Top 10 # Xem Nhiều Nhất Cách Giải Bài Tập Về Giới Hạn Của Dãy Số Mới Nhất 6/2023 # Top Like | Techcombanktower.com

Bài Tập Giới Hạn Dãy Số

Bài tập giới hạn dãy số – có lời giải chi tiết. Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp: + Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số + Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Tài liệu Chuyên đề giới hạn của dãy số – Nguyễn Quốc Tuấn gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm với 2 dạng toán thường gặp:

+ Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

+ Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ

Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng cóthể đặt nhân tử cao nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.

Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉta rút ra nhận xét như sau.

+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng + – vô cùng

+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:

+ Nếu bậc của tử béhơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.

Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn cóthể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.

Thật vậy, sử dụng nhận xét đóta thực hiện nhanh các bài tập trắc nghiệm sau:

Phương Pháp Tính Giới Hạn Dãy Số

Published on

3. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Vì (un ) coù giôùi haïn laø 0 neân un coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø soá haïngnaøo ñoù trôû ñi.Maët khaùc, vn un un . Do ñoù, vn cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keåtöø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (un ) coù theå nhoe hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soáhaïng naøo ñoù trôû ñi. Vaäy (v n ) cuõng coù giôùi haïn laø 0.(Chöùng minh töông töï, ta coù chieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng). nBài 6. Vì sao dãy (un ) với un 1 không thể có giới hạn là 0 khi n ?Hướng dẫn:Vì un ( 1)n 1, neân un khoâng theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïngnaøo ñoù trôû ñi. Chaúng haïn, un khoâng theå nhoû hôn 0,5 vôùi moïi chúng tôi ñoù, daõy soá (u n ) khoâng theå coù giôùi haïn laø 0.Bài 7. Cho biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (vn) không có giới hạn hữuhạn. Dãy un vn có thể có giới hạn hữu hạn không?Hướng dẫn: Xem nội dung lời giải bài 3.Bài 8. a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết lim un vaø vn un vôùi moïi n. Coù keát luaän gì veà giôùi haïn cuûa daõy (vn ) khi n + ? n b) Tìm lim vn vôùi vn n! n 1Bài 9. Biết un 2 . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)? 3nBài 10. Dùng định nghĩa giới hạn cảu dãy số. Chứng minh: 3n 2 n2 2a) lim 3 b) lim n n 1 n n 1 sin nc) lim 0 d ) lim 3 1 n3 n n nTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 3

4. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 2: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy. 1. Các giới hạn đặc biệt: C C lim 0; lim 0; lim C C; lim n n n n n n n C lim n k , k N * ; lim 0; k N* n n nk lim q n 0, q 1 ; lim q n , q 1 n n A A lim 0 lim vn ; lim lim vn 0 n vn n n vn n 2. Định lý về giới hạn hữu hạn: Giaû söû lim un a vaø lim vn b. Khi ñoù: n n 1. lim un vn a b n 2. lim un .vn a.b n un a 3. lim ,b 0 n vn b 4. lim un a (vôùi un 0 vôùi moïi n N* ) n 3. Định lý về giới hạn un 1.Neáu lim un a vaø lim vn thì lim 0 n n n vn un 2.Neáu lim un a 0, lim vn 0 vaø vn 0, n * thì lim n n n vn 3.Neáu lim un vaø lim vn a 0 thì lim un vn n n n Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất. Nếu biểu thức chứa căn thức ( dạng A B ; 3 A 3 B ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.BÀI TẬP MẪU: 3n3 5n2 1Bài 1. Tính lim . n 2n3 6n 2 4n 5 Giải:Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 4

5. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 5 1 3 3n3 5n 2 1 n n3 3lim 3 limn 2n 6n2 4n 5 n 6 4 5 2 2 n n2 n3 2n2 1 5nBài 2. Tính lim . n 1 3n2 Giải: 1 1 5 2 2n 1 5n 2 n n2 n 0lim lim 0n 1 3n2 n 1 3 3 n2Bài 3. Tính lim n2 7 n2 5 n Giải n 2 7 n2 5 2lim n2 7 n2 5 lim lim 0n n n 2 7 n 2 5 n n 2 7 n 2 5Bài 4. Tính lim n 2 3n n2 n Giải: 3n 3 3lim n2 3n n2 lim limn n n 2 3n n 2 n 3 2 1 1 nBÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Tính các giới hạn sau: 4n2 n 1 n2 n 1 2a) lim b) lim c) lim n 2 n 3 2n2 n 2n3 5 n n 1 a0 n m a1n m 1 … am 1n amToång quaùt: Tính giôùi haïn: lim n b0 n p b1n p 1 … bp 1n bpTính giôùi haïn sau: 3 2 2n 4 n2 1 2 3n n 1d) lim e) lim n 2n 1 3 n n2 2 n 1 4n5Đáp số: 27a) 2 b) 0 c) d) 1 e) 4Bài 1.1 Tính: lim n2 n n 1 n 1 1Giải: Tính: lim n2 n n 1 lim ( n) 1 n n n n2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 5

6. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Bài 2. Tính các giới hạn: 2n 4 n 2 7 3n2 1 n2 1 3n2 14 na) lim b) lim c) lim n 2n 2 n 3 n n n 1 2n 2 3 2n3 nd ) lim n n 2Đáp số: 2a) b) 3 1 c) 0 d) 3 2 2Bài 3. Tình giới hạn sau: 3n 1 2n 1 3n 2 4.3n 7n 1a) lim n b) lim c) lim n 3 2n n 1 2n n 2.5n 7n n 2 3n 5n 1d ) lim e) lim n 2 n 1 3n 1 n 5n 1Đáp số: 1a) 3 b) c) 7 d) e)1 3Bài 4. Tính các giới hạn sau: 3a) lim n 1 n b) lim n 2 3n n 2 c) lim n3 2n 2 n n n n 4n2 1 2n 1d ) lim n 2 n n e) lim f ) lim n n2 1 n2 2 n n n2 2n n n 3 1g) lim n n3 n 2 h) lim n n n2 2 n2 4Đáp số: 7 2 1 3a) 0 b) c) d) e)1 f) g)3 h) 2 3 2 2Bài 5.Tính các giới hạn sau: n 1 2 3 … n 1 2 3 … na) lim b) lim n n2 n 1 n n2 1 1 1 1 1 a a2 … a nc) lim … d ) lim vôùi a 1, b 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 b b2 … b n n 1 3 … 2n 1e) lim n 2n2 n 1 1 1 1 1f ) lim … n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 6

7. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 2 2g) lim 1 1 … 1 n 2.3 3.4 n 1 n 2 1 1 1 1h) lim … n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2.12 3.22 … n 1 n2i) lim n n4 1 1 1k ) lim … n 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 1 3 5 2n 1l* ) lim … n 2 2 2 2 3 2nHướng dẫn và đáp số: 1 n n n n 1 2 3 … n 2 n n2 n 1a) lim lim lim n n2 n 1 n n 2 n 1 n n2 n 1 2 2 1b) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1c) Ta coù: 1 ; ; ;…; 1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 n(n 1) n n 1 1 1 1 1 1Suy ra: lim … lim 1 1 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n n 1 1 1 bd) S lim 1 a n 1 1 a 1 b 1 2n 1 n n n 1 3 … 2n 1 2 1e) S lim lim n 2n 2 n 1 n 2n 2 n 1 2 1 1 1 1 Söû duïng: k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2 1 1 1 1 1 1f) Vaäy: … 1.2.3 2.3.4 n. n 1 n 2 2 2 n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vaäy lim … lim n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1) n 2 n 2 2 n 1 n 2 4 2 k 1 k 2g) Ta thaáy: 1 k k 1 k k 1Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 7

8. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 2 2 2Vaäy: 1 1 … 1 … 1 2.3 3.4 k. k 1 n. n 1 1.4 2.5 k 1 k 2 n 1 n 2 1 n 3 . … … 2.3 3.4 k k 1 n n 1 3 n 1 2 2 2 1Vaäy lim 1 1 … 1 n 2.3 3.4 n 1 n 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1h) Sn … 1 … 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 1 neân lim Sn 2 2n 1 n 2i) Ta coù: Sn 2.12 3.22 … n 1 n2 1 1 12 2 1 2 2 … n 1 n2 2 n n 1 n n 1 2n 1Sn 13 23 … n3 12 22 …. n2 2 6 2 Sn n2 n 1 n n 1 2n 1 1lim limn n 4 n 4n 4 6n 4 4 1 n 1 n n n 1 1 1k ) Ta coù: 2 n 1 n n n 1 n 1 n n2 n 1 n n 1 1 1 1Sn … 2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 lim Sn 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 3 5 2n 1l) Ta coù: Sn … 2 2 2 23 2n 1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 3 2n 1Sn S … 2 n 2 22 22 23 23 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 2n 1 1 2n 1 2n 1 1 1 1 2 2n 1 … n 1 2 2 22 2 2n 1 2 1 2n 1 2 2n 2 2n 1 1 2 1 1 1 2n 1 1 2n 1Suy ra: S 1 n2 Sn 3 n 3 2 n 2 2 2 n 1 2 2n 2n n n 2 2 nMaët khaùc: . Maø lim 0 lim n 0 2n 1 1 n n 1 n n 1 n 2Vaäy lim Sn 3 nTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 8

9. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Phương pháp 3. Dùng nguyên lí kẹp. Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn). Nếu un vn wn vôùi moïi n Và lim un lim wn L (L ) thì lim vn LBÀI TẬP MẪU: 1 2 nTính lim …. . n n 2 1 n 2 2 n 2 nGiải:Ta thấy: 1 2 n 1 2 … n 1 …. 2 n 1 n 2 2 2 n n n2 n 2 1 2 n 1 2 n n n 1Vaø …. … n2 1 n2 2 n2 n n2 1 n2 1 n2 1 2 n2 1 1 1 2 n n n 1Vaäy …. 2 n2 1 n2 2 n2 n 2 n2 1 n n 1 1 Maø lim n 2 n2 1 2 1 2 n 1Vaäy lim …. n n2 1 n2 2 n2 n 2BÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau: n 1 1 3sin n 4cosn n sin na) lim b) lim c) lim n 2 3n n n+1 n 3n+4 n sin 2n cos2n 1 3n 2d ) lim e) lim n 3n+1 n cosn+5n 2 1 1 1f ) lim … n n 2 1 n 2 2 n2 nĐáp số: 1 3a) 0 b) 0 c) d )0 e) f )1 3 5Bài 2. Cho 2 dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu lim vn 0 vaø u vn với mọi nthì lim un 0Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 9

10. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133Hướng dẫn:lim vn 0 vn coù theå nhoû hôn moät soá döông beù tuøy yù, keå töø moät soá haïng naøo ñoùtrôû ñi. (1)Vì un vn vaø vn vn vôùi moïi n, neân un vn vôùi moïi n (2)Töø (1) vaø (2) suy ra un cuõng coù theå nhoû hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät soá haïngnaøo ñoù trôû ñi, nghóa laø lim un 0 Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: 1 ( 1)n 2 n( 1)na) un b) un c) un n! 2n 1 2n 2 11d ) un (0,99)n cos n e) un 5n cos nĐáp số:a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) DẠNG 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn: Phương pháp: 1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ: Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn. Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M. 3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1: Đặt lim un a n Từ lim un 1 lim f (un ) ta được một phương trình theo ẩn a. n n Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm. Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán./ Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 10

11. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133BÀI TẬP MẪU: u1 2Bài 1. Chứng minh dãy (un) bởi công thức truy hồi . un 1 2 un vôùi n 1Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó. Giải:Ta có: u1 2 vaø un 1 2 un , un 0 vôùi n N Ta chứng minh : un 2 vôùi n N (1) Vôùi n=1, ta coù u1 2 2 thì (1) ñuùng Giaû söû baát baát ñaúng thöùc ñuùng vôùi n=k thì uk 2. Vaäy un 2, n N Chứng minh dãy (un) tăng: Xeùt un 1 un 2 un un un un 2 0 2 1 un 2 Maø 0 un 2 neân un 1 un . Vaäy (u n ) laø daõy taêng (2) Töø (1) vaø (2) suy ra (un ) coù giôùi haïn. Đặt lim un a thì 0 a 2 n un 1 2 un lim un 1 lim 2 un n n a 2 a a2 a 2 0 a 1hoaëc a=2 Ta có: Vì un 0 neân lim un a 0.Vaäy lim un =2 n n Löu y: Trong lôøi giaûi treân, ta ñaõ aùp duïng tính chaát sau: ù ” Neáu lim un a thì lim un 1 a ” n n u1 2Bài 2. Cho dãy (un) bởi công thức truy hồi 1. un 1 2 unChứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải:Ta có : 1 2 3 4 nu1 ; u2 ; u3 ; u4 .Töø ñoù ta döï ñoaùn: un (1) 2 3 4 5 n 1Chöùng minh döï ñoaùn treân baèng quy naïp: 1 1 Vôùi n=1, ta coù: u1 (ñuùng) 1 1 2 k Giaû söû ñaúng thöùc (1) ñuùng vôùi n=k (k 1), nghóa laø uk . k 1Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 11

12. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 1 k 1Khi ñoù ta coù uk ,nghóa laø ñaúng thöùc (1) 1 2 uk k k 2 2 k 1cuõng ñuùng vôùi n=k+1. n Vaäy un , n * . n 1 nTöø ñoù ta coù lim u n lim 1 n 1BÀI TẬP ÁP DỤNG:Bài 1. Chứng minh dãy (un) với un 2 2 … 2 2 là dãy hội tụ. n daáu caênPhương pháp: Xét dãy (un) tăng (hoặc giảm), xét (un) bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới)Chú ý: Để tìm giới hạn của dãy cho bởi công thức truy hồi ta dùng các phương pháp. 1. Tìm công thức tổng quát ( dựa vào phương pháp đã được nêu ở phần kiến thức dãy số). Tính giới hạn un. 2. Tìm lim un 1 lim f un . Giải phương trình tìm lim un a Tìm giới hạn. n n n u1 0Bài 2. Cho dãy truy hồi un 1 3 . Tìm giới hạn của dãy. un (n 2) 4Hướng dẫn và đáp số:u1 0 1 3 1u2 1 4 4 2 15 1u2 1 16 4… n 1 1un 1 4 n 1 1baèng phöông phaùp quy naïp chöùng minh un 1 4 n 1 1Vaäy lim 1 1 n 4Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 12

13. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 u1 2Bài 3. Cho dãy truy hồi un 1 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn, tìm giới un (n 2) 2hạn đó.Hướng dẫn và đáp số:Cách 1: 2n 1 1Döï ñoaùn un 2n 1 2n 1 1lim un lim n 1n n 2 1Cách 2: Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. lim un a, tìm a n a 1 Giả sử lim un lim un 1 a a 1 n n 2 lim un 1 nBài 4. u1 2 a) Cho dãy truy hồi un 1 . Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm un 1 (n 1) 2 giới hạn đó. 0 un 1 b) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 . Chứng minh dãy (un) un 1 1 un (n 1) 4 có giới hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn và đáp số:b) * Chöùng minh (u n ) laø daõy taêng vaø bò chaën treânTa coù: 0 un 1, n NAÙp duïng baát ñaúng thöùc coái: 1un 1 1 un 2 un 1 1 un 2 1 un 1 un , n N * 4Vaäy (un ) laø daõy taêng vaø bò chaën treân thì (un ) thì daõy coù giôùi haïn* Ñaët lim un a, a 0 n 2 1 1 1 1 1Ta coù: un 1 1 un lim un 1 1 un a 1 a a 0 a 4 n 4 4 2 2 1Vaäy lim un n 2Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 13

14. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1 2Bài 5. Cho dãy (un) xác định bởi un 1 u vaø u1 0 2 n un a) Chứng minh rằng un 2 vôùi moïi n 2 b) Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn và đáp số: 1 2a) Ta coù: u1 0, un 1 u un 0, n N * 2 n unAÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si: 1 2 2un 1 u un . 2 , n 1, n 2 n un unSuy ra un 2, n 2, n Nb) Ta coù: u n 2, n 2, n N neân un laø daõy bò chaën döôùi 1 2 1 u2Xeùt un 1 un u un 1 n 0, n 2, n N neân un 1 un , n N * 2 n un un 2* Ñaët lim un a, a chúng tôi coù: n 1 2 1 2 1 2 a 2un 1 u lim un 1 lim u a a a2 2 2 n un n n 2 n un 2 a a 2Vaäy lim un 2 nBài 6. Chứng minh dãy (un) được cho bởi công thức un cos n. n * . Chứng minhdãy không có giới hạn.Hướng dẫn:Giaû söû lim un lim cos n a lim cos n 2 a lim cos n 2 cos n 0 n n n n 2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sin n 0 n n nmaët khaùc: sin n 1 sin ncos1 cos n sin1,Suy ra lim cos n 0 nSuy ra : lim cos2 n sin 2 n 0, voâ lyù nVaäy daõy soá (un ) vôùi un cos n khoâng coù giôùi haïn.Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ: 1 1 1a) n 1 … 2 ; n N 2 3 2 2 n 1 1 1b) n 1 2 … n ; n N 2 3 3 nHướng dẫn:a) Ta thấyTrần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 14

16. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 1134Đáp số: 33Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 2 1 1 1a) S 1 … n 1 … b) S … 4 16 4 2 1 2 2 2Hướng dẫn : 1 4 2 2a) q ;S b) q ;S 4 3 2 4 3 2Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S=3 và công bội n 1 2 2 4 2q . Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;… 3 3 9 3 1Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S=6. Tính hai số hạng đầu u1 u2 4 2Hướng dẫn: u1 S 6 u1 6 1 q 1 q 1 1 q 1 u1 1 q 4 2 u1 u1q 4 2 2 n 13Bài 5. Giải phương trình sau: 2 x 1 x 2 x3 x4 x 5 … 1 x n … với 6x 1 nHướng dẫn: Dãy số x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ,…, 1 x n … là một cấp số nhân với công bội 1 7q x . ĐS: x ;x 2 9Bài 6. 2 3 n 1 a) Tính tổng S 1 0,9 0,9 0,9 …. 0,9 … b) Cho 0 . Tính tổng S 1 tan tan 2 … tan3 4 c) Viết số thập phân vô hạn tiần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ a = 0,272727…… b = 0,999999999……….. d) Cho dãy bn sin sin 2 sin 3 … sin n với k . Tìm giới hạn 2 dãy bn.Hướng dẫn: 1 a) S 10 1 0,9 1 b) S 1 tan c)Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 16

17. www.VNMATH.comPhương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 2 7 2 7 a 0 … 10 102 103 10 4 2 2 2 7 7 … … …. 10 10 3 10 2n 1 102 10 4 1 1 3 2 10 7 10 1 1 11 1 1 10 2 10 2 9 1 b . 1 10 1 1 10 sin d) lim bn 1 sin n soá haïng a aa … aaa…aBài 9. Tính lim n 10 nHướng dẫn:Ta có: n soá haïng n soá haïng 10 1 100 1 10 n 1a aa … aaa..a a 1 11 … 111..1 a … 9 9 9 10 10 n 1 9n a 81 n soá haïng a aa … aaa..a 10a 10 n 1 9n 10aVaäy lim n 10n 81 10n 81Trần Đình Cư – Trường THPT Phong Điền 17

Một Số Bài Toán Về Dãy Số Và Cách Giải

– Gọi số hạng đầu tiên của dãy là a 1, số hạng cuối cùng của dãy là a n , khoảng cách giữa các số hạng của dãy là d, số các số hạng của dãy là n ; và tổng các số hạng là S

– Ta có các công thức tính như sau:

– Một số ví dụ :

Ví dụ 1: Viết tiếp 3 số hạng ở mỗi dãy số sau:

a. 1 ; 5 ; 9 ; 13 ….

b. 2 ; 6 ; 10 ; 14 ….

Giải: a. Khoảng cách giữa các số hạng của dãy là: 13 – 9 = 9 – 5 = 5 – 1 = 4.

– Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy là: 13 + 4 = 17 ; 17 + 4 = 21 ; 21 + 4 = 25.

b. Khoảng cách giữa các số hạng của dãy là: 14 – 10 = 10 – 6 = 6 – 2 = 4.

– Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy là: 14 + 4 = 18 ; 18 + 4 = 22 ; 22 + 4 = 26.

Ví dụ 2: a. Tính tổng của tất cả các số lẻ bé hơn 2008.

b. Tính tổng của các số tự nhiên có 3 chữ số mà mỗi số đều chia hết cho 4.

c. Tính tổng của 2008 số hạng đầu tiên của dãy các số có 5 chữ số mà mỗi số đều chia hết cho 7.

Giải: a. Các số lẻ bé hơn 2008 là một dãy số cách đều có khoảng cách là 2.

– Số bé nhất của dãy là: 1 ; số lớn nhất của dãy là: 2007.

– Số các số hạng của dãy là: (2007 – 1) : 2 + 1 = 1004 (số)

– Tổng các số hạng của dãy là: (1 + 2007) x 1004 : 2 = 1008016.

b. Các số tự nhiên có 3 chữ số mà mỗi số đều chia hết cho 4 là một dãy số cách đều có khoảng cách là 4.

– Số bé nhất của dãy là: 100 ; số lớn nhất của dãy là: 996.

– Số các số hạng của dãy là: (996 – 100) : 4 + 1 = 225 (số)

– Tổng các số hạng của dãy là: (100 + 996) x 225 : 2 = 246600.

c. Các số có 5 chữ số mà mỗi số đều chia hết cho 7 là một dãy số cách đều có khoảng cách là 7.

– Số bé nhất của dãy là: 10003 (Vì 10000 : 7 = 1428 dư 4) ;

– Số thứ 2008 của dãy là: 10003 + (2008 – 1) x 7 = 24052.

– Tổng các số hạng của dãy là: (10003 + 24052) x 2008 : 2 = 34191220.

Ví dụ 3: Tìm các số hạng của một dãy số cách đều gồm 2008 số hạng. Biết rằng tổng các số hạng của dãy là 2017036 và hiệu của số lớn nhất và số bé nhất của dãy là 2007.

Giải: Từ công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đề ta có thể tính tổng của số lớn nhất và số bé nhất của dãy như sau:

– Tổng của số lớn nhất và số bé nhất của dãy là: 2017036 x 2 : 2008 = 2009

– Số lớn nhất của dãy là: (2009 + 2007) : 2 = 2008

– Số bé nhất của dãy là: 2008 – 2007 = 1.

– Từ công thức tính số hạng cuối của dãy số cách đều ta có thể tính được khoảng cách giữa các số hạng của dãy như sau:

– Khoảng cách giữa các số hạng của dãy là: (2008 – 1) : (2008 – 1) = 1.

– Vậy dãy đó sẽ gồm các số như sau: 1, 2, 3, 4,….., 2007, 2008.

Ví dụ 4: Tính các tổng sau bằng cách hợp lí:

a. 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + ……. + 0,98 + 0,99 + 0,100.

b. 0,4 + 0,8 + 0,12 + 0,16 + ……. + 0,2008.

Giải: a. 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + ……. + 0,98 + 0,99 + 0,100

= (0,1 + 0,2 + … + 0,8 + 0,9) + (0,10 + 0,11 + … + 0,98 + 0,99) + 0,100.

– Ta chia dãy số trên thành 2 dãy và tính tổng như sau:

– Dãy: 0,1 + 0,2 + … + 0,8 + 0,9 có 9 số hạng và khoảng cách giữa các số hạng là: 0,1.

0,1 + 0,2 + … + 0,8 + 0,9 = (0,1 + 0,9) x 9 : 2 = 4,5.

– Dãy: 0,10 + 0,11 + … + 0,98 + 0,99 có 90 số hạng và khoảng cách giữa các số hạng là: 0,01.

0,10 + 0,11 + … + 0,98 + 0,99 = (0,10 + 0,99) x 90 : 2 = 49,05.

