Cập nhật nội dung chi tiết về Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
Để tìm hình chiếu $Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $left( alpha right)$ chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( P right)$ là ${vec n_P}$ và ${vec u_d}.$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $Delta = left( alpha right) cap left( P right).$
Ví dụ.
Cho $left( d right):left{ begin{array}{l} x = 1 – t\ y = 2 + 2t\ z = – 1 – t end{array} right.$ và $left( P right):x – y + z – 1 = 0.$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.
Giải. Bước 1. Gọi $left( alpha right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $left( P right)$. Cặp vector chỉ phương của $left( alpha right)$ là ${vec u_d} = left( { – 1;2; – 1} right),{vec n_P} = left( {1; – 1;1} right)$. Suy ra ${vec n_alpha } = left[ {{{vec u}_d},{{vec n}_P}} right] = left( {1;0 – 1} right).$ Chọn $Mleft( {1;2; – 1} right) in d subset left( alpha right).$
Phương trình của mặt phẳng $left( alpha right)$ là $left( {x – 1} right) + 0left( {y - 2} right) – 1left( {z + 1} right) = 0 Leftrightarrow x – z – 2 = 0.$
Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $left( P right)$ là $Delta = left( alpha right) cap left( P right).$
Do đó phương trình tổng quát của $Delta$ là $left( Delta right):left{ begin{array}{l} x – y + z – 1 = 0\ x – z – 2 = 0 end{array} right..$
Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $Delta$ là ${vec n_1} = left( {1, – 1;1} right),{vec n_2} = left( {1,0; – 1} right) Rightarrow {vec u_Delta } = left[ {{{vec n}_1},{{vec n}_2}} right] = left( {1;2;1} right).$ Từ phương trình tổng quát của $Delta$ ta thay $x = 0 Rightarrow y = – 3,z = – 2 Rightarrow Aleft( {0; – 3; – 2} right) in Delta .$
Suy ra phương trình tham số của $Delta$ là $$left( Delta right):left{ begin{array}{l} x = t\ y = – 3 + 2t\ z = – 2 + t end{array} right..$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Cách Tìm Hình Chiếu Của Một Điểm Lên Đường Thẳng, Mặt Phẳng Cực Hay
Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d
– Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)
– Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d có vecto chi phương .
+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:
1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0
+ Tìm H là giao điểm của d và (P)
Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :
Vậy H là hình chiếu của A trên d và
Chọn A.
Ví dụ: 2
Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)
A. ( 2; 1; 0)
B. ( – 2;0; 1)
C.(-1; 0; 0)
D. ( 0; 2; 1)
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .
Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương
Phương trình của d là:
+ Tìm H là giao điểm của d và (P)
Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:
2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0
⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0
⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= – 1 nên H ( – 1; 0; 0)
Chọn C.
Ví dụ: 3
Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
A. ( 1; 2; 1)
B.( 5; – 3; 4)
C. ( -2; 1;3)
D. ( 1;1;3)
Hướng dẫn giải
Phương trình tham số của d là:
Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi
⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0
⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0
⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2
Chọn B.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?
A. ( -1;3; 0)
B. ( -2; 1; 0)
C. ( -1; 2; 1)
D. ( – 2; -1; 1)
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:
Chọn A.
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)
A. ( 1; 0; 2)
B. ( -1; 0; 2)
C. (- 2; 0; 2)
D. ( -1; 2; -2)
Hướng dẫn giải
+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Thay x= – 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0
⇔ – 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0
⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= – 1 nên H( -2; 0; 2)
Chọn C.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?
A.( 1; 0; – 2)
B. ( -2; 1; 1)
C. ( 1; 2; 3)
D. (- 1; 0; 6)
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến
-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
– ( – t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.
Chọn D.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y – 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.
A. ( 3; -3; 0)
B. ( -2; 1; 3)
C. ( 0;2; -1)
D. (-2; 3; 1)
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)
+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):
1+ t – 2( 1- 2t) – 4= 0 hay t= 1
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .
+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng
A. ( -2; 0; 1)
B. ( 2; -1;- 5)
C. ( 0;3;-3)
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d có vecto chi phương .
Chọn B.
Câu 2:
Cho M( 0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?
A. – 2
B. 6
C. – 4
D. 4
Hiển thị lời giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
Phương trình của d là:
Chọn D.
