Cập nhật nội dung chi tiết về Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Nguyễn Thị Mỹ Lệ
Trắc nghiệm trực tuyến
Trong tam giác vuông, nếu biết hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn thì có thể tính được các góc và các cạnh còn lại của tam giác đó hay không?
Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Xét tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = a, các cạnh góc vuông AC = b và AB = c. Gọi AH = h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b’, BH = c’ lần lượt là hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền BC (h.1)
Hình 1
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h1.ggb
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
Định lý 1.
Cụ thể, trong tam giác ABC vuông tại A (h.1), ta có: b2 = ab’; c2 = ac’ (1)
Chứng minh (h.1)
Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác vuông này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó: , suy ra AC2 = chúng tôi tức là: b2 = a.b’. Tương tự, ta có: c2 = a.c’.
Ví dụ 1. (Định lý pitago – một hệ quả của định lý 1).
Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC (h.1), cạnh huyền a = b’ + c’, do đó: b2 + c2 = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a.a = a2.
Như vậy, từ định lý 1, ta cũng suy ra định lý Py-ta-go.
Định lý 2.
Cụ thể, với các quy ước ở hình 1, ta có:
h2 = b’.c’ (2)
?1 Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB đồng dạng với ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).
Ví dụ 2. Tính chiều cao của cây trong hình 2, biết rằng người đo đứng cách cây 2, 25m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1, 5 .
Giải. Ta có: tam giác ADC vuông tại D, ta có:
BD2 = AB . BC
Tức là: (2,25)2 = 1,5 . BC
Suy ra: .
Vậy chiều cao của cây là: AC = AB + BC = 1,5 + 3, 375 = 4, 875 (m).
Hình 2
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h2.ggb
Định lý 3.
Với các kí hiệu trong hình 1, kết luận của định lý 3 có nghĩa là:
bc = ah. (3)
Từ công thức tính diện tích tam giác, ta nhanh chóng suy ra hệ thức (3). Tuy nhiên, có thể chứng minh hệ thức (3) bằng cách khác.
?2
Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.
Nhờ định lý Pi-ta-go, từ hệ thức (3), ta có thể suy ra một hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông. Thật vậy, ta có
Hệ thức (4) được phát biểu thành định lý sau đây.
Định lý 4
Ví dụ chúng tôi tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.
Giải. (h.3)
Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giá này là h. Theo hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông, ta có:
Hình 3
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h3.ggb
Chú ý: Trong các ví dụ và các bài tập tính toán bằng số của chương này, các số đo độ dài ở mỗi nếu không ghi đơn vị ta quy ước là cùng đơn vị đo.
Có thể em chưa biết?
Các hệ thức b2 = ab’; c2 = ac’ (1) và h2 = b’.c’ (2) (xem hình 1) còn được phát biểu dựa vào khái niệm trung bình nhân.
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Tương tự, hệ thức (2) được phát biểu như sau:
Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân của hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Bài tập
Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:
1. (h4a, b)
Hình 4a
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4a.ggb
Hình 4b
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h4b.ggb
2. (h.5)
Hình 5
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h5.ggb
3. (h.6)
Hình 6
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h6.ggb
4. (h.7)
Hình 7
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h7.ggb
Luyện tập
5. Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3, 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn mà nó định ra trên cạnh huyền.
6. Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
7. Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:
Cách 1 (h.8)
Hình 8
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h8.ggb
Cách 2 (h.9)
Hình 9
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h9.ggb
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Bài 8. Tìm x và y trong mỗi hình sau:
a. (h.10)
Hình 10
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h10.ggb
b. (h.11)
Hình 11
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h11.ggb
c. (h.12)
Hình 12
Tải trực tiếp tệp hình học động:L9_Ch1_h12.ggb
9. Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a. Tam giác DIL là một tam giác cân;
b. Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 1: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông
Sách giải toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 66: Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB ∼ ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).
Lời giải
Xét ΔABH và ΔCAH có:
∠(AHB) = ∠(AHC) = 90 o
∠(BAH) = ∠(ACH) (cùng phụ ∠(CAH))
⇒ ΔABH ∼ ΔCAH (g.g)
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 67: Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.
