Cập nhật nội dung chi tiết về Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc 3 mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 là dạng toán quen thuộc ở chương khảo sát hàm số lớp 12. Để vẽ được học sinh phải làm theo tuần tự các bước. Bài viết hôm nay sẽ hướng dẫn chi tiết từng bước 1, một điểm đặc biệt là sau phần phương pháp sẽ có nhiều ví dụ kèm lời giải giúp người xem hiểu hơn.
Bài viết này gồm 2 phần
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d
Để vẽ được đồ thị hàm số bậc 3 bạn cần tuân thủ theo 3 bước sau đây:
Bước 1: Tập xác định là R
Bước 2: Khảo sát sự biên thiên của hàm số
Tính đạo hàm bậc nhất
Chỉ ra cực trị của hàm số
Tìm các giới hạn vô cực
Xét dấu đạo hàm và vẽ bảng biến thiên
Bước 3: Vẽ đồ thị
2. Bài tập
Ví dụ 1: Hãy vẽ đồ thị hàm số y = x3 – 3×2 – 4x – 4
Lời giải
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm y’ = 3×2 – 6x – 4
Giới hạn: $mathop {lim }limits_{x to + infty } y = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } y = – infty $
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên trên ta có đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc 3 có dạng y = x3 – 2×2
Lời giải
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: y’ = 3×2 – 4x
Giới hạn: $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {{x^3} – 2{x^2}} right) = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {{x^3} – 2{x^2}} right) = – infty $
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số có dạng y = 5×3
Lời giải
Tập xác định là D = R
Lấy đạo hàm: y’ = 15×2
Giới hạn: $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {5{x^3}} right) = + infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } left( {5{x^3}} right) = – infty $
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị như sau
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số có dạng $y = – frac{{{x^3}}}{3} + frac{1}{4}x$
Lời giải
Tập xác định: D = R
Lấy đạo hàm: y’ = $ – {x^2} + frac{1}{4}$
x = $frac{1}{2}$ thì $y = – frac{1}{{12}}$
x = – $frac{1}{2}$ thì $y = frac{1}{{12}}$
Giới hạn: $mathop {lim }limits_{x to + infty } left( { – frac{{{x^3}}}{3} + frac{1}{4}x} right) = – infty ;,mathop {lim }limits_{x to – infty } left( { – frac{{{x^3}}}{3} + frac{1}{4}x} right) = + infty $
Khi đó ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số như sau
Các Bước Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc 3
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc 3 gồm sơ đồ chung khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số và sơ đồ khảo sát riêng hàm số bậc 3 bao gồm cả phần lý thuyết – các bước làm một cách dễ hiểu nhất và phần bài tập tham khảo đi kèm với bài tập trong đề thi đại học các năm trước.
I- SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 1. Tập xác định. 2. Sự biến thiên 2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm y’
+ Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị 2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ((xrightarrow pm infty) ), các giới hạn có kết quả là vô cực và tìm tiệm cận nếu có. 2.4 Lập bảng biến thiên.
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
– Các điểm CĐ; CT nếu có.
( nếu nghiệm bấm máy tính được thì bấm, nghiệm lẻ giải tay được thì phải giải ra- chẳng hạn phương trình bậc 2, còn nghiệm lẽ mà không giải được thì ghi ra giấy nháp cho biết giá trị để khi vẽ cho chính xác- không ghi trong bài- chẳng hạn hàm bậc 3)
– Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- ( điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)
– Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Điều này sẽ cụ thể hơn khi đi vẽ từng đồ thị hàm số.
2. Sự biến thiên 2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm:
+ ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị 2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ((xrightarrow pm infty)) Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.) 2.4 Lập bảng biến
Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
– Các điểm CĐ; CT nếu có.
( nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì ta bấm máy tính, còn nếu được 1 nghiệm nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải nghiệm. Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị)
– Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- ( điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)
– Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Hàm bậc ba nhận điểm làm tâm đối xứng.
+ Trong đó: x 0 là nghiệm của phương trình y” = 0 (đạo hàm cấp hai bằng 0)
+ Điểm I được gọi là ‘điểm uốn‘ của đồ thị hàm số.
1 . Tập xác định D = R
2 . Sự biến thiên
+)Giới hạn hàm số tại vô cực
;
+)Chiều biến thiên:
Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
Hàm số nghịch biến trong khoảng (-2; 0)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = -2; (y_{CD}=y(-2)=0)
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; (y_{CT}=y(0) = -4)
+)Lập bảng biến thiên :
x
-∞
-2
0
+∞
y’
+
0 –
0 +
y
-∞
0
-4
+∞
Vậy (-2;0) và (1;0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox
Bảng giá trị :
Tìm điểm uốn
y”= 6x + 6
Đồ thị hàm số có điểm uốn : U(-1, -2)
Vẽ đồ thị (C) :
Kết luận: Đồ thị hàm số bậc 3 đã cho nhận điểm U(-1;-2) làm tâm đối xứng.
C. Một số bài tập trong đề thi đại học
Bài tập về nhà
Ứng Dụng Đồ Thị Hàm Số Bậc 3 Vào Giải Toán
I. Đồ thị hàm số bậc 3 – Lý thuyết cơ bản
1. Các bước khảo sát hàm số bất kì.
Xét hàm y=f(x), để khảo sát hàm số, ta thực hiện theo các bước như sau:
Tìm tập xác định.
Xét sự biến thiên:
Tìm đạo hàm y’
Tìm ra các điểm làm y’=0 hoặc y’ không xác định.
Xét dấu y’, từ đó kết luận chiều biến thiên.
Xác định cực trị, tìm giới hạn, vẽ bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị hàm số.
2. Khảo sát hàm số bậc 3.
Cho hàm số bậc 3 dạng:
Tập xác định: D=R
Sự biến thiên
Tính đạo hàm:
Giải phương trình y’=0.
Xét dấu y’, từ đó suy ra chiều biến thiên.
Tìm giới hạn. Chú ý: hàm bậc ba nói riêng và các hàm đa thức nói chung không có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Sau đó vẽ bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị: ta tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị, thường là giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành.
Khi nhận xét, chú ý rằng đồ thị hàm bậc 3 nhận 1 điểm làm tâm đối xứng (là nghiệm của phương trình y’’=0), gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số bậc 3.
3. Dạng đồ thị hàm số bậc 3:
Cho hàm số bậc 3 dạng:
Đạo hàm
Ta xảy ra các trường hợp bên dưới:
Phương trình y’=0 tồn tại hai nghiệm phân biệt:
Phương trình y’=0 có nghiệm kép.
Phương trình y’=0 vô nghiệm.
II. Các bài toán ứng dụng đồ thị hàm số bậc 3.
Ví dụ 1: Khảo sát đồ thị của hàm số bậc 3 sau: y=x3+3×2-4.
Hướng dẫn:
Bài này là một bài kinh điển, để khảo sát, lần lượt thực hiện theo các bước:
Tập xác định: D=R
Sự biến thiên:
Giải phương trình đạo hàm bằng 0:
Trong khoảng , y’<0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Tìm giới hạn:
Vẽ bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại yCD=0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yCT=-4
Vẽ đồ thