Cập nhật nội dung chi tiết về Skkn Giải Bài Toán Cực Trị Số Phức Bằng Phương Phương Pháp Hình Học Giải Tích mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Trang I. Mở đầu ……………………………………………………………………………………… 2 1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………………….. 2 1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………. 2 1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………………… 3 1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………………………. 3 II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………………… 3 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………. 3 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 4 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề…………………………. 4 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………………… 4 III. Kết luận, kiến nghị………………………………………………………………….. 24 3.1. Kết luận……………………………………………………………………………… 24 3.2. Kiến nghị……………………………………………………………………………. 24 trở lên:………………………………………………………………………………………….. 25 I. Mở đầu 1.1. Lí do chọn đề tài. Tuy nhiên,trong thực tế giảng dạy,việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều lúng túng,vì vậy việc giải các bài toán về Số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học sinh. Bài toán Cực trị số phức thông thường thì có khá nhiều cách lựa chọn để giải như dùng Bất đẳng thức,dùng khảo sát hàm số,…Qua đề tài này,tôi muốn gợi ý cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt các phương pháp chuyển đổi từ bài toán Đại số sang Hình học cho học sinh,giúp các em có cái nhìn cụ thể hơn về việc chuyển đổi đó và vận dụng tư duy này cho những bài toán khác.Với mục tiêu đó,trong SKKN này,tôi chỉ tập trung giải quyết bài toán theo hướng Hình học.Không đặt nặng việc so sánh phương nào nhanh hơn,tối ưu hơn phương pháp nào. 1.2. Mục đích nghiên cứu. Trong số các bài các bài toán cơ bản là tính toán trên tập hợp số phức,tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước,tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức,thì học sinh trung bình có thể làm được,còn bài toán Cực trị số phức cần có tính tư duy,vận dụng thì học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán,không chú trọng đến bản chất của bài toán,một phần vì học sinh ngại bài toán khó,một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp,kỹ năng để giải quyết các bài toán Cực trị số phức một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này,với kinh nghiệm đã tích lũy và học hỏi được,tôi mạnh dạn chọn đề tài Giải bài toán Cực trị số phức bằng phương phương pháp hình học giải tích để giúp học sinh và giáo viên tham khảo nhằm đạt kết quả cao hơn trong học tập và giảng dạy 1.3. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài này sẽ nghiên cứu cách giải bài toán Cực trị số phức bằng phương phương pháp hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 1.4. Phương pháp nghiên cứu. +) Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết,chuyển đổi nội dung bài toán Đại số sang bài toán Hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy để giải quyết. +) Phương pháp thu thập thông tin,tìm kiếm các bài toán trong đề tài này trong các đề minh họa ,đề thi THPT quốc gia năm 2017,đề thi thử của các trường trong toàn quốc trên mạng internet. +) Phương pháp thống kê,xử lý số liệu: tự giải các bài này bằng phương pháp hình học giải tích,hoặc tìm kiếm lời giải bài toán này bằng phương pháp hình học giải tích trên các sách,báo,mạng internet. II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. • Các định nghĩa và kí hiệu a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng -1.Kí hiệu là i. Như vậy, i2 = -1. b) Số phức: Cho x, y là những số thực,biểu thức z = x+yi gọi là một (dạng đại số) số phức. x gọi là phần thực, y gọi là phần ảo. c) Với mỗi số phức z = x+yi, giá trị của biểu thức gọi là mô đun của z. Kí hiệu là .Như vậy . d) Với mỗi số phức z = x+yi, Số phức z’ = x – yi, gọi là số phức liên hợp của z.Kí hiệu , Như vậy, nếu thì . e) Với mỗi số phức z = x+yi, Xác định điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.Điểm M gọi là biểu diễn hình học của số phức z. Để cho tiện,trong SKKN này,tôi kí hiệu M(x;y) = M(z) hay đơn giản M(z) để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức . • Các phép toán trên tập hợp số phức Cho hai số phức , Phép cộng: Phép trừ: Phép nhân: Phép chia: với • Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc. Với M(z) thì Với thì Với ,trong đó là hai số phức khác nhau cho trước thì tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức là đường trung trực của đoạn AB. Với ,tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức R là đường tròn tâm M0, bán kính R. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. Bài toán Cực trị nói chung và bài toán Cực trị số phức số phức nói riêng là dạng toán tương đối khó,do vậy học sinh thấy khó khăn,ngại học,không chủ động,hứng thú làm bài, một mặt thì kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy các em học đã lâu (lớp 10),một mặt thì thời gian học trên lớp hạn chế,tập hợp số phức lại là loại tập hợp mới mà các em vừa được tiếp cận. Từ thực tế trên tôi thấy cần phải đưa ra phương pháp giải cho từng dạng Cực trị số phức nhằm tháo gỡ những khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững. 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. Bài toán Cực trị số phức có các cách giải khác, đánh giá theo Bất đẳng thức,Khảo sát hàm số,đặc biệt là bài thi trắc nghiệm có thể dùng máy tính cầm tay để khảo sát giá trị,từ đó tìm ra đáp án đúng,… Trong SKKN này,tôi chia bài toán cực trị số phức thành tám dạng,có phân tích,nhận xét về vai trò,tác dụng,hiệu quả của từng dạng,từ đó các em có cách nhận biết để tiến hành lời giải hoặc tìm ra kết quả đúng. 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. SKKN giải bài toán Cực trị số phức bằng phương pháp hình học giúp học sinh cũng cố kiến thức về Hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có tư duy linh hoạt,nhìn nhận bài toán Đại số dưới con mắt Hình học để thấy được ý nghĩa hình học của bài toán. Từ bài toán Hình học trực quan này giúp học sinh dễ dàng tìm ra lời giải,đặc biệt có thể vẽ hình biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy để suy ra đáp án đúng trong bài thi trắc nghiệm khách quan, học sinh thấy hứng thú,tự tin hơn khi giải bài toán loại này. Từ kinh nghiệm này giúp học sinh học tốt bộ môn Toán trong chương trình THPT,từ đó nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường. CÁC BÀI TOÁN BÀI TOÁN 1: Cho số phức và tập hợp các số phức z thỏa mãn hệ thức: . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của . b) Tìm z để nhỏ nhất. Nhận xét: Gọi thì A(z1) B(z2) M Mo H Δ Từ đẳng thức ,Suy ra, M thuộc đường trung trực của đoạn AB. Bài toán chuyển thành: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với b) Tìm sao cho nhỏ nhất. Ta thấy,với mọi điểm thì , trong đó H là hình chiếu của lên Do đó, min khi M là hình chiếu của lên Lời giải Từ hệ thức , suy ra phương trình đường thẳng Với câu a),ta tính khoảng cách , và kết luận Với câu b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua ,vuông góc với Giải hệ gồm hai phương trình: và d suy ra nghiệm Kết luận,số phức cần tìm là . Đặc biệt: tức là tìm số phức z sao cho mô đun của z là nhỏ nhất. Ví dụ 1.1 Trong tất cả các số thức z thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của mô đun của z. A. B. C. D. Lời giải Đặt và Ta có hay Khoảng cách từ O đến là x y Δ M I(-1;1) (-3;4) (1;-2) O Vậy, . Chọn đáp án A Ví dụ 1.2 Trong tất cả các số thức z thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của A. B. C. D. Lời giải Đặt và Ta có hay y x M d Mo(-2;-1) (3;5) (1;-3) Δ O ,ở đây Chọn đáp án C. Ví dụ 1.3 Trong tất cả các số thức thỏa mãn .Biết rằng nhỏ nhất.Tính A. B. C. D. Lời giải Đặt M=M(z) .Từ hệ thức ,ta được y B(0;1) Mo(-1;1) x Δ O d H I(1;-2) A(2;-5) Đặt thì . Gọi d là đường thẳng đi qua và vuông góc với thì hay Xét hệ phương trình: Suy ra hình chiếu của lên là Vậy nhỏ nhất khi . Chọn đáp án A BÀI TOÁN 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức .Trong đó cho trước. a) Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của ,trong đó là số phức cho trước. b) Tìm số phức z để đạt giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) Nhận xét: Đặt M=M(z) , thì Từ đẳng thức ,suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I,bán kính R Bài toán chuyển thành: a) Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của AM với M A(z1) M1 I(z0) R M2 b) Tìm sao cho AM lớn nhất (hay nhỏ nhất) Gọi là giao điểm của đường thẳng AI và (C) thì với mọi điểm ta luôn có Do đó: ; Lời giải a) ; b) Tìm z Từ hệ thức suy ra phương trình đường tròn (C) Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm Giải hệ gồm phương trình của (C) và d, suy ra các nghiệm Thử lại để chọn bộ thích hợp từ hai bộ trên. Ví dụ 2.1 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức .Tìm A. 1 B. 3 C. D. Lời giải Đặt và . x A(1;1) O M(1;0) y I(1;-3) . Từ hệ thức ,suy ra M thuộc đường tròn tâm I,bán kính R=3. Vậy, Chọn đáp án A. Ví dụ 2.