Câu 3:
Cho điểm M ( – 2; 1; – 2) và đường thẳng Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
A. ( 1; 2; 1)
B.( 0; 2; 2)
C. ( – 1; 2; 0)
D. (0; 1; 0)
Hiển thị lời giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?
A. (1; 0; -2)
B. ( -2; 1; 0)
C. ( -1; 2; 1)
D. ( – 2; -1; 1)
Hiển thị lời giải
Chọn B.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)
A. ( 1; 0; 2)
B. ( -1; 0; 2)
C. (- 2; 0; 2)
D. ( -3; 1; 0)
Hiển thị lời giải
+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
Chọn D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( 1; 0; 2). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?
A.
B. ( -2; 1; 1)
C.
D. ( 2; 2; 1)
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Chọn C.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x – 2y- 3z – 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.
A. ( 4; – 3; – 5)
B. ( -2; 1; 3)
C. ( 0;2; -1)
D. (-2; 3; 1)
Hiển thị lời giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .
Chọn A.
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp
Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Tuần 2 soạn: 16/8/20123 Ngày dạy: 22/8/2012
§2 . hai đường thẳng vuông gócI. Mục tiêu– Kiến thức: Giải thích được thế nào là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Hiểu đường trung trực của đoạn thẳng. Công nhận tính chất: Có duy nhất một đường thẳng b đi qua Avà vuông góc với đường thẳng a cho trước– Kĩ năng: Vẽ hai đường thẳng vuông góc. Bước đầu tập suy luận.– Thái độ: Giáo dục sự cẩn thận trong học tập.II. Trọng tâmThế nào là hai đường thẳng vuông góc, đường trung trực của đoạn thẳngIII. Chuẩn bị GV: Giấy dời, thước thẳng, eke, máy chiếu HS: Giấy dời, thước thẳng, ekeIV. Hoạt động dạy học1: Kiểm tra (6′) Cho aa’ cắt bb’ tại O. Chỉ ra các cặp góc bằng nhau. Nếu 600 tìm số đo các góc còn lại2: Giới thiệu bài(1′) Thế nào là hai đường thẳng vuông góc? 3: Giảng bài
TgHoạt động của thầyHoạt động của tròNội dung
9′
. Gọi học sinh đứng tại chỗ suy luận
. Khi nào xx’ yy’. Giới thiệu các cách nói hai đường thẳng vuông góc
HĐ2
. Có mấy vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng
. Hướng dẫn cách vẽ đường vuông góc bằng thước thẳng và eke
HĐ3. Cho AB, I là trung điểm của AB, d AB tại I
. Đường trung trực của đoạn thẳng phải thoả mãn mấy điều kiện?.Nêu cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng
. Gấp giấy theo hướng dẫn
. Vì và là hai góc đối đỉnh nên 900
. 2 điều kiện là vuông góc và đi qua trung điểm
. Xác định trung điểm của đoạn thẳng rồi vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm1: Thế nào là hai đường thẳng vuông góc?1. Hai nếp gấp cắt nhau tạo ra 4 góc có số đo bằng 900?2. Vì và là hai góc đối đỉnh nên 900Vì và là hai góc kề bù nên 1800 1800-900=900*ĐN: SGK trang 84KH: xx’yy’2: Vẽ hai đường thẳng vuông góc?3
?4
* Tính chất: SGK trang 853: Đường trung trực của đoạn thẳng
* ĐN : SGKTa còn nói A đối xứng với B qua d hay A và B đối xứng với nhau qua d
4: Củng cố, luyện tập: (12′)– Nhắc lại định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất đường vuông gócBài 11a,Hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng cắt nhau và trong các góc tạo thành có một
Chương Iii. §4. Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
BÀI 4 : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓCTiết 40
A. MỤC TIÊU : 1. Về kiến thức : – Biết được khái niệm góc giữa hai mặt phẳng; khái niệm 2 mặt phẳng vuông góc . – Hiểu được : Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc 2. Về kỹ năng : – Biết cách tính góc giữa 2 mặt phẳng – Nắm được các tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc và vận dụng chúng vào việc giải toán. 3. Về thái độ : – Tích cực, hứng thú trong bài học 4. Về tư duy : Lôgic B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ : – Chuẩn bị các hình vẽ minh hoạ. – Chuẩn bị bảng phụ .C. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC : Gợi mở vấn đáp. Đan xen hoạt động nhóm. D. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC : 1. Ổn định lớp : 2. Kiểm tra bài cũ : * Hoạt động 1 : Hoạt động của HSHoạt động của GVGhi bảng
– Nghe, hiểu nhiệm vụ
– Nhớ lại kiến thức cũ và trả lời câu hỏi. – Nhận xét câu trả lời của bạn và bổ sung (nếu cần)
Câu hỏi : Em hãy cho biết điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau. -Gọi 1 HS lên bảng trả lời câu hỏi. -Gọi 1 HS khác nhận xét câu trả lời của bạn. – Củng cố kiến thức cũ và cho điểm HS– Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) :
3. Bài mới : * Hoạt động 2 : Góc giữa 2 mặt phẳng Hoạt động của HSHoạt động của GVGhi bảng
– Đọc SGK/104.