Lời giải
Xét tam giác ABC vuông tại A có
S ABC = 1/2 AB.AC
Xét tam giác ABC có AH là đường cao
⇒ S ABC = 1/2 AH.BC
⇒ 1/2 chúng tôi = 1/2 chúng tôi ⇒ chúng tôi = chúng tôi hay bc = ah
Bài 1 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)
Hình 4
Lời giải:
– Hình a
Theo định lí Pitago ta có:
Áp dụng định lí 1 ta có:
– Hình b
Áp dụng định lí 1 ta có:
Bài 2 (trang 68 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)
Hình 5
Lời giải:
Áp dụng định lí 1 ta có:
Bài 3 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)
Hình 6
Lời giải:
Áp dụng định lí Pitago ta có:
Áp dụng định lí 3 ta có:
Bài 4 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)
Hình 7
Lời giải:
Theo định lí 2 ta có:
Theo định lí 1 ta có:
y 2 = x(1 + x) = 4(1 + 4) = 20
Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Lời giải:
ΔABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và đường cao AH như trên hình.
Theo định lí Pitago ta có:
Mặt khác, AB 2 = chúng tôi (định lí 1)
Theo định lí 3 ta có: chúng tôi = AB.AC
Bài 6 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Lời giải:
ΔABC vuông tại A và đường cao AH như trên hình.
BC = BH + HC = 1 + 2 = 3
Theo định lí 1: AB 2 = chúng tôi = 1.3 = 3
Theo định lí 1: AC 2 = chúng tôi = 2.3 = 6
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √3 và √6.
Bài 7 (trang 69-70 SGK Toán 9 Tập 1): Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Lời giải:
– Cách 1: (h.8)
Theo cách dựng, ΔABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó ΔABC vuông tại D.
Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.
– Cách 2: (h.9)
Theo cách dựng, ΔDEF có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó ΔDEF vuông tại D.
Đây chính là hệ thức (1) hay cách vẽ trên là đúng.
Bài 8 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x và y trong mỗi hình sau:
Lời giải:
a) Theo định lí 2 ta có:
b) Vì đường cao chia cạnh huyền thành hai nửa bằng nhau nên nó đồng thời là đường trung tuyến. Mà trong tam giác vuông, đường tuyến bằng nửa cạnh huyền nên nên x = 2.
Theo định lí Pitago ta có:
Bài 9 (trang 70 SGK Toán 9 Tập 1): Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là một tam giác cân
b) Tổng
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Lời giải:
a) Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:
AD = CD (cạnh hình vuông)
Nên ΔADI = ΔCDL (cạnh góc cuông và góc nhọn)
Suy ra DI = DL hay ΔDIL cân. (đpcm)
b) Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 9 Bài 4: Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Góc Trong Tam Giác Vuông
Sách giải toán 9 Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 85: Viết các tỉ số lượng giác của góc B và góc C. Từ đó hãy tính mỗi cạnh góc vuông theo:
a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C;
b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.
Lời giải
sinB = b/a; cosB = c/a; tgB = b/c; cotgB = c/b
sinC = c/a; cosC = b/a; tgC = c/b; cotgB = b/c
a) b = a.(b/a) = chúng tôi = a.cosC
c = a. (c/a) = chúng tôi = a.sinC
b) b = c. (b/c) = chúng tôi = c.cotgC
c = b.(c/b) = b.cotgB = b.tgC
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 87: Trong ví dụ 3, hãy tính cạnh BC mà không áp dụng định lý Py-ta-go.
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 4 trang 87: Trong ví dụ 4, hãy tính các cạnh OP, OQ qua côsin của các góc P và Q.
Xét tam giác OPQ vuông tại O
OP = chúng tôi = chúng tôi 36 o ≈ 5,66
OQ = chúng tôi = chúng tôi 54 o ≈ 4,11
Bài 26 (trang 88 SGK Toán 9 Tập 1): Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34o và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)
Lời giải:
Kí hiệu đỉnh như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
Vậy chiều cao tòa nhà là 58m.
Bài 27 (trang 84 SGK Toán 9 Tập 1): Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng
Lời giải:
( Lưu ý: ΔABC vuông tại A nên ∠B + ∠C = 90 o
Giải tam giác tức là đi tìm số đo các cạnh và các góc còn lại.)
a)
c = chúng tôi = chúng tôi 30 o ≈ 5,77 (cm)
b)
c)
b = asinB = 20.sin35 o ≈ 11,47 (cm)
c = asinC = 20.sin55 o ≈ 16,38 (cm)
d)
( Ghi chú: Bạn nên sử dụng các kí hiệu cạnh là a, b, c (thay vì BC, AC, AB) để đồng bộ với đề bài đã cho.
