Cập nhật nội dung chi tiết về Phương Trình Trùng Phương Lớp 9: Lý Thuyết, Cách Giải, Các Dạng Bài Tập mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Số lượt đọc bài viết: 16.719
Phương trình trùng phương theo định nghĩa là phương trình bậc ( 4 ) có dạng :
Chúng ta nhận thấy đây thực chất là phương trình bậc ( 2 ) với ẩn là ( x^2 )
Số nghiệm của phương trình trùng phương
Cho phương trình trùng phương có dạng:
( ax^4+bx^2+c=0 ) với ( a neq 0 ).
Phương trình trùng phương có 1 nghiệm (Leftrightarrow left{begin{matrix} c=0\ frac{b}{a} leq 0 end{matrix}right.) và nghiệm đó ( = 0 )
Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt (Leftrightarrow left{begin{matrix} c=0 \frac{b}{a} <0 end{matrix}right.) và trong đó có một nghiệm ( = 0 )
Ví dụ về phương trình trùng phương lớp 9
Cách giải :
Thí dụ 2: Cho phương trình ( mx^4 -2(m-1)x^2+m-1 =0 )
Tìm ( m ) để phương trình
Ta có ( Delta’ = (m-1)^2-m(m-1)=1-m )
Áp dụng công thức trên ta có :
Để phương trình có nghiệm duy nhất thì (left{begin{matrix} m-1=0\ frac{m-1}{m} geq 0 end{matrix}right. Leftrightarrow m=1)
Các bước giải phương trình trùng phương lớp 9
Để giải phương trình ( ax^4 +bx^2+c =0 ) với ( a neq 0 ) ta làm theo các bước sau đây:
Ví dụ 1:
Bước 1: Đặt ( t=x^2 ). Điều kiện ( tgeq 0 )
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ( at^2+bt +c =0 ) tìm ra ( t )
Bước 3: Với mỗi giá trị của ( t ) thỏa mãn điều kiện ( tgeq 0 ), giải phương trình ( x^2=t )
Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
Cách giải:
***Chú ý: Đối với các bài toán phương trình trùng phương lớp 9 thì ta cần thực hiện đầy đủ các bước trên, còn các bài toán phương trình trùng phương lớp 12 thì ta có thể bỏ đi bước thứ nhất để lời giải nhanh gọn
Giải phương trình ( x^4 -5x^2+4 =0 )
Đặt ( t= x^2 ). Điều kiện ( t geq 0 )
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
(Leftrightarrow (t-1)(t-4)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}t=1 \t=4 end{array}right.)
(left[begin{array}{l}x^2=1 \x^2=4 end{array}right. Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=pm 1\ x=pm 2end{array}right.)
Ví dụ 2:
Vậy phương trình đã cho có ( 4 ) nghiệm phân biệt : ( x= -1;1;-2;2 )
Một số phương trình trùng phương biến đổi (xrightarrow frac{1}{x}) hoặc các biểu thức chứa căn thì đầu tiên ta cần tìm điều kiện của phương trình trùng phương rồi mới tiến hành giải
Cách giải:
Giải phương trình:
(frac{1}{x^4}-frac{5}{x^2}+6=0)
Điều kiện: ( x neq 0 )
Phương trình đã cho tương đương với :
((frac{1}{x^2}-3)(frac{1}{x^2}-2)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} frac{1}{x^2}=3\ frac{1}{x^2}=2end{array}right.)
(Leftrightarrow left[begin{array}{l} frac{1}{x}=pm sqrt{3}\ frac{1}{x}=pm sqrt{2}end{array}right.)
(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=pm frac{1}{sqrt{3}}\ x=pm frac{1}{sqrt{2}}end{array}right.) ( thỏa mãn )
Vậy phương trình đã cho có ( 4 ) nghiệm phân biệt (x=-frac{1}{sqrt{2}};-frac{1}{sqrt{3}};frac{1}{sqrt{2}};frac{1}{sqrt{3}})
Giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương
Đây là một dạng phương trình trùng phương nâng cao trong chương trình Toán lớp 12. Để giải bài toán này thì ta cần nhắc lại một số kiến thức về số phức
Biểu thức dạng ( a+bi ) với (a;b in mathbb{R}) và ( i^2=-1 ) được gọi là một số phức với ( a ) là phần thực và ( b ) là phần ảo
Phương trình bậc hai ( ax^2+bx+c =0) với ( Delta <0 ) có hai nghiệm phức là (frac{-bpm isqrt{Delta}}{2a})
Như vậy một phương trình bậc ( 4 ) trùng phương luôn có đủ ( 4 ) nghiệm. Đó có thể là nghiệm thực, nghiệm kép và nghiệm phức
Ví dụ 3:
Để giải phương trình số phức bậc 4 trùng phương, ta tiến hành các bước sau đây :
Cách giải:
Bước 1: Đặt ( t=x^2 ). Điều kiện ( tgeq 0 )
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ( at^2+bt +c =0 ) tìm ra ( t ) (tìm cả nghiệm phức)
Bước 3: Với mỗi giá trị của ( t [/latex, giải phương trình [latex] x^2=t )
Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
Giải phương trình : ( x^4-x^2-2 =0 )
Phương trình đã cho tương đương với :
(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x^2=-1 \x^2=2 end{array}right.)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : (-sqrt{2};sqrt{2};i)
Tu khoa lien quan:
phương trình trùng phương lớp 12
giải bất phương trình trùng phương
phương trình trùng phương nâng cao
phương trình trùng phương nâng cao
phương trình trùng hợp caprolactam
các bước giải phương trình trùng phương
điều kiện của phương trình trùng phương
thuật toán giải phương trình trùng phương
phương trình trùng phương vô nghiệm khi nào
Please follow and like us:
Cách Giải Phương Trình Trùng Phương, Phương Trình Tích
Vậy cách giải phương trình bậc 4 trùng phương (ax4 + bx2 + c = 0) và phương trình tích cụ thể như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết dưới dây, qua đó vận dụng giải các bài tập để rèn kỹ năng giải toán dạng này.
° Cách giải phương trình đưa về phương trình tích.
– Biến đổi phương trình ban đầu (bằng cách đặt nhân tử chung, vận dụng hằng đẳng thức,…) đưa về dạng phương trình tích, sau đó giải các phương trình.
– Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.
a) (x – 3)(x 2 – 3x + 2) = 0
⇔ x – 3 = 0 hoặc x 2 – 3x + 2 = 0
+) x 2 – 3x + 2 = 0 ta thấy: a = 1; b = -3; c = 2 và a + b + c = 0 nên theo Vi-et ta có nghiệm x 2 = 1; x 3 = c/a = 2.
* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là: x 1 = 3; x 2 = 1; x 3 = 2.
⇔ x + 3 = 0 hoặc x 2 – 2 = 0
⇔ 3x 2 – 5x + 1 = 0 hoặc x 2 – 4 = 0
+)Giải: 3x 2 – 5x + 1 = 0
+)Giải: x 2 – 4 = 0
⇔ (x – 2)(x + 2) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = -2.
* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
⇔ (2x 2 + x – 4 – 2x + 1)(2x 2 + x – 4 + 2x – 1) = 0
⇔ 2x 2 – x – 3 = 0 hoặc 2x 2 + 3x – 5 = 0
+) Giải: 2x 2 – x – 3 = 0
– Có a = 2; b = -1; c = -3 và thấy a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 3/2.
+) Giải: 2x 2 + 3x – 5 = 0
– Có a = 2; b = 3; c = -5 và thấy a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = c/a = -5/2.
* Kết luận: Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x 1 = -1; x 2 = 3/2; x 3 = 1; x 4 = -5/2.
° Cách giải phương trình trùng phương ax4 +bx2 + c = 0 (a≠0).
* Đặt t = x 2 (t≥0), khi đó ta được phương trình at 2 + bt + c = 0 (2)
– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm.
– Nếu phương trình (2) có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm.
– Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình trùng phương vô nghiệm.
* Cụ thể như sau:
– Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm luôn bằng c/a.
Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích.
– Biến đổi đưa về dạng pt tích: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0.
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : t 2 – 5t + 4 = 0 (2)
– Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 4
– Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;
+ Với t = 4 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.
– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 2t 2 – 3t – 2 = 0 (2)
– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy chỉ có giá trị t 1 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2;
– Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2 ; √2}.
– Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 3t 2 + 10t + 3 = 0 (2)
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
– Đối chiếu điều kiện t≥0 ta thấy cả 2 giá trị t 1 = -1/3 <0 và t 2 = -3<0 đều không thỏa điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
* Ví dụ 2(Bài 37 trang 56 SGK Toán 9 Tập 2): Giải các phương trình trùng phương
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 9t 2 – 10t + 1 = 0 (2)
+) Giải (2): Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1; ta thấy a + b + c = 0
⇒ Phương trình (2) có nghiệm t 1 = 1; t 2 = c/a = 1/9.
– Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện t≥0.
+ Với t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.
+ Với t = 1/9 ⇒ x 2 = 1/9 ⇒ x = 1/3 hoặc x = -1/3.
– Đặt t = x 2 , điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó (1) trở thành : 5t 2 + 3t – 26 = 0 (2)
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
– Đối chiếu điều kiện chỉ có t 1 thỏa điều kiện, nên:
+ Với t = 2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = √2 hoặc x = -√2.
⇒ Kết luận: Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-√2; √2}.
– Đặt t = x 2, điều kiện t ≥ 0.
– Khi đó, (1) trở thành : 0,3t 2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)
+ Giải (2) : có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5; ta thấy a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t 1 = -1 và t 2 = -c/a = -5.
– Đối chiếu với điều kiện t ≥ 0 thấy cả hai nghiệm đều không thỏa.
⇒ Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
– Điều kiện xác định: x ≠ 0.
– Quy đồng, khử mẫu ta được:
– Khi đó (1) trở thành : 2t 2 + 5t – 1 = 0 (2)
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
° Một số Bài tập về phương trình tích, phương trình trùng phương
Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn: Lý Thuyết, Bài Tập Và Cách Giải
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)).
Với (x) được gọi là ẩn; (a, b, c) là những số cho trước gọi là các hệ số.
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai một ẩn (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0))
Với (Delta =b^{2}-4ac)
Nếu (Delta =0), phương trình có nghiệm kép (x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2a})
Nếu (Delta <0), phương trình đã cho vô nghiệm.
Ta có các nghiệm như sau:
(x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a})
Phương trình bậc hai một ẩn (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) và (b=2b’)
(Delta’ =b’^{2}-ac)
Nếu (Delta’ =0), phương trình có nghiệm kép (x_{1}=x_{2}=frac{-b’}{a})
Nếu (Delta’ <0), phương trình đã cho vô nghiệm.
(x_{2}=frac{-b’-sqrt{Delta’ }}{a})
Tìm hai số (u) và (v)
Nếu là hai nghiệm của phương trình (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) thì ta có:
(left{begin{matrix} x_{1} +x_{2}& = &frac{-b}{a} x_{1}x_{2}& = & frac{c}{a} end{matrix}right.)
Nếu (a+b+c=0) thì phương trình (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) sẽ có hai nghiệm:
Biết (u+v=S, uv=P), giải phương trình:
Điều kiện để có u và v là (S^{2}-4Pgeq 0)
(x_{1}=1;x_{2}=frac{c}{a})
(x_{1}=-1;x_{2}=frac{-c}{a})
Giải phương trình bậc hai một ẩn
Trong đó, các cách giải phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm như trên, hoặc sử dụng đồ thị,…
Phương trình bậc hai (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) có thể được viết thành phương trình ((dx+e)(px+q)=0)
Phương trình sẽ thỏa mãn nếu(dx+e=0) hoặc (px+q=0)
Bước 1: Chia hai vế cho (a)
Bước 2: Trừ đi mỗi vế một lượng bằng (frac{c}{a})
Bước 3:Thêm bình phương của một nửa (frac{b}{a}), hệ số của vào hai vế, khi đó vế trái sẽ trở thành dạng bình phương đầy đủ.
Bước 4: Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải (nếu cần).
Bước 5: Khai căn hai vế được hai phương trình bậc nhất.
Bước 6: Giải hai phương trình bậc nhất.
Sau đó tiến hành giải hai phương trình bậc nhất trên sẽ tìm được nghiệm của phương trình.
Phương trình bậc hai một ẩn (ax^{2}+bx+c=0)
Sử dụng đẳng thức (x^{2}+2mx+m^{2}=(x+m)^{2})
Rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là cách tiện lợi.
Phương pháp là chia cả hai vế cho a (luôn thực hiện được bởi (aneq0)), ta sẽ được phương trình bậc hai rút gọn:
Trong đó: (p=frac{b}{a})
Công thức nghiệm của phương trình này là:
(x=frac{1}{2}(-ppmsqrt{p^{2}-4q}))
Cách giải phương trình bậc hai một ẩn như nào? Đây là câu hỏi của rất nhiều em học sinh. Trong các bài viết tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn về các ví dụ giải phương trình bậc hai một ẩn.
Tác giả: Việt Phương
Phương Pháp Giải Các Dạng Bài Toán Phương Trình Mặt Phẳng
1 PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : . Xác định 1 điểm và 1 VTPT . Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và – Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C) – Vì (P) – PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d – Từ (d) VTCP u d = (A;B;C) – Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n P=u d =(A;B;C) Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R) – Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n Q ; VTPT n R – Vì (P) (Q) và (R) VTPT n P Qn và n P n R Chọn n P = [ n Q; n R] – Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n P = [ n Q; n R] Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng – Tính AB , AC và a = [ AB , AC ] – PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q) – Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q] – Vì A, B (P) ; (Q) (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] – Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và – Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đường thẳng (d). – Tính [u d, n Q] – Vì (P) (Q) và d, n Q] – Từ đó viết được PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. – Tình trung điểm I của ABvà AB – Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A – Tính VTCP u d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d) – Tính AM và [u d, AM ] – Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n P =[u d, AM ]. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Từ ( ) VTCP u và tính [u d, u ] – PT mp (P) đi qua M và có VTPT n = [u d, u ]. Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q) – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Từ (Q) VTPT n Q và tính [u d, n Q] Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 2 – PT mp (P) đi qua M và có VTPT n =[u d, n Q]. Dạng 12: Viết PT mp (P) – Vì (P) ( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ) – Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D – Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h – Gọi VTPT của mp (P) là n – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Vì (d) nằm trong (P) u d. n P=0 (1) – PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 – d(A,(P)) = h (2) – Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900 – Gọi VTPT của mp (P) là n – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Vì d (P) u d. n P=0 (1) – Tính cos ((P),(Q)) (2) – Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900 – Gọi VTPT của mp (P) là n – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – Vì d (P) u d. n P=0 (1) – Tính sin ((P),( )) (2) – Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất – Gọi H là hình chiếu của A lên (d) – Ta có : d(A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max AK = AH KH – Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Vì (P) (theo pt của mp (Q) , trong đó D’ DQ). – Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D’ – Từ đó ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r. – d(I,(P)) = 2 2R r (1) – Vì (P) (theo pt của mp (Q) , trong đó D’ DQ) – Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D’ viết được pt (P). Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Gọi VTPT của mp (P) là n Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 3 – Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) – d (P) u d. n P=0 (1) – Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) – Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P). Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r. – Vì d (P) u d. n P=0 (1) – Gọi VTPT của mp (P) là n chọn M trên đường thẳng d. – Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) – Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P). Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). – Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) – Bán kính r = 2 2( ,( ))R d I p để r min d(I,(P)) max – Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P) – Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) – Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH – PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc. Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) PP: phương trình tham số của d là (d): 0 0 0 x x at y y bt z z ct với t R * Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0x x y y z z a b c * Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B – Tính AB – Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và – Từ pt( ) VTCP u – Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P) – Tìm VTPT của mp(P) là n P – Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u d = n P Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) – Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v , 2u ]. – Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ 1u , 2u ] – Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ 1u , 2u ] Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P):Ax + By + Cz + D = 0 Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 4 (Q):A’x + B’y + C’z + D’ = 0 – Từ (P) và (Q) n P , n Q – Tính [ n P , n Q] – Xét hệ ‘ ‘ ‘ ‘ Ax + By + Cz +D =0 A 0x B y C z D . Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md – Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q]. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: – Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) – Hình chiếu cần tìm d’ = (P) (Q) Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d’ đi qua M, H Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 *Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 * Tìm B = 2( ) d * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2 Đường thẳng cần tìm d = Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 – Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 – Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 – Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 Cách 1 : – Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 – Tìm giao điểm B = 2( ) d – Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d = Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d’ Cách 1 : – Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) – Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d’ – Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) * Tìm B = ( ) ‘P d * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. – Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P – Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d’ tại giao điểm I của (P) và d’. * Tìm giao điểm I’ = d’ ( )P * Tìm VTCP u của d’ và VTPT n của (P) và tính [u,n]v * Viết ptđt d qua I và có VTCP v Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : – Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d , Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 5 và ‘ ‘ ‘0 0 0 2( ‘ ‘, ‘ ‘, ‘ ‘)N x a t y b t z c t d là các chân đường vuông góc chung của d1, d2 – Ta có hệ 11 2 2 . 0 , ‘ . 0 MN d MN u t t MN d MN u . – Thay t, t’ tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . – Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 – Tìm giao điểm B = 1( ) d – Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 0 0(0 ;90 ) (= 300, 450, 600) * Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c * Vì 11 . 0d d u u Vì 2 2 . . u u cos u u ( chú ý : nếu thay g … MẶT CẦU CẮT MẶT PHẲNG Bài 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm tạo giao điểm I của mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt diện là hình tròn có diện tích 12ẽ ,biết : 1) R tz ty tx d t 2 3 1 : ,(P):x-y-z+3=0 2) 01 03 : y zyx d , (P):x+y-2=0. Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 34 Bài 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) và cắt mặt phăng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 18.biết: R tz ty tx d t 1 39 412 : và (P):y+4z+17=0. Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0,0,-3),B(2,0,-1) ,và mặt phẳng (P):3x-8y+7z-1=0 . 1) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều . 2) Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x-y-z-2=0. MẶT CẦU TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) biết : 1) Tâm I(1,2,-1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình : R z ty tx d t 1 1 : 2) Tâm I(3,-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình : 017322 0322 : zyx zyx d Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : R tz ty tx d t 32 1 21 :1 , 012 043 :2 zyx yx d Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại điểm H(3,1,3) và có tâm thuộc đường thẳng (d2). Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 01 012 :1 zyx yx d , 012 033 :2 yx zyx d 1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng . 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : R tz ty tx d t 33 2 21 : Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : R)(t 46 32 23 :1 tz ty tx d , 015 0194 :2 zx yx d 1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng . 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : 4 9 1 5 3 7 : zyxd Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 4 1 32 2 :1 zyxd , 129 2 6 7 :2 zyxd 1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau. 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 35 R z ty tx d t 1 1 : Bài 6: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 4 9 1 5 3 7 :1 zyxd , 4 18 1 4 3 :2 zyxd 1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau. 2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng (d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc đường thẳng (d) có phương trình : R tz ty tx d t 1 3 23 : Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : R)(t 33 2 21 :1 tz ty tx d , 31 23 2 :2 uz uy ux d 1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau. 2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2). 3) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). 4) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : xy+z-2=0 Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết : 01 03 :1 zx zyx d , 01 0922 :2 zy zyx d 1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau. 2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2). 3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):2x-y+3z-6=0. MẶT CẦU CẮT ĐƯỜNG THẲNG Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2,3,-1) và đường thẳng (d) có phương trình : 0843 020345 : zyx zyx d 1) Xác định VTCP a của (d) suy ra phương trình mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với (d): 2) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phương trình mặt cầu (S) có tâm sao cho (S) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B thoả mãn AB=40. Bài 2: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình : R tz ty tx d t 3 2 21 : , (P):2x-y-2z+1=0. 1) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1. 2) (ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,-1,3) qua đường thẳng (d) .Xác định toạ độ K. 3) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB=12. 4) Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P). 5) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 16ẽ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(1,0,1), B(2,1,2),C(1,-1,1),D(4,5,-5). 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC). 2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 2: Cho bốn điểm 0(0,0,0),A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8) Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 36 1) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA. 2) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K. 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 4) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau. Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(4,4,4), B(3,3,1), C(1,5,5), D(1,1,1). 1) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD. 2) (HVKTQS-98): Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc chung của AC và BD. 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 4) Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài 4: cho bốn điểm A(-1,3,2), B(4,0,-3), C(5,-1,4), D(0,6,1). 1) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số của đường thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ của điểm H. 2) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tổng quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5,5,6), A(1,3,0), B(-1,1,4), C(1,-1,4), D(3,1,0). 1) Lập phương trình các mặt của hình chóp. 2) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . 3) Tính thể tích hình chóp SABCD Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2). 1) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . 2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện. 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: Lập phương trình mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD ,biết: 1) )0,0, 3 4( S ,A(0,-4,0), B(0,-4,0),C(3,0,0). Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh )4, 2 9 , 2 1(S đáy ABCD là hình vuông có A(-4,5,0) ,đươngf chéo BD có phương trình : 0 087 : z yx d 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp . 2) Lập phương trình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 3) Lập phương trình mặt cầu nội tíêp hình chóp. Bài 3: Cho ba điểm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). 1) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA), (ABC). 2) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC . 3) Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (ABC). Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2). 1) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau. 2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện . 3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 4) Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT CẦU Bài 1: Cho mặt cầu 034: 222 zyxzyxS .xét vị trí tưpng đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: 1) điểm A(1,3,2). 2) điểm A(3,1,-4). 3) điểm A(-3,5,1). Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu 03242: 222 zyxzyxS .Sao cho khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất,biết: 1) điểm A(1,-2,0). 2) điểm A(1,1,-2). Chuyên đề LTĐH – Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt – 0918 344 200 37 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU Bài 1: Cho mặt cầu 06222: 222 zyxzyxS .Tìm toạ độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,biết: 1) R tz ty tx d t 1 1 2 : 2. 012 032 : zy zyx d VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình : 022: 222 xzyxS ,(P):x+z-1=0. 1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S). 2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đường tròn giao của (S) và (P). Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng 2x+2y+z+5=0 . 1) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường tròn có chu vi bằng 8ẽ . 2) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng 2x-2=y+3=z. 3) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với (S). Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD với S(3,2,-1), A(5,3,- 1), B(2,3,-4), C(1,2,0). 1) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân. 2) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm D, bán kính 18R .(điểm M không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì ? Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đường tròn (C) có phương trình : 0 14 : 222 z zyxC .Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tiệp xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0. Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình : 9)1()2()3(: 222 zyxS ,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M sao cho M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P) nhỏ nhất . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT CẦU Bài 1: Cho hai mặt cầu: 0722: 2221 yxzyxS , 02: 2222 xzyxS 1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau. 2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(2,0,1). Bài 2: Cho hai mặt cầu: 9: 2221 zyxS , 06222: 2222 zyxzyxS 1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau. 2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua điểm M(-2,1,-1).
Bạn đang đọc nội dung bài viết Phương Trình Trùng Phương Lớp 9: Lý Thuyết, Cách Giải, Các Dạng Bài Tập trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!