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức .Tìm giá trị lớn nhất của . A. 2 B. 1 C. D. Lời giải Ta có với z thỏa mãn hệ thức ,suy ra M thuộc đường tròn tâm I,bán kính R=1.Vậy, . Chọn đáp án A. y M1 M O I x Ví dụ 2.3 Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức .Biết rằng đạt giá trị nhỏ nhất.Tính A. B. C. D. Lời giải Ta có y I(1;-2) M A(-3;1) x Đường thẳng O Xét hệ Với thì Với thì Vậy . Chọn đáp án A. Ví dụ 2.4 Cho số phức thỏa mãn hệ thức .Biết rằng đạt giá trị lớn nhất.Tìm phấn ảo của z. A. 3 B. -1 C. 1 D. -3 Lời giải Đặt .Từ hệ thức Đường thẳng d qua và tâm của (C) có phương trình x = 0 Giao của d và (C) là nghiệm của hệ y x (C) I(0;1) O M’(-1;0) M(0;3) Với thì Với thì Vậy, lớn nhất khi . Chọn đáp án A. BÀI TOÁN 3: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức ,với là các số phức. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của , với là các số phức cho trước. b) Tìm số phức z để nhỏ nhất. Nhận xét: – Đặt thì . – Từ hệ thức . Suy ra, M thuộc đường thẳng . ∆ A’ M M0 z1 z2 B A A M M0 z1 z2 B ∆ Dẫn đến bài toán: Tìm sao cho nhỏ nhất A, B khác phía so với A, B cùng phía so với Ta thấy rằng, + Nếu A, B nằm về hai phía so với thì với mọi điểm Vậy nhỏ nhất là khi và chỉ khi thẳng hàng hay . Nếu A, B nằm về cùng một phía so với ∆ thì gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ∆. Khi đó, với mọi điểm . Vậy, nhỏ nhất là khi và chỉ khi A’, M, B thẳng hàng hay . Lời giải – Từ hệ thức . Suy ra phương trình đường thẳng . – Thay tọa độ các điểm vào phương trình để kiểm tra xem A, B nằm cùng phía hay khác phía so với . – Nếu A, B khác phía với thì + min + Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B. Giải hệ gồm phương trình và phương trình d. Nghiệm (x;y) suy ra số phức cần tìm. + Nếu A, B khác phía so với thì viết phương trình đường thẳng a qua A và vuông góc với . Giải hệ phương trình gồm phương trình của và phương trình của a suy ra nghiệm là tọa độ điểm I là trung điểm của AA’. Từ tọa độ của A, I và công thức tính tọa độ trung điểm suy ra tọa độ A’. + min với A’ = A’(z3’). + Để tìm z thì ta viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A’, B. Giải hệ gồm phương trình ∆ và phương trình d. Nghiệm (x;y) suy ra số phức cần tìm. Ví dụ 3.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. B. C. D. Lời giải: Đặt . Từ hệ thức , suy ra, 1 B M0 A’ A y -2 -1 x ∆ 2 3 O Đặt . Thay A vào phương trình , ta được: . Thay B vào phương trình , ta được: . Vậy A, B nằm cùng phía so với . Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với thì hay . Gọi thì tọa độ của I là nghiệm x,y của hệ: . Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua thì I là trung điểm của AA’ nên Suy ra, min. Chọn đáp án B. Nhận xét: Nếu ta biểu diễn bài toán trên giấy có ô thì ta cũng có thể chọn đáp án phù hợp với 1 trong 4 đáp án đưa ra. Đáp án A: ; B: ; C: ; D: Ví dụ 3.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm phần thực của số phức z biết đạt giá trị nhỏ nhất. A. B. C. D. Lời giải M 1 y x (0;2) (0;-4) M(0,75;0,50) A(1;2) Đặt . Từ hệ thức , ta được: . Đặt , thì A, B khác phía so với . ∆ Đường thẳng . Tọa độ giao điểm của AB và là nghiệm của hệ . Vậy, phần thực của số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là Chọn đáp án D. Ví dụ 3.3 ( Câu 46 – Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Xét các số phức Thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất. A. B. C. D. Lời giải 1 A(-1;3) I(1;0) O B(1;-1) M H(2;2) I(4;3) K(6;4) Đặt . Từ hệ thức , ta được . Đặt , I là trung điểm của AB thì . Đường thẳng qua I, vuông góc với AB có phương trình: Xét hệ phương trình, . Ta được, . Tức là . Chọn K (như đã nói trên). Vậy . Chọn đáp án A. BÀI TOÁN 4: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức . b) Tìm số phức z để đạt giá trị nhỏ nhất. Ở đây, là các số phức cho trước. Nhận xét: – Đặt thì . – Từ hệ thức . Suy ra M thuộc đường thẳng . Dẫn đến bài toán, tìm M sao cho nhỏ nhất z2 z1 I B A M M0 ∆ – Gọi I là trung điểm AB. Khi đó, với mọi điểm M, ta có Suy ra, . Do A, B, cố định nên AB không đổi, do đó nhỏ nhất MI nhỏ nhất , trong đó là hình chiếu của I trên đường thẳng ,và giá trị nhỏ nhất của làm Lời giải – Từ . Suy ra được phương trình đường thẳng . – Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB. + Với câu a): Tính khoảng cách từ I đến , và độ dài đoạn thẳng AB. Kết luận: min. + Với câu b): Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với . Nghiệm x,y của hệ hai phương trình , d là phần thực và phần ảo của z Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. B. C. D. 8 Lời giải Đặt . Từ . Ta được, . Đặt và gọi I là trung điểm AB thì I(1;0). Khoảng cách từ I đến ∆ là d(I,∆) . min. Chọn đáp án A. y I(1;0) M M: (-0,53;0,38) (-3;-1) (1;-2) B(2;1) A(0;-1) O x Ví dụ 4.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm số phức z sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. A. B. C. D. Lời giải Đặt . Từ hệ thức . Ta được, . x H(2;0) y ∆ (1;3) B(3;1) I(1;1) A(-1;1) O (5;-1) Đặt . Gọi I là trung điểm AB thì I(1;1). Đường thẳng I, vuông góc với có phương trình: hay . Xét hệ phương trình: . Vậy, số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là . Chọn đáp án B. Ví dụ 4.3 Cho số phức z thỏa mãn . Biết rằng, số phức thỏa mãn đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức là A. -16 B. -4 C. -1 D. 0 Lời giải O x A(2;8) B(6;6) (-7;5) M(0;4) (1;11) I(4;7) y ∆ Đặt . Từ hệ thức . Ta được . Đặt I là trung điểm AB thì I(4;7). Đường thẳng d qua I và vuông góc với ∆ có phương trình: . Xét hệ phương trình: . Vậy, . Chọn đáp án A. BÀI TOÁN 5: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . b) Tìm số phức z để đạt giá trị lớn nhất. Nhận xét: – Đặt thì . – Từ . Suy ra, M thuộc đường thẳng . Dẫn đến bài toán: Tìm trên đường thẳng cho trước điểm M sao cho lớn nhất. Tính giá trị đó. B M A z1 z2 M0 ∆ B z1 M A’ M0 A z2 ∆ H A, B cùng phía so với A, B khác phía so với – Với A, B cố định + Nếu A,B cùng phía so với thì với mọi điểm M, ta luôn có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, A, B thẳng hàng hay . + Với: A, B khác phía so với , gọi A’ là điểm đối xứng với A qua thì với mọi điểm M, ta luôn có . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M, A’, B thẳng hàng hay . Lời giải: – Từ hệ thức . Suy ra phương trình đường thẳng . – Thay lần lượt tọa độ điểm A, B vào phương trình để kiểm tra xem A, B cùng phía hay khác phía so với . + Nếu A, B cùng phía với . Với câu a): thì giá trị lớn nhất của là AB. Với câu b): viết phương trình đường thẳng AB. Giải hệ gồm phương trình đường thẳng và AB ta được nghiệm x,y là phần thực và phần ảo của z. + Nếu A, B khác phía với – Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với . Giải hệ phương trình gồm phương trình của và d, ta được nghiệm (x;y) là tọa độ điểm H. – Lấy điểm A’ sao cho H là trung điểm cua AA’. Với câu a): thì giá trị lơn nhất của là A’B. Với câu b): viết phương trình đường thẳng A’B. Giải hệ gồm phương trình đường thẳng và A’B ta được nghiệm x;y là phần thực và ảo của z. Ví dụ 5.1 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A. B. C. C. Lời giải Đặt . Từ hệ thức , ta được: . Thế tọa độ điểm A vào phương trình , ta được: . Thế tọa độ điểm B vào phương trình , ta được: . Vậy A, B cùng phía với . x y (-1;7) (-5;1) ∆ B(2;4) A(4;1) M(7;-2) Theo phần lý thuyết ở trên, ta được: Giá trị lớn nhất của P là . Chọn đáp án A. Ví dụ 5.2 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức . Biết rằng, số phức thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất. Giá trị biểu thức bằng: A. 0 B. 4 C. 8 D. -2 Lời giải Đặt d y x ∆ B(2;6) A’(1;3) A(3;1) (1;0) (0;1) Từ hệ thức , ta được: . Thế tọa độ điểm A vào phương trình , ta được: . Thế tọa độ điểm B vào phương trình , ta được: . Vậy A, B khác phía so với . Theo phần lý thuyết ở trên. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng thì ta được . Đường thẳng hay . Giao điểm của và A’B là nghiệm của hệ Vậy, số phức z thỏa mãn lớn nhất là nên .
Skkn Phương Pháp Giải Các Bài Toán Về Viết Phương Trình Mặt Cầu,