Cách để nhớ các cạnh là: cạnh nào thiếu chữ cái nào thì chữ cái đó là kí hiệu của cạnh đó. Ví dụ: cạnh AB thiếu chữ cái C nên c là kí hiệu của cạnh.
hoặc cạnh đối diện với góc nào thì đó chính là kí hiệu của cạnh. Ví dụ: cạnh đối diện với góc B là cạnh b (chính là cạnh AC))
Bài 28 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).
Lời giải:
Kí hiệu như hình vẽ. Theo hệ thức giữa các cạnh và góc của tam giác vuông, ta có:
Bài 29 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc α trong hình 32)
Lời giải:
Dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc là:
Bài 30 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, ∠ABC = 38o, ∠ACB = 30o. Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:
a) Đoạn thẳng AN
b) Cạnh AC
Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.
Lời giải:
Kẻ BK ⊥ AC (K ∈ AC).
Trong tam giác vuông BKC có:
Bài 31 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6 cm, ∠ABC = 90o, ∠ACB = 54o và ∠ACD = 74o.
Hãy tính:
a) AB
b) ∠ADC
Hình 33
Lời giải:
a) AB = chúng tôi = 8.sin54 o = 6,47 (cm)
b) Trong tam giác ACD, kẻ đường cao AH.
Ta có: AH = AC . sinACH = 8.sin74 o 7,69 (cm)
Bài 32 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 1): Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70o. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)
Lời giải:
Kí hiệu như hình vẽ, trong đó:
AB là chiều rộng của khúc sông (cũng chính là đường đi của thuyền khi không có nước chảy).
AC là đoạn đường đi của chiếc thuyền (do nước chảy nên thuyền bị lệch).
Theo đề bài: v = 2km/h ; t = 5 phút = 1/12 h
Vậy chiều rộng khúc sông là 0,1566 km = 156,6 m.
Tính Chu Vi Tam Giác Vuông, Công Thức Và Ví Dụ Minh Họa
Các bạn đã được học rất nhiều các công thức về tính chu vi, diện tích của các hình như hình tam giác, hình chữ nhật, hình vuông,… vậy có bao giờ bạn băn khoăn cách tính chu vi tam giác vuông hay chưa? Nếu bạn còn chưa biết cách tính chu vi hình tam giác vuông, mời bạn đón đọc bài viết ngay sau đây của chúng tôi.
Tam giác vuông là một khái niệm hình học rất quen thuộc với những ai đã gắn bó với bộ môn Toán học và cách tính chu vi tam giác vuông cũng có sự khác biệt so với cách tính chu vi tam giác khác. Đây cũng là kiến thức khá cần thiết mà chúng ta cần biết để áp dụng vào cuộc sống.
Tính chu vi tam giác vuông
Chu vi là gì và chu vi tam giác vuông là gì?
– Chu vi được định nghĩa là độ dài đường bao quanh của một hình hai chiều.
+ Kí hiệu chu vi là: P.
– Chu vi tam giác vuông chính là tổng độ dài của các đường bao quanh hình tam giác vuông đó.
Công thức tính chu vi tam giác vuông
Nếu như chu vi tam giác được tính bằng độ dài các cạnh của hình tam giác thì chu vi tam giác vuông được tính bằng công thức như sau:
P = a + b + h
Trong đó: P là chu vi
a, b là các cạnh bên tạo thành góc vuông
h là cạnh huyền
– Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông.
– Hai cạnh còn lại được gọi là cạnh kề (cạnh góc vuông) của tam giác vuông.
Các bài toán về tính chu vi tam giác vuông
Bài toán 1 : Nếu đề bài đã cho sẵn độ dài của ba cạnh trong tam giác vuông, ta chỉ việc áp dụng công thức: P = a + b + h rồi thay các dữ kiện đã biết vào là tính xong.
Bài toán 2 : Để tính được chu vi tam giác vuông khi chỉ biết độ dài hai cạnh, ta buộc phải sử dụng Định lí Py-ta-go. Định lí này do nhà Toán học người Hi Lạp – Py-ta-go sáng tạo ra, dựa trên mối quan hệ cơ bản của ba cạnh trong một tam giác vuông, được phát biểu như sau: Bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại (cạnh kề).
Trong đó: a, b là độ dài hai cạnh góc vuông (cạnh kề)
c là độ dài cạnh huyền.
Như vậy, trong bài toán dạng này, ta thực hiện theo hai bước:
– Bước 1: Áp dụng định lý Py-ta-go để tính cạnh chưa biết.
– Bước 2: Áp dụng công thức tính chu vi tam giác vuông để tìm ra đáp án chính xác nhất.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Một Số Hệ Thức Về Cạnh Và Đường Cao Trong Tam Giác Vuông trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!