. một tổ học sinh gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm đều nhau. Tính xác suất để mỗi nhóm có 1 nữ Lời giải. Gọi A là biến cố ” Ở 3 nhóm học sinh mỗi nhóm có 1 nữ”  Để tìm

n  

ta thực hiện

Chọn ngẫu nhiên 3 trong 9 em đưa vào nhóm thứ nhất có Chọn 3 em trong 6 em còn lại đưa vào nhóm thứ hai có Còn 3 em đưa vào nhóm thứ 3 có Vậy

C33

cách chọn

n    C93 .C63 .C33  1680

 Để tìm n(A) ta thực hiện Phân 3 nữ vào 3 nhóm nên có 3! cách khác nhau Phân 6 nam vào theo cách như trên ta có  n( A)  3!C62 .C42 .C22  540

C62 .C42 .C22

cách

C93

C63

cách chọn

cách chọn

Do đó

p ( A) 

Vd2. từ các chữ số 0; 1; 2; 3;4;5;6 viết ngẫu nhiên một số có 5 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để các số 1, 2 có mặt trong số viết được. Lời giải. Gọi A là biến cố ” số viết được có mặt các chữ số 1 và 2″ 

Gọi số viết được có dạng abcde với các chữ số đôi một khác nhau thuộc tập

X   0;1;2;3;4;5;6

. có 6 cách chọn a

4 4 bcde có A6 số. Vậy số phần tử của không gian mẫu là n    6. A6  2160

 Để tìm n(A) ta xét hai trường hợp sau A2 TH1. abcde không có mặt chữ số 0 ( có mặt các chữ số 1 và 2): có 5

cách sắp thứ tự hai chữ số 1 và 2 vào 2 vị trí trong 5 vị trí ; Sau đó có Vậy có

A43

A52 A43

cách xếp thứ tự 3 trong 4 chữ số 3;4;5;6 vào 3 vị trí còn lại. =480 số

TH2. abcde có mặt các chữ số 0;1;2; có 4 cách chọn vị trí để đặt số 0; tiếp theo có

A42

cách chọn vị trí để đặt số 1 và 2. cuối cùng có

A42

cách chọn 2

trong 4 chữ số 3;4;5;6 để đặt có thứ tự vào 2 vị trí còn lại. Vậy có 4

A42 A42

=576  n( A)  480  576  1056  Do đó

p ( A) 

 Dạng 2. tính xác suất bằng công thức cộng Cách giải. Sử dụng công thức sau để tính xác suất của biến cố đối, biến cố hợp. p( A)  1  p( A); p( A  B)  p( A)  p( B) nếu A  B  rỗng. Vd3. một hộp đựng 8 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên

bi. Tính xác suất để a) Lấy được 3 viên bi cùng màu b) Lấy được 3 viên bi khác màu c) Lấy được ít nhất 2 viên bi xanh Lời giải. a)Gọi A là biến cố ” Lấy được 3 viên bi xanh”, B là biến cố ” Lấy được 3 viên bi đỏ”, H là biến cố ” Lấy được 3 viên bi cùng màu” . Ta có H  A  B , vì A và B xung khắc nên ta có p( H )  p( A)  p( B) p ( A) 

b) biến cố ” lấy được 3 viên bi khác màu” là biến cố H . vậy p ( H )  1  p( H )  1 

c) Gọi C là biến cố ” lấy được 2 viên bi xanh và một viên bi đỏ” K là biến cố ” lấy được ít nhất 2 viên bi xanh”. ta có K  A  C , A và C xung khắc. p( K )  p( A)  p(C ) ,

p (C ) 

 Dạng 3. tính xác suất bằng quy tắc nhân Cách giải. Để tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập A và B ta dùng công thức p( A.B)  p( A). p( B) VD4. có hai hộp chứa quả cầu, hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 quả cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả cầu lấy ra có cùng màu? Lời giải. Gọi A là biến cố ” Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ nhất là quả

cầu trắng” , B là biến cố ” Quả cầu được lấy ra từ hộp thứ 2 là màu trắng” Ta có

p ( A) 

màu trắng là

3 10 , p( B)  25 25 . vậy xác suất để cả hai quả cầu được lấy ra là p ( AB)  p ( A) p( B ) 

30 625 ( do A và B độc lập)

Tương tự, xác suất để hai quả cầu được lấy ra đều là màu xanh là 15 9 135 6 7 42 .  .  25 25 625 , và xác suất để lấy ra 2 quả cầu đều là màu đỏ là 25 25 625

Theo quy tắc cộng xác suất để lấy ra hai quả cầu cùng màu là 30 42 135 207    625 625 625 625

GD&TĐ – Cô giáo Vũ Thị Hương Lan – Trường THPT Nguyễn Trung Ngạn (Hưng Yên) cho biết, do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học.

Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất, học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng.

Để có thể giải quyết được các bài toán tổ hợp – xác suất, theo cô Vũ Thị Hương Lan, học sinh phải nắm vững kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng; đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể.

Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11, chương trình cơ bản môn Toán, cô Lan nhận thấy, đa số học sinh chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: Không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,…

Các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể.

Phương pháp giải một số bài toán xác suất lớp 11

Cô Vũ Thị Hương Lan cho rằng, để vượt qua được các bài toán xác suất, giáo viên cần hệ thống hóa khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố.

Đồng thời, tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố, công thức xác suất cổ điển, giải thích thông qua các ví dụ từ mô hình cụ thể đến các mô hình trừu tượng.

Sau đó, hướng dẫn học sinh tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng công thức xác suất cổ điển.

Giáo viên nêu các quy tắc xác suất, hướng dẫn học sinh sử dụng các quy tắc này để tính xác suất trong một số ví dụ điển hình; Từ đó, giúp học sinh rút ra nhận xét về cách sử dụng các quy tắc này một cách linh hoạt hợp lí trong từng trường hợp cụ thể.

Cuối cùng, rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cho học sinh thông qua một số bài tập bổ sung nâng cao; gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng bài toán.

Xem phương pháp giải một số bài toán xác suất cụ thể theo chia sẻ cô giáo Vũ Thị Hương Lan TẠI ĐÂY

Các định nghĩa về Tổ hợp – Chỉnh hợp – Xác suất

Để giải toán Tổ hợp – Chỉnh hợp – Xác suất, cần ghi nhớ định nghĩa, dạng bài, quy tắc cộng, quy tắc nhân và công thức của chúng:

Xác suất: P (A)= n (A)/ n (Ω)

Trong đó:

A: biến cố

N(A): số phần tử của biến cố A

N (Ω): số phần tử của không gian mẫu

P (A): xác suất của biến cố A.

Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 5 món quà vào 5 cái hộp.

Giải: Có tất cả P5=5! Cách

Chỉnh hợp:  Akn = n! / (n – k)! (1≤k≤n)

Ví dụ: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5 có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau.

Giải: Cố tất cả A25= 5!/ (5-2)! Số tự nhiên

Tổ hợp: Ckn= n!/ [k!(n-k)!] (1≤k≤n)

Ví dụ: Một cửa hàng có 10 chiếc Bphone, bạn mua 2 chiếc, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Có tất cả C210= 10!/ [2!(10 – 2)!] cách

Quy tắc cộng: Giả sử có một công việc được thực hiện theo phương án A hoặc B. Có n cách để thực hiện phương án A và m cách để thực hiện phương án B. Khi đó, công việc có thể được thực hiện bởi m + n cách.

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc được thực hiện theo 2 giai đoạn là A và B. Công đoạn A có n cách, công đoạn B có m cách thì công việc có thể thực hiện theo m.n cách.

Cách giải bài Toán về Tổ hợp – Chỉnh hợp – Xác suất

Trực quan nhất, chúng ta cùng tham khảo một bài toán cụ thể, dựa vào câu hỏi đề bài mới xác định sẽ dùng công thức nào. Ví dụ như sau: Cho các số sau: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Tổ hợp: Có bao nhiêu tập hợp gồm có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ những số trên? Đáp áp: Tổ hợp chập 3 của 7 phần tử

Chỉnh hợp: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ dãy số trên? Đáp án: Chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử

Chủ đề môn Toán khác:

♦ Khái niệm và công thức cần nhớ về Khối đa diện trong Toán 12

♦ Hướng dẫn sinh viên phương pháp dạy kèm môn Toán hiệu quả