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦUA. ĐẶT VẤN ĐỀ:Các bài toán về phương pháp toạ độ trong không gian từ trước đến nay bao giờ cũngcó trong các đề thi TN, ĐH-CĐ. Nếu học sinh nắm chắc phương pháp toạ độ học sinh có thểgiải được nhiều bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. Trong đời sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều những đồ vật có dạng hình cầu như:Quả bóng, quả địa cầu nhưng rất ít người biết về các tính chất của mặt cầu. Học sinh đượchọc về mặt cầu và phương trình mặt cầu trong Chương trình, SGK HH 12. Trong phần“Phương pháp toạ độ trong không gian” trong SGK HH12 có ba đối tượng được nghiên cứuđó là: Đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Khi dạy học sinh về phương trình mặt cầu tôinhận thấy rằng học sinh không khó tiếp thu các kiến thức về mặt cầu nhưng việc vận dụngvào giải bài tập về phương trình mặt cầu còn nhiều học sinh không làm được, không nắmđược các dạng toán về phương trình mặt cầu và một số ứng dụng của phương trình mặt cầutrong giải một số bài toán đại số.Trong bài viết này tôi trình bày về phương pháp giải các bài toán về: Viết phươngtrình mặt cầu, các bài toán về tiếp tuyến, tiếp diện, đường tròn trong không gian và một sốứng dụng trong bài toán đại số cần luyện tập cho học để học sinh có thể giải tốt được các bàitoán trên khi gặp trong các kì thi.B. NỘI DUNG:I. Các kiến thức cơ bản:1. Phương trình mặt cầu:
Cách giải: ( ): Ax + By +Cz +D=0P. Có: ( )( ),d I P R= ⇔2 2 2Aa +Bb +Cc+DARB C= ⇒+ + tìm được D suy ra phương trình mp(P).Chú ý:Trong bài toán cho biết véc tơ pháp tuyến dưới dạng:– Biết ( )P song song với một mặt phẳng hoặc song song với 2 đường thẳng cho trước.– Biết vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.Bài toán 3:Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng (d) cho trước.Cách giải: – Xét đường thẳng (d) dưới dạng phương trình tổng quát;– Viết phương trình chùm mặt phẳng đi qua (d); – 4 –– Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm ra mp(P).Bài toán 4:Lập phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) đi qua điểm C và:1) Song song với đường thẳng (d) cho trước.2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước.Cách giải:1) Gọi: ( ) ( ) ( ) ( ); ;Q d C a P Q a= = ∩ ⇒ đi qua A và song song với d nên có pt xác địnhBài toán trở thành viết phương trình mp(P) đi qua a và tiếp xúc với mặt cầu (S)2) Tương tự như trên với: d đi qua A và vuông góc với mp(Q).Dạng 4: Đường tròn trong không gianBài toán 1:Xác định tâm, tính bán kính đường tròn là giao của mặt phẳng với mặt cầu cho trước: Cách giải:Sử dụng tính chất ở phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường trònBài toán 2:Tìm tâm và bán kính của đường tròn là giao của 2 mặt cầu (S), (S’) có tâm lần lượt làI, I’; bán kính R, R’.Cách giải:– Đưa pt đường tròn là giao của 2 mặt cầu về pt đường tròn là giao của mặt cầu (S)với một mặt phẳng (Q).– Tâm của đường tròn là( )‘ ;O II Q= ∩bán kính( )( )2 2;r R d I P= −.Bài toán 3:Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn sau kẻ từ A cho trước:
( ) ( ) ( )( )2 2 21Ax + By +Cz + D= 0x a y b z c R− + − + − =Cách giải:Gọi B là tiếp điểm. Để ý rằng B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1).Lại có: tiếp tuyến AB của đường tròn đồng thời là tiếp tuyến của mặt cầu tâm O nên:( ). 0 2AB OB AB OB⇒ ⊥ ⇒ =uuur uuur uuur uuur
a) CMR: M nằm ngoài (C). Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C).b) Từ M kẻ các tiếp tuyến tới mặt cầu (S). Tìm tập hợp các tiếp điểm.Bài 4:Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )2 2 22 3 3 5x y z− + + + + = và mp(P): x – 2y + 2z + 1 = 0a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn. Lập phương trình đường tròn (C) làgiao tuyến và tìm tâm, tính bán kính của đường tròn đó.b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tâm nằm trên mặt phẳng (Q): x+y+z+3=0Bài 5:Cho 2 mặt cầu: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21: 2 3 3 5S x y z− + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22: 3 5 1 20S x y z− + + + + =a) CMR: Hai m/c cắt nhau, lập phương trình đường tròn giao tuyến của 2 m/c.b) Tìm tâm và bán kính của đường tròn. – 7 –Bài 6:Cho mặt cầu (S): ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 9x y z+ + − + − = và mp(P): x – 4y – 3z + 5 = 0. Lập phương trình tiếp diện của (S) đi qua A(0; 1; 0) và vuông góc với mp(P). Bài 7: Giải hệ phương trình: 2 2 22 4 6 03 2 2 8 03 3 4 12 0x y z x y zx y zx y z+ + − − − =+ − − =+ − − =ĐÁP SỐ – HƯỚNG DẪN:Bài 1:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 2;3;0 , 13 1365: 0;1; 1 ; 3 2;1;2 , , 3, ,4S I R m md A vtcp a d I d IM IH d I d m− = − ≥− = = = + ⇒ = −rBài 2:a) Bán kính đường tròn r = 4, ( )( ), 3 5d I P R= ⇒ =( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 25x y z⇒ − + − + + =b) ( )( ), 5d I R∆ = = ⇒đpcmc) 2x – 11y + 10z – 35 = 0.Bài 3:a) Gọi tiếp điểm là H(x; y; z). Vì H thuộc (C) nên: ( ) ( ) ( )2 222 1 9x + y +z = 2x y z S+ + + − = (1)Lại có: ( ). 