Vậy: 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + ……. + 0,98 + 0,99 + 0,100 = 4,5 + 49,5 + 0,100 = 53,65.

b. 0,4 + 0,8 + 0,12 + 0,16 + ……. + 0,2008.

= (0,4 + 0,8) + (0,12 + 0,16 + … + 0,92 + 0,96) + (0,100 + 0,104 + … + 0,992 + 0,996) + (0,1000 + 0,1004 + … + 0,2004 + 0,2008)

– Ta chia dãy trên thành 4 dãy và tính tổng như sau:

– 0,4 + 0,8 = 1,2.

– Dãy: 0,12 + 0,16 + … + 0,92 + 0,96 có khoảng cách giữa các số hạng là: 0,04.

Số các số hạng của dãy là: (0,96 – 0,12) : 0,04 + 1 = 22 (số)

0,12 + 0,16 + … + 0,92 + 0,96 = (0,12 + 0,96) x 22 : 2 = 11,88.

– Dãy: 0,100 + 0,104 + … + 0,992 + 0,996 có khoảng cách giữa các số hạng là: 0,004.

Số các số hạng của dãy là: (0,996 – 0,100) : 0,004 + 1 = 225 (số)

0,100 + 0,104 + … + 0,992 + 0,996 = (0,100 + 0,996) x 225 : 2 = 122,625.

– Dãy: 0,1000 + 0,1004 + … + 0,2008 có khoảng cách giữa các số hạng là: 0,0004.

Số các số hạng của dãy là: (0,2008 – 0,1000) : 0,0004 + 1 = 253 (số).

0,1000 + 0,1004 + … + 0,2008 = (0,1000 + 0,2008) x 253 : 2 = 761,021.

– Vậy: 0,4 + 0,8 + 0,12 + 0,16 + ……. + 0,2008

= 1,2 + 11,8 + 122,625 + 761,021 = 896,646

Phạm Thị Phương Anh (Trường TH Hùng Dũng – Hưng Hà – Thái Bình)

Chương Iv. §2. Giới Hạn Của Hàm Số

Gv: Khái quát các trường hợp của giới hạn hàm số tại một điểm : Bài toán:Tính TH1: Nếu xác định tại thì (Chỉ cần thếvào hàm số )TH2: Nếu thế vào mà được các dạng vô định ( nghĩa là không xác định tại ):1.Dạng : dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân liên hợp( nếu có chứa căn thức)2.Dạng (với thường gặp trong giới hạn một bên) : ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.Gv: yêu cầu học sinh lên bảng giải bài tập, các em còn lại giải bài tập ra nháp. Hướng dẫn giải bài tập: a) ta thấy hàm số xác định tại nên ta thay vào phương trình b) ta thấy nếu thay vào hàm số thì ta có cả tử và mẫu đều là bằng không (ta có dạng vô định ) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc haita sẽ tách theo công thức với và là nghiệm của phương trình c) ta thấy hàm số ở dạng mà có căn dưới mẫu nên ta dùng cách nhân liên hợp d) ta có hàm số giới hạn một bên, ta làm theo cách tính giới hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của , dấu của tử và mẫu để suy ra kết quả.Gv: gọi học sinh đứng lên nhận xétGv: chính xác hóa lời giải Hs: nghi nhận và ghi vào vở

Hs: lên bảng làm bài tập

Hs: nhận xét bài bạn

b)

vìnên Vậy

Hoạt động 2: Giới hạn hàm số tại vô cực Hướng dẫn HS giải bài toán : Tính : Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp :1.Rút mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng )2.Nhân liên hợp ( thường áp dụng cho dạng và có chứa căn thức)– Lưu ý các giới hạn đặc biệt để xét giới hạn trong bài tập.Gv:Yêu cầu HS nghiên cứu giải bài tập 2.Gv:Gọi HS lên bảng trình bày lời giải Gv:Gọi HS khác nhận xét bài làmGv: Nhận xét,sửa chữa lời giải của HS.Khái quát lại các giải của dạng giới hạn hàm số tại vô cựcxác hóa lời giải của học