Cập nhật nội dung chi tiết về Phương Pháp Giải Bài Toán Hoán Vị Vòng Quanh Cực Hay Có Lời Giải mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh cực hay có lời giải
A. Phương pháp giải
Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần của X trên một đường tròn gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử của tập X.
Các cách sắp xếp các phần tử của X trên một đường tròn mà sai khác nhau một phép quay được coi là cùng một hoán vị vòng quanh.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau được tính bởi công thức: Q n=(n-1)!
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Tổ 1 của lớp 10A1 có 4 học sinh nữ và 6 học sinh nam .Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn.
A.362880 B.128800 C.246800 D.328600
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
Tổ 1 có tất cả 10 học sinh.Mỗi cách xếp 10 học sinh này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 10 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn đề bài là:
9!= 362880 cách xếp.
Ví dụ 2 : Cuối năm học, các học sinh giỏi lớp 11A2 có tổ chức ăn liên hoan. Tổ 1 có 3 học sinh giỏi; tổ 2 có 4 học sinh giỏi; tổ 3 có 2 học sinh giỏi và tổ 4 có 3 học sinh giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn?
A.10! B.11! C.12! D.13!
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
Lớp 11A2 có tất cả số học sinh giỏi là: 3+ 4+ 2+ 3= 12 học sinh giỏi
Việc xếp 12 học sinh giỏi này vào một bàn tròn là một hoán vị vòng quanh của 12 phần tử nên số cách xếp thỏa mãn là: 11! cách xếp.
Ví dụ 3 : Tổ 4 của lớp 12A3 có 4 học sinh nữ và 5 học sinh nam . Hỏi có bao nhiêu cách xếp các học sinh này vào một bàn tròn sao cho nhóm học sinh nữ ngồi với nhau; nhóm học sinh nam ngồi với nhau.
A.1280 B.1660 C.2880 D.1860
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Ta coi 4 học sinh nữ là một nhóm X và 5 học sinh nam là nhóm Y.
+ Số cách xếp hai nhóm X và Y vào bàn tròn là (2-1)!= 1 cách .
+ Số cách xếp 4 học sinh nữ trong nhóm X là 4!.
+ Số cách xếp 5 học sinh nam trong nhóm Y là 5!.
⇒ Có: 1. 4!. 5!= 2880 cách xếp thỏa mãn đầu bài.
Ví dụ 4 : Một hội nghị bàn tròn có ba phái đoàn: 4 người miền bắc, 3 người miền trung và 4 người miền nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho các thành viên sao cho những người có cùng miền thì ngồi gần nhau.
A.7268 B.6912 C.3286 D.4896
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Ta coi: 4 người miền bắc là một nhóm X; 3 người miền trung là một nhóm Y và 4 người miền nam là một nhóm Z .
+ Số cách xếp ba nhóm X; Y; Z vào bàn tròn là: 2!= 2 cách.
+ Số cách xếp 4 người trong nhóm X là : 4!= 24 cách.
+ Số cách xếp 3 người trong nhóm Y là: 3!= 6 cách.
+ Số cách xếp 4 người trong nhóm Z là: 4! = 24 cách.
⇒ Số cách xếp thỏa mãn đầu bài là : 2. 24.6.24= 6912 cách.
Ví dụ 5 : Một nhóm học sinh có 6 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 người này vào bàn tròn sao cho hai bạn cùng giới không ngồi cạnh nhau.
A.86400 B.172800 C.43200 D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải :
Đáp án : A
+ Xếp 6 bạn nam vào 1 bàn tròn có : 5! Cách.
+ Khi đó giữa hai bạn nam có 1 vách ngăn. Có 6 vách ngăn. Xếp 6 bạn nữ vào 6 vách ngăn đó có 6! Cách.
Theo quy tắc nhân; số cách xếp thỏa mãn đầu bài là: 5!. 6!= 86400
Ví dụ 6 : Trong một buổi dự tiệc có 5 cặp vợ chồng tham gia. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 cặp này vào một bàn tròn sao cho hai vợ chồng ngồi cạnh nhau.
A.96 B.192 C.768 D.384
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Coi vợ chồng là 1 bó. Xếp 5 bó vào cái bàn tròn có 4! Cách xếp.