– HS nhận xét hình vẽ
– Phát biểu định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng.
– HS xem VD/105 và nhận xét.
*HĐTP 1: Hình thành định nghĩa. – Cho HS đọc SGK/ 104 phần I.– Yêu cầu HS nhận xét về vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng trong hình 108 / 104. – Yêu cầu HS phát biểu định nghĩa. * HĐTP 2 : Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng. – Nêu trường hợp 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau ? – Tổng hợp ý của HS và kết luận. – Nêu trường hợp 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ?.
– Củng cố và nêu lại cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng trong các trường hợp trên. – Cho HS xem VD/105 SGK– Hỏi : Em hãy cho biết hình chiếu vuông góc của mp (SBC) ? – Gọi 1 HS cho biết diện tích tam giác ABC. – GV mở rộng sang diện tích đa giác và cho HS phát biểu định lý 1. 1. Góc giữa 2 mặt phẳng.a) Định nghĩa : SGK
b) Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng. + Khi (P) và (Q) là 2 mặt phẳng song song hay trùng nhau thì 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó sẽ song song hoặc trùng nhau, vì vậy góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng 00. + Khi (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến .
+ Xét (R) vuông góc + + Ta có ((P); (Q)) = (p;q)
– Định lý 1 : SGK
* Hoạt động 3 : Hai mặt phẳng vuông góc .
Hoạt động của HSHoạt động của GVGhi bảng
– HS quan sát mô hình hình lập phương.
– HS nhận xét góc giữa 2 mặt phẳng (ABCD ) và (AB B’A’) .
– Phát biểu định lý 2 . – Định lý 2 :
– HS chứng minh định lý 3 theo gợi ý của GV.
– Phát hiện hệ quả 1. – HS phát biểu hệ quả 1.– HS vẽ hình :
– HS ghi hệ quả theo ký hiệu toán học.
– HS phát biểu hệ quả 3 theo SGK. – HS chứng minh hệ quả 3 theo gợi ý của GV. – Vẽ hình :
– 1HS lên bảng vẽ hình .– HS nhận xét mp (ABC) và mp (SBC ) cắt nhau theo giao tuyến BC.
– Tam giác ABC đều cạnh a.
* HĐTP 1 : Hình thành định nghĩa. – GV đưa ra mô hình hình lập phương .
– Hỏi : Hãy nhận xét góc giữa 2 mp (ABCD ) và (AB B’A’)? – GV nêu khái niệm 2 mp vuông góc.* HĐTP 2 : Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc. – Yêu cầu HS đọc định lý 2.– Yêu cầu HS diễn đạt nội dung theo ký hiệu toán học. – GV gợi ý cho HS chứng minh định lý 2.
* HĐTP 6 : Cho HS quan sát hình vẽ 116 SGK. – Yêu cầu HS diễn đạt hệ quả 3. – GV hưỡng dẫn HS chứng minh hệ quả 3. – GV yêu cầu 1 HS lên bảng vẽ hình 116.
a) Định nghĩa : SGK
b) Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc . – Định lý 2 :
c) Tính chất của 2 mặt phẳng vuông góc.– Định lý 3 : SGK
+ Hệ quả 1 :
– Ví dụ (trình bày trên bảng phụ). – Hình vẽ :
4. Củng cố : – Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng. – Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc 5. Dặn dò : BTVN 23, 24 trang 111 SGK.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Hình Chiếu Vuông Góc Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!