0 2 2 2IH MH IH MH x y z⇒ ⊥ ⇒ = ⇔ + + = =uuur uuuur uuur uuuurTừ (1) và (2) có: ( )1 26 4 162;0;0 ; ; ;7 7 7H H − ⇒ ÷ pttt.b) Gọi T là 1 tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1)Lại có: 2 22 2MT R MI= + = nên T thuộc m/c (S’) tâm M, bán kính2 2 có pt:( )22 22 8x y z+ − + = (2)Từ (1) và (2) tập hợp T là giao của 2 m/c (S), (S’) nên là mp có phương trình( )22 22 82 0x y zy z+ − + =− =Bài 4:a) Đường tròn tâm 5 7 11; ; ; 23 3 3H r− − = ÷ b) Tâm J của m/c nằm trên đường thẳng IH( ) ( )3; 5; 1J IH Q J⇒ = ∩ ⇒ − −( )( ), 4l d J P= = ⇒bán kính m/c: 2 2 2‘ 20R r l= + =Bài 5:a) 2 1 1 2 2 1R R I I R R− < < + ⇒ĐPCM. Pt: ( ) ( ) ( )( )2 2 22 3 3 52 2 1 0x y zx y zα− + + + + =− + + =b) Tâm ( )1 2O I Iα= ∩ ⇒5 7 11; ; ; 23 3 3H r− − = ÷ Bài 6: Lập pt đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P): 4 1 03 0x yx z+ − =− = – 8 –Bài toán trở thành lập pt mp đi qua d, tiếp xúc với (S).Bài 7: Nghiệm của hệ là tọa độ điểm chung của:Mặt cầu (S):2 2 22 4 6 0x y z x y z+ + − − − = và đường thẳng ∆:3 2 2 8 03 3 4 12 0x y zx y z+ − − =+ − − =∆ qua M(0; 4; 0) và có VTCP ur = (-2; 6; 3)⇒ ∆ có phương trình tham số: ( )24 63x ty t t Rz t=−= + ∈=Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung của (S) và ∆ là nghiệm của phương trình:( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 4 6 3 2 2 4 4 6 6.3 0t t t t t t− + + + − − − + − = ⇔ 01049tt==−⇒ ∆ và (S) có hai điểm chung ( )0;4;0A và 20 136 30; ;49 49 49A − ÷ Vậy hệ (3) có hai nghiệm ( )0;4;0 và 20 136 30; ;49 49 49 − ÷ C. ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY:Phương pháp trên đã được tôi khai thác và triển khai để dạy học sinh các lớp ôn thiTN, ĐH-CĐ và bước đầu đã đạt được những kết quả tốt. Các học sinh sau khi được học đãvận dụng và giải được các bài toán về phương trình mặt cầu, nhận dạng ngay được cách giải,đảm bảo yêu cầu chính xác, tiết kiệm thời gian tìm lời giải khi đi thi.Đối tượng thực nghiệm năm học này là lớp 12A2 và 12A9: Đối với lớp 12A2 tôi đãdạy kĩ, đầy đủ các dạng trên và cho học sinh tìm tòi, khai thác các câu hỏi khác nhau xoayquanh các bài toán trên. Đối với lớp 12A9 đối tượng học sinh yếu hơn, tôi cho học sinh làmcác bài toán cơ bản và phân tích cặn kẽ lời giải để học sinh hiểu được, làm theo và dần dầnbiết độc lập tìm tòi lời giải một bài toán.Khi dạy trước hết tôi đưa ra các bài toán để học sinh tìm lời giải, sau đó tổng hợp cáchlàm và các dạng để học sinh nắm được phương pháp, có cái nhìn tổng quát hơn khi giải toán.Khi dạy tránh trình bày các dạng và phương pháp giải trước sau đó đưa bài tập cho học sinhlàm, khi đó hầu như bài toán chỉ còn là thay số, dần làm cho học sinh lười suy nghĩ và thụđộng khi làm toán.D. MỘT SỐ KIẾN NGHỊ:Theo tôi việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải được tiến hành thường xuyên,liên tục, trước hết là việc tự bồi dưỡng và được thể hiện bởi kết quả giảng dạy và các tài liệuthu thập được. Vì vậy nhà trường, các tổ, nhóm chuyên môn nên phân công cụ thể lần lượttừng người viết các báo cáo, sáng kiến kinh nghiệm hoặc một phần nào đó tuỳ theo sở trườngvà được trình bày hàng tháng, hàng quí hoặc sau một kì mà không nhất thiết để cuối nămhọc. Các báo cáo được photo cho từng người trong tổ, nhóm để đọc, bổ sung, trình bày trước – 9 –tổ và sửa chữa, hoàn thiện làm tài liệu giảng dạy chung khi cần. Các tài liệu có chất lượngđược hỗ trợ kinh phí hoặc thưởng và là căn cứ đánh giá thi đua của người viết. Nếu làm đượcnhư vậy vừa mang tính động viên, khích lệ, vừa mang tính ràng buộc việc tự học và là cơ hộitốt để giáo viên học hỏi lẫn nhau, đặc biệt giúp cho các giáo viên trẻ có thể học hỏi đượcnhiều kinh nghiệm của các thầy cô đi trước, vừa có tài liệu tốt để giảng dạy.Các báo cáo mang tính đặc thù bộ môn nên trình bày trong tổ, nhóm; các báo cáo về phương pháp có thể trình bày trước cả hội đồng GD nhà trường.E. TÀI LIỆU THAM KHẢO:1. Sách giáo khoa, sách bài tập HH12 (Chuẩn và NC)2. Đề thi ĐH của các năm và Bộ đề năm 1996.3. Tài liệu khai thác trên mạng. – 10 – – 11 –
Giải Phương Trình Bậc 2 Số Phức
Giải phương trình bậc 2 số phức
A. Phương pháp giải & Ví dụ
– Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).
Xét Δ = b 2 – 4ac, ta có
+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = .
+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:
+ Chú ý.
Mọi phương trình bậc n: luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x 1;x 2 (thực hoặc phức).
– Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực
Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.
+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.
– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:
Ví dụ minh họa
– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:
– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.
– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).
– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.
– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.
Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z 2 – z + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0
Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là
Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 + √5 = 0 là:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án B
Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 3 – 8 = 0 là :
Hướng dẫn:
Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4:Trong C , phương trình z 2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:
Hướng dẫn:
Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :
Phương trình có hai nghiệm phức là:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Cho z = 1 – i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z 2 + i)(z 2– 2iz – 1) = 0 có nghiệm là:
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
Ví dụ 7:Trong C , phương trình có nghiệm là:
(1 ± √3)i B. (5 ± √2)i C. (1 ± √2)i D.(2 ± √(5)i)
Hướng dẫn:
Chọn đáp án A.
B. Bài tập vận dụng
Câu 1:Trong C, phương trình 2x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : A Giải thích :Câu 2:Trong C , phương trình z 2 – z + 1 = 0 có nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : D Giải thích :Δ = b 2 – 4ac = -3 < 0
Câu 3:Trong C , nghiệm của phương trình z 2 = -5 + 12i là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : A Giải thích :Do đó phương trình có hai nghiệm là
Câu 4: Trong C , phương trình z 4-6z 2 + 25 = 0 có nghiệm là:
Hiển thị đáp án
Đáp án : D Giải thích :Hiển thị đáp án
Đáp án : D Giải thích :Câu 6: Phương trình z 2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:
A. 0 B. C. 3 D. -1
A. 5 B. 6 C. 4 D. 7
Hiển thị đáp án
Đáp án : B Giải thích :Theo Viet, ta có:
A.-7 B. – 8 C.-4 D. 8
Hiển thị đáp án
Đáp án : D Giải thích :Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 2 – 6z + 13 = 0. Tính
A. √17 và 4 B. √17 và 5 C. √17 và 3 D. √17 và 2
Hiển thị đáp án
Đáp án : B Giải thích :A.5 B.√13 C. 2√13 D. √20
Hiển thị đáp án
Đáp án : D Giải thích :Theo Viet, ta có:
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
Hiển thị đáp án
Đáp án : C Giải thích :Ta có:
Câu 12: Cho phương trình z 2 + mz – 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:
A. 0 B. 1 C. -2 D. -1
Hiển thị đáp án
Đáp án : D Giải thích :Theo Viet, ta có:
Câu 13:Gọi z 1;z 2;z 3;z 4 là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là :
Hiển thị đáp án
Đáp án : B Giải thích :Với mọi , ta có:
Chuyên đề Toán 12: Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
Đề Tài Một Số Phương Pháp Giải Bài Toán Tìm Số Phức Có Môđun Lớn Nhất, Nhỏ Nhất
Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, và thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế. Bên cạnh đó các bài toán về số phức trong những năm gần đây không thể thiếu trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và Đại học, Cao đẳng. Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,. thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,. để từ đó giải quyết được bài toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước”. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài toán tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất” để viết sáng kiến kinh nghiệm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. Người thực hiện: Nguyễn Lạnh Đông Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2013 BỐ CỤC ĐỀ TÀI A. Đặt vấn đề I. Lời nói đầu. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu. B. Giải quyết vấn đề I. Kiến thức cơ bản về số phức. II.Một số kiến thức áp dụng. 1. Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực 2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai. 3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên. 4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn. 5. Tính chất của hàm số lượng giác. III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp. 1.Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0. 2.Phương trình đường tròn: . 3.Phương trình đường Elíp: . IV. Các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (5 cách giải) Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng(4cách giải) Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp (3 cách giải) A.ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI NÓI ĐẦU Số phức được đưa vào giảng dạy ở bậc phổ thông của nhiều nước trên thế giới, nhưng lại là nội dung mới với học sinh trung học phổ thông ở Việt Nam, và thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế. Bên cạnh đó các bài toán về số phức trong những năm gần đây không thể thiếu trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và Đại học, Cao đẳng. Đặc biệt việc giải bài toán "Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức" không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,... thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết được bài toán "Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước". Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài "Một số phương pháp giải bài toán tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất" để viết sáng kiến kinh nghiệm. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1. Thực trạng: Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung học phổ thông hiện nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa còn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp không ít những khó khăn. Bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z và bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ mật thiết vơi nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi nhận thấy vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol,...Nhiều học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhât. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng, đường tròn, Elíp, ...để tù đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng: Kết quả bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thông thường là: đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hypebol, đường Parabol,.. nên khi giảng dạy cho học sinh bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất nếu giáo viên biết khai thác kết hợp với kiến thức về bất đẳng thưc, đạo hàm, lượng giác, hình học giải tich trong mặt phẳng,..thì sẽ tạo ra được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. Cụ thể trong đề tài này tôi đã hướng dẫn học sinh tư duy giải quyết bài toán trên theo nhiều cách giải khác nhau: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn sẽ có 5 cách giải; tập hợp các điểm biểu diễn z là đường thẳng có 4 cách giải; tập hợp các điểm bểu diễn số phức z là Elíp có 3 cách giải. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Kiến thức cơ bản về số phức: 1. Một số phức là một biểu thức có dạng , trong đó x, y là các số thực và số i thoả mãn . Ký hiệu số phức đó là z và viết . i được gọi là đơn vị ảo x được gọi là phần thực. y được gọi là phần ảo của số phức z = x +yi Tập hợp các số phức ký hiệu là C. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = x + yi và z' = x' + y'i. z = z' Û 3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i. Ta định nghĩa: 5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i. Ta định nghĩa: 6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức = a - bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy = = a - bi *) Tính chất của số phức liên hợp: (1): (2): (3): (4): z.= (z = a + bi ) 7. Môđun của số phức. Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau: - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì = = - Nếu z = a + bi, thì = = 8. Phép chia số phức khác 0. Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số z-1= Thương của phép chia số phức z' cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. II.Một số kiến thức áp dụng. 1. Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực Với 4 số thực a, b, c, d ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc 2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai 3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên 4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn. 5. Tính chất của hàm số lượng giác III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp. Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0. Phương trình đường tròn: . Phương trình đường Elíp: . IV. Các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm số phức z có môđun lớn nhất (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước. Phương pháp chung: Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện. Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M sao cho khoảng cách OM có giá trị lớn nhất (hoạc nhỏ nhất). Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5 cách giải) Ví dụ 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiên sau .Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất. 1. 2. 3. 4. Lời giải Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó: Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4), bán kính Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: (3) Từ (2), (3) ta suy ra: .Vậy: Cách giải 2: (định lý về dấu của tam thức bậc 2) Đặt . Do Ta có , Suy ra Vậy Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa) Đặt Tacó : Do Vậy Cách giải 4. (Phương pháp hình học) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z. khi đó Ta có phương trình đường thẳng OI là:. Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình: Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì Hay Vậy: Cách giải 5. (phương pháp hình học) Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ. Ta có M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất Ta có Kẻ theo định lý ta lét ta có: y 4 I A A K B x M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất. H O Kẻ , theo định lý ta lét ta có: Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên Đáp số: 2. 3. 4. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng ( 4 cách giải) Ví dụ2: Tìm z sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều kiện sau: 1. là số thực. 2. là số thực. 3. 4. Lời giải Cách giải 1: Giả sử Ta có . tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là dường thẳng (d): . Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z thì Ta được M(-2;2). Cách giải 2. Ta có . Vậy Cách giải 3. Xét hàm số Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z = x+yi. . Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên Đáp số: 2.. 3. 4. Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp (3 cách giải) Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện: 1.. 2. 3. Lời giải Trong mặt phẳng Oxy .Giả sử các điểm M, lần lượt biểu số phức z, -1, 1. Suy ra: biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ;biểu diễn số phức z-1.Với nằm trên trục thực Ox -Khi đó điều kiện: và Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: Tìm z sao cho Cách giải 1: Ta có Do Vậy : Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z Khi đó: Từ đó ta được Vậy: Cách giải 3: Đặt , Ta có: Do . Vậy: Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên Đáp số: V. Kiểm chứng- so sánh. Năm học 2011 -2012 , khi ôn luyện thi Đại học chuyên đề bài tập tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức, số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất, tôi có chia lớp thành 2 nhóm , 1 nhóm thực nghiệm , 1 nhóm đối chứng cho đề tài của mình với 3 dạng bài tập ,tôi đã thu được kết quả sau : Dạng 1(%) Dạng 2(%) Dạng 3(%) G K TB <TB G K TB <TB G K TB <TB Lớp đối chứng 12 25 47 16 30 10 33 27 8 16 12 36 lớp thực nghiệm 20 31 40 9 60 21 16 3 40 33 16 11 C. KẾT LUẬN 1.Kết quả thực hiện. Qua 3 năm liên tục giảng dạy chương trình toán học 12 (2009 - 2010) , (2010 -2011) , (2011 - 2012), luyện thi Đại học cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi tại trường THPT Dương Đình Nghệ, khả năng tiếp thu và vận dụng các phương pháp trên để giải các bài tập tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất đã mang lại những kết quả đáng mừng . + Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện ở số lượng cũng như chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại học , cao đẳng tăng . + Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. + Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. 2 . Bài học kinh nghiệm Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được mmọt số phương pháp giảng dạy cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh. Chính điều đó sẽ thuận lợi cho giáo viên khi dạy tiết giải bài tập trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT, cũng như luyện thi Đại Học có tính thu hút cao . Xin chân thành cám ơn! Thiệu Hoá, ngày 17 tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Xác nhận của Hiệu trưởng Người viết đề tài Nguyễn Lạnh ĐôngBạn đang đọc nội dung bài viết Skkn Giải Bài Toán Cực Trị Số Phức Bằng Phương Phương Pháp Hình Học Giải Tích trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!