+ Với mỗi bó ta có thể đổi chỗ vị trí vợ; chồng cho nhau.
⇒ Với mỗi cặp vợ chồng có 2!= 2 cách xếp
Theo quy tắc nhân; số cách xếp thỏa mãn là: 4!.2.2.2.2.2= 768 cách.
Ví dụ 7 : Một nhóm văn nghệ gồm 4 bạn nữ và x bạn nam ngồi vào một bàn tròn. Biết rằng có 362880 cách xếp các bạn này vào bàn tròn. Hỏi nhóm văn nghệ này có tất cả bao nhiêu người.
A.6 B.5 C.9 D.10
Hướng dẫn giải :
Đáp án : C
+ Nhóm văn nghệ này có tất cả (4+x) bạn.
+ Số cách xếp (4 + x) bạn này vào bàn tròn là: (4+x)!
Theo đầu bài ta có: (4+x)! = 362880= 9!
⇔ 4 + x= 9 ⇔ x= 5
⇒ Nhóm văn nghệ có 5 bạn nam nên cả nhóm này có 4 + 5= 9 bạn
A.1 B.2 C.3 D.4
Hướng dẫn giải :
Đáp án : B
+ Số cách xếp 4 tổ vào 1 bàn tròn là 3!.
+ Tổ 1 có 3 bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của 3 bạn này có 3! Cách.
+ tổ 2 có 2 bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của 2 bạn này có 2! Cách.
+ Tổ 3 có 4 bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của 4 người này có 4! Cách.
+ Tổ 4 có x bạn ngồi liền kề với nhau. Hoán đổi vị trí của x người này có x! cách.
Theo quy tắc nhân; số cách xếp thỏa mãn là:
3!. 3!.2!. 4!.x!= 10368
⇔ x!= 6 ⇔ x= 2
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 : Trong một buổi dự tiệc; có 3 người phụ nữ và 4 người đàn ông cùng ngồi vào một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho những người này?
A.720 B.120 C.5040 D.2080
Câu 2 : Trong một buổi dạ hội; có 4 người đàn ông và 4 phụ nữ cùng ngồi vào một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam; nữ ngồi xen kẽ nhau.
A.36 B.144 C.576 D.128
Câu 3 : Có 5 học sinh nam trong đó có bạn Hải và 3 học sinh nữ trong đó có bạn Liên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tám học sinh nói trên ngồi vào một bàn tròn sao cho hai bạn Hải và Liên không ngồi cạnh nhau ? (Hai cách xếp chỉ khác nhau một phép quay được coi là như nhau).
A.1440 B.5040 C.2880 D.3600
Câu 4 : Có 4 nhóm đại sứ quán nước ngoài gồm: 3 người nước Anh; 4 người nước Pháp ; 4người nước Mỹ và 2 người nước Lào. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ vào một bàn tròn sao cho các đại sứ quán của cùng 1 nước ngồi cạnh nhau?
A.41472 B.20736 C.6912 D.Đáp án khác
Câu 5 : Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người (trong đó có một cặp vợ chồng) vào một bàn tròn, sao cho vợ chồng ngồi cạnh nhau?
A.120 B.720 C.48 D.24
Câu 6 : Trong buổi dự tiệc có 10 người trong đó có 1 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 người này vào bàn tròn sao cho hai vợ chồng đó không ngồi cạnh nhau.
A.282240 B.146800 C.245200 D.186400
Câu 7 : Một nhóm học sinh có 8 người trong đó có lớp trưởng; bí thư và lớp phó. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn này vào bàn tròn sao cho 3 bạn cán bộ lớp không ngồi cạnh nhau.
A.6420 B.2860 C.4320 D.5420
Câu 8 : Có bao nhiêu cách xếp 8 bạn nữ và 6 bạn nam vào bàn tròn sao cho các bạn nam không ngồi cạnh nhau .
Hiển thị đáp án
Đáp án : B
+ Khi đó giữa 8 bạn nữ tạo ra 8 vách ngăn. Ta xếp 6 bạn nam vào 8 vách ngăn : có cách.
Theo quy tắc nhân có: 7!. cách xếp.
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k4: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Cách Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn Cực Hay, Có Lời Giải
Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, có lời giải
A. Phương pháp giải
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Bước 4: Kết luận.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn:
Giải bằng phương pháp thế.
Chú ý: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.
Ta có: (2) ⇔ y = 8 – 2x.
Thay vào (1) ta được: 3x – 2(8 – 2x) = 5 ⇔ 7x – 16 = 5 ⇔ 7x = 21 ⇔ x = 3.
Với x = 3 thì y = 8 – 2.3 = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (3;2).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn:
Từ pt (2) ta có: x = 5 + 3y.
Thay x = 5 + 3y vào pt (1) ta được:
4(5 + 3y) + 5y = 3 ⇔ 12y + 5y + 20 = 3 ⇔ 17y = – 17 ⇔ y = – 1.
Với y = – 1 thì x = 5 + 3( – 1 ) = 2.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;-1).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn:
Từ pt (1) ta có: y = -3 – 2x.
Thay y = -3 – 2x vào pt (2) ta được:
2x – 3(-3 – 2x) = 17 ⇔ 2x + 6x + 9 = 17 ⇔ 8x = 8 ⇔ x = 1.
Với x = 1 thì y = -3 – 2.1 = – 5.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;- 5).
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Hệ phương trình sau: có nghiệm (x;y) là ?
A. (x;y) = (2;1)
B. (x;y) = (1;2)
C. (x;y) = (2;-1)
D. (x;y) = (1;1)
Câu 2: Trong các hệ phương trình sau đâu là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn?
Câu 3: Tìm a, b sao cho hệ phương trình sau: có nghiệm (x;y) là (8;5).
A. a = 2, b = 3
B. a = 1, b = 3
C. a = 1, b = 4
D. a = 4, b = 1
Câu 4: Cho hệ phương trình sau: . Tìm x + y = ?
A. 3
B. 5
C. 4
D. 6
Câu 5: Tìm a, b sao cho đường thẳng (d): y = ax + b đi qua hai điểm A(2;3) và B(-2;1).
A. a = 3, b = 2
B. a = 1, b = 2
C. a = ½, b = 1
D. a = ½, b = 2
Câu 6: Hệ phương trình sau: . Tìm 2x – y =?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 7: Cho hệ phương trình sau: . Khi a = 2 thì nghiệm (x;y) của hệ là ?
Câu 8: Nghiệm (x;y) = (2;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây:
Câu 9: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
A. Không có nghiệm
B. Có một nghiệm duy nhất.
C. Có vô số nghiệm.
D. Có hai nghiệm
Câu 10: cho hệ phương trình sau: . Kết quả của 2xy – 1 = ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: chúng tôi
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Kĩ Thuật Hoán Vị Vòng Quanh Cac Ki Thuat Hoan Vi Vong Quanh Va Mot So Ung Dung Quan Trong Doc
– Thúc đẩy học sinh học tập tích cực và đạt được những thành tích cao;
– Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
– Gây được hứng thú cho học sinh trong học tập và tìm tòi vấn đề mới, xây dựng cho học sinh thế giới quan khoa học đa chiều trong nghiên cứu tìm hiểu vấn đề.
– Đối tượng nghiên cứu: Các kĩ thuật biến đổi đại số trong chương trình toán THCS và các ứng dụng. Phương pháp giúp học sinh nắm các kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của biến đổi đại số trong học toán và giải toán.
Tính khả thi: Các kĩ thuật biến đổi đại số có thể đưa vào các tiết học trên lớp , các buổi dạy ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.
5 – Phương pháp nghiên cứu:
– Nghiên cứu cơ sở lý luận của một số quan điểm dạy học hiện đại
– Nghiên cứu các kĩ thuật biến đổi đại số của các nhà toán học , nhà giáo dạy toán, các sách tham khảo và của các học sinh.
– Thiết kế một số bài tập mới trên cơ sở các vấn đề nêu ra.
– Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài đã được nghiên cứu.
– Điều tra kết quả thực nghiệm đề tài.
+ Đối với tập thể:
+ Đối với cá nhân:
Đã từng bước thay đổi phương pháp dạy học phù hợp giúp học sinh tích cực, chủ động, tự tin, sáng tạo trong học tập.
+ Đối với học sinh:
Hình thành và cũng cố phương pháp học tích cực ( phương pháp tự học tự nghiên cứu ) , nâng cao tính chủ động linh hoạt và sáng tạo trong biến đổi đại số nói riêng và trong học toán nói chung.
I. CƠ SỞ KHOA HỌC.
2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và được tham gia nhiều hội thảo do phòng và sở tổ chức
Kết quả thu được như sau:
* Với bài tập này HS có thể khai triển các tích rồi nhóm một cách hợp lí rồi đi đến kết quả; tuy nhiên việc làm đó không phải đối tượng HS nào cũng thực hiện được, nếu có thì cũng không dễ dàng.
* Như vậy với cách này HS thực hiện phân tích một cách nhanh chóng, không chỉ với HS khá giỏi mà kể cả HS trung bình và yếu cũng có thể tham gia biến đổi.
Sau khi thực hiện xong bài 1 HS có thể làm ngay bài tập 2 sau:
* Bằng việc rèn luyện cho HS kĩ năng phân tích, nhận xét tương tự như bài toán 1 , HS thực hiện giải bài toán 4 và bài toán 5.
* Việc thường xuyên giúp HS phát hiện những cấu trúc đặc trưng của biểu thức đại số để từ đó HS có phương án biến đổi linh hoạt là việc làm hết sức cần thiết và gây hứng thú cao cho HS; từ đó giáo dục HS ý thức nhận xét các vấn đề một cách thấu đáo để tìm ra phương án hợp lí trong giải quyết vấn đề.
Tiếp tục với kĩ thuật tách trên khi biểu thức là tổng các phân thức phức tạp và các thừa số để tách được chưa rõ ràng. Ta đi vào mục II.
Bài toán 2. 1: Rút gọn biểu thức: Với x ≠ y ≠ z.
– Ngoài cách nói trên, GV hướng HS tìm cách giải mới.
? Nhân cả tử và mẫu của với (y – z) ta có điều gì ?
? Kết hợp với quan hệ trên ta có thể tách thế nào ?
Lời giải : Vì = =
Nên : =
Bài toán 2 .2 : Cho x ≠ y ≠ z . Chứng minh rằng : có giá trị không phụ thuộc vào x, y, z .
– Khi bước sang bài toán này HS bắt đầu phân hóa ra hai hướng.
+ Hướng 1 HS quy đồng rồi tính
Lời giải : Vì =
=
* Như vậy với kĩ thuật tách x – y = x – z + z – y bắt đầu có lợi thế ở bài toán 2; tiếp tục với kĩ thuật này chúng ta cho HS giải bài toán 3:
A = .
– Lời giải: Vì =
Nên A = =
= + = .
Trong kĩ thuật này chúng ta chú ý về hai nhận xét sau :
P= ( a ≠ – b ; b ≠ – c ; c ≠ -a)
Bài toán 2 .6 : Chứng minh rằng :
= .
Q = + ( a ≠- b; b ≠ – c ; c ≠ -a)
* Việc biến đổi các biểu thức dạng hoán vị vòng quanh được mở rộng bởi các hằng đẳng thức cho ba số, vận dụng và phát triển các hằng đẳng thức này gần đây được phát triển mạnh mẽ và giúp nhiều trong việc hình thành và phát triển năng lực toán cho HS.
Do đó cho a = x – y ; b = y – z ; c = z – x thì a + b + c = 0, ta có bài toán :
Bài toán 3. 4 : Cho + = 0 Tính : P =
Ta có : P = = xyz.( ) = xyz. = 3 .
A = ( 1 + )(1 + )(1 + )
Lời giải : Theo bài toán 1, a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. + Nếu a + b + c = 0 thì : A = . = – = – 1.
+ Nếu a = b = c thì : A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8.
* Với a = yz ; b = zx ; c = xy thì : a 3 + b 3 + c 3 = 3abc y 3 z 3 + z 3 x 3 + x 3 y 3 = 3x 2 y 2 z 2 .
Từ đó hình thành bài toán :
Kết quả M = – 1 hoặc M = 8.
Bài toán 3. 7 : Giải hệ :
Mặt khác (a + b + c) 2 = 1 a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 1 Hay ab + bc + ca = 0 . (2)
* Thay đổi cách hỏi bài toán 3.7 ta có bài toán sau:
Bài toán 3. 8 : Cho : Tính giá trị của biểu thức : P = a 2002 + b 2003 + c 2004 .
hoặc a = b = c Δ ABC là tam giác đều.
Bài toán 3. 10 : Cho : Tính x 3 + y 3 + z 3 theo a, b, c.
Từ hay xyz = c.(xy + yz + zx) xyz = . (theo (2)) (3) .
Thay (2) ; (3) vào (1) ta có : x 3 + y 3 + z 3 = 3 + a = .
Bài toán 3. 11 : Biết : Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc.
* Chắc chắn vẫn còn nhiều tìm tòi khám phá xung quanh đa thức
a) (3x – 2) 3 – (x – 3) 3 = (2x + 1) 3 . b)
Bài toán 3. 16 : Cho abc ≠ 0, a + b + c = 0. Tính : .
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b – c, c – a. Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba, do đó F(a, b, c) = k.(a – b)(b – c)(c – a).
Vậy : F(a, b, c) = -(a – b)(b – c)(c – a).
Như vậy việc phân tích đa thức thành nhân tử được kết thúc nhanh chóng.
Tương tự như bài toán 4. 1, ta thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a – b, b – c và c – a. Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a – b)(b – c)(c – a) bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số bậc nhất của a, b, c.
Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c).
* Các bạn hãy dùng các phương pháp và kết quả nêu trên để giải các bài tập sau đây.
Bài toán 5 : Tính tổng : trong đó k = 1, 2, 3, 4.
Bài toán 6 : Chứng minh rằng : Nếu : th ì với mọi số nguyên lẻ n.
Bài toán 1 : Với x, y là số dương . Chứng minh rằng:
H ướng dẫn : Vì x là số dương nên: . Đặt thì
(1) trở thành
đúng với mọi đpcm .
Tổng quát ta có bài toán sau:
– Cho x, y là số dương . Chứng minh rằng :
Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài toán 1
Với x, y ≠ 0 . C hứng minh rằng:
H ướng dẫn . Do cùng dấu nên: Đặt thì
(áp dụng bất đẳng thức Côsi )
Khi đó (2) trở thành :
Vậy bất đẳng thức đúng , dấu bằng xảy ra khi t = – 2 hay x = – y đpcm .
Bài toán 3 : Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2xy + 6yz + 2xz = 7xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: H = .
Đặt a = xz + 2yz ; b = xy + 4yz ; c = xy + xz
Bài toán 4: Cho và chứng minh :
+ Nhận xét: Từ
0 <
Vậy
Từ đó HS trình bày được bài giải.
Bài toán 5: Cho ba số . Chứng minh :
+ Nhận xét: Các hạng tử trong vế trái chứa mẫu là các tổng và tử là các số hạng của các tổng đó, do đó không thể tách để rút gọn vế trái để loại biến được.
Vậy đ ặt
Như vậy từ các nhận xét và phân tích trên , bài toán được giải quyết một cách nhẹ nhàng thông qua kĩ thuật đổi biến.
Đối với biến đổi hoán vị vòng quanh chúng ta không dừng lại ở 4 kĩ thuật nói trên mà cần tìm hiểu kĩ hơn nữa các kĩ thuật khác như Kĩ thuật đặt ẩn phụ; Kĩ thuật chuyển nhiều biến về một biến; … Không chỉ dừng lại ở biến đổi đồng nhất mà còn cả biến đổi bất đẳng thức.
Kết quả cụ thể:
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
* Đối với chuyên môn nhà trường: Chú trọng công tác đội ngũ, có kế hoạch bồi dưỡng thường xuyên, dài hơi nhằm đáp ứng yêu cầu, nhiệm vụ mới.
* Đối với giáo viên: Thường xuyên trau dồi kiến thức, nghiệp vụ, cần tiếp cận những kiến thức mới qua nhiều kênh thông tin khác nhau.
Chân thành cảm ơn
B. Kĩ thuật đặt ẩn phụ trong biến đổi hoán vị vòng quanh và biểu thức nhiều biến.
Bài toán 1: Với x, y là số dương . Chứng minh rằng:
(1) trở thành
Tổng quát ta có bài toán sau:
Cho x, y là số dương . Chứng minh rằng :
Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài toán 1
Bài toán 2:
Với x, y ≠ 0; chứng minh rằng:
Khi đó (2) trở thành :
Bài toán 3: Với x, y, z là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
– Nhận xét : Dự đoán dấu giá trị LN, NN đạt được khi x = y = z hoặc tại các điểm biên, Thử vào ta có phán đoán
Từ đẳng thức
và điều kiện ta có:
Đặt
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Bài toán 4: Cho . Chứng minh rằng:
Đặt
Vậy
Chứng minh rằng :
Sơ lược lời giải :
– Từ bài toán ta có: Đặc biệt hóa
Tương tự sau đó cộng lại kết hợp bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
Bằng cách thay đổi giả thiết, đặt ẩn phụ ta có Bài toán 2″:
Thật vậy: Bằng cách đặt : và kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki và bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
.
Chứng minh rằng:
Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên !
? Nếu đổi chiều của bất đẳng thức ở điều kiện(bài toán (*)) thì bài toán thay đổi như thế nào ?
Trả lời câu hỏi này ta có bài toán mới :
Chứng minh rằng :
Từ bài toán (**) ta có thể khai thác ta được những bài toán mới khá thú vị….
Như vậy khi làm một bài toán ta có thể dùng hoạt động trí tuệ để khai thác sâu bài toán ở trên có một chu kì hoạt động khá hay đó là :
Bài toán cụ thể tổng quát đặc biệt ( phân tích, so sánh… ) bài toán mới tổng quát ( chú ý tổng quát có nhiều hướng: theo hằng số, theo số biến hoặc số mũ)
Bài toán 5: Với x, y, z là số dương và
Đặt
Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và
Chứng minh rằng :
Bình phương hai vế bất đẳng thức:
Đặt thì ( vì )
Ta có:
Tổng quát : ta có bài toán sau: với là số dương và
Cmr:
Khi gặp bài toán có điều kiện phức tạp khó sử dụng thì xử lí điều kiện. Ta xét bài toán sau:
Đặt t = x + y + z thì 0 < t < 3 . Khi đó :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay x = y = z = đpcm
Chẳng hạn : Từ bất đẳng thức Côsi
Cho x, y là số dương. Chứng minh rằng :
Cho x, y, z là số dương không lớn hơn 1. Chứng minh rằng :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
Bất đẳng thức trở thành :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Kết hợp điều kiện bài toán nên bất đẳng thức (*) đúng
Ngoài ra từ cách chứng minh ta có bất đẳng thức chặt hơn sau:
Chứng minh hoàn toàn tương tự như tổng quát trên !
Từ đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản , đơn giản ta có thể tạo vô số bài toán !
Để kết thúc phần I tôi xin đưa thêm một số bài toán làm theo phương pháp này :
************* Một số bài toán ************
. Chứng minh rằng: với mọi x, y thuộc R
HD: đặt t =
. Cho .
Chứng minh rằng:
HD: đặt t =
Chứng minh rằng:
Nhận xét 3:
C. Kĩ thuật chuyển nhiều biến về một biến trong biến đổi hoán vị vòng quanh và biểu thức nhiều biến.
II. MỘT BIẾN LÀ x( y hoặc z)
– Ở ví dụ trên thì chúng ta phải làm xuất hiện ẩn phụ, sau đây ta xét một lớp bài toán mà ẩn phụ chính là x hoặc y hoặc z
1. Đưa về một biến nhờ điều kiện :
Bài toán 8: Cho . Chứng minh rằng:
Từ điều kiện bài toán ta thấy
Bài toán 9: Cho . Chứng minh rằng:
Không mất tính tổng quát giả sử z = min(x,y,z)
Từ điều kiện dễ thấy
Nhận xét 4:
– Nếu lấy điều kiện thì bất đẳng thức đánh giá biểu thức trên là không đúng. Ở đây chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế điều kiện của biến để có thể đánh giá được biểu thức.
Chứng minh rằng:
Không mất tính tổng quát giả sử z = min(x,y,z)
Chú ý: Nếu thì việc chứng minh bài toán tổng quát không cần sử dụng tính nhất 1
Thay đổi hình thức bài toán:
Chẳng hạn bài toán 9 có thể phát biểu dưới dạng tương đương :
Hay sử dụng đẳng thức:
Bài toán 9 có thể phát biểu dưới dạng :
– Đặt ẩn phụ : a = mx; b = my; c = mz hoặc
Chẳng hạn : bài toán 9 có thể phát biểu dưới dạng tương đương
Chẳng hạn bài 9: Từ bất đẳng thức Côsi:
Ta có bài toán . Chứng minh rằng:
Từ cách chứng minh bài toán tổng quát trên ta có bài toán Tương tự:
Chứng minh rằng:
Đặc biệt hóa ta có bài toán:
Không mất tính tổng quát, giả sử z = max ( x,y,z)
Với . Dấu bằng xảy ra khi ( x,y,z ) = ( 0, 1, 2) và hoán vị của nó đpcm
Hướng dẫn.Ta có :
Do đó trong ba số ; ; có ít nhất 1 số không âm.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
điều phải chứng minh
Bằng cách sử dụng tính chất ta có thể tạo ra các bài toán mới
************* Một số bài toán ************
Chứng minh rằng:
. Cho . Chứng minh rằng:
Giả sử x = max(x,y,z)
Câu b tương tự !
2. Đưa dần về một biến:
Đặt
Không mất tính tổng quát giả sử :
Mặt khác :
nên
Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = ( 2, 1, 1)
và hoán vị của (2, 1, 1)
điều phải chứng minh
Bài toán 13: ( đây là bài toán số 9 )
Cho . Chứng minh rằng:
Đặt P( x, y, z) = 2( xy + yz + zx ) – xyz
Ta cần chứng minh . Do vai trò của x, y, z trong f là như nhau nên theo tính chất 2 ta giả sử kết hợp điều kiện ta dễ dàng suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
điều phải chứng minh.
Không mất tính tổng quát , giả sử
Đặt
Ta có:
Mặt khác: Đặt
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
điều phải chứng minh.
Nhận xét :
– Khi đưa biểu thức 3 biến về 2 biến hay 1 biến thường xét hiệu biểu thức của bất đẳng thức và biểu thức đó với x ( hoặc y hoặc z ) thay bởi trung bình nhân hoặc trung bình cộng
– thường ta phải sử dụng tính chất 2 mới có đánh giá được.
************* Một số bài toán ************
II . Cho
Chứng minh rằng :
Phương Pháp Giải Bất Phương Trình Vô Tỷ Chứa Căn (Có Lời Giải)
Ôn thi đại học chuyên đề bất phương trình chứa căn thức
Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ chứa căn thức
Phương pháp giải bất phương trình vô tỷ chứa căn có lời giải là tài liệu ôn thi đại học môn Toán, luyện thi THPT Quốc gia môn Toán hay, giúp các bạn đạt điểm tối đa khi làm phần bài tập bất phương trình chứa căn trong đề thi đại học. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề bất phương trình vô tỉ Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình chứa căn thức Ôn thi Đại học – Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn
GIỚI THIỆU
Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có bài toán về bất phương trình chứa căn:
Bài 1: (Đề thi đại học Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:
Bài 2: (Đề thi đại học Khối B năm 2012): Giải bất phương trình:
Bài 3: (Đề thi đại học Khối A năm 2005): Giải bất phương trình:
Bài 4: (Đề thi đại học Khối A năm 2010): Giải bất phương trình:
ĐỊNH HƯỚNG
Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai.
Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai.
Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau.
Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn.
Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình).
Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương pháp để giải.
Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI
Ví dụ 1: (Đề thi đại học Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:
ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây là một dạng bất phương trình đơn giản dạng AB ≥ 0 nhưng rất nhiều học sinh không tìm ra được đầy đủ các nghiệm của nó. Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
f(x).√gx) ≥ 0, với f(x) và g(x) có nghĩa
Giải
Bất phương trình tương đương với:
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là
Mời các bạn tải file đầy đủ về tham khảo!
Bạn đang đọc nội dung bài viết Phương Pháp Giải Bài Toán Hoán Vị Vòng Quanh Cực Hay Có Lời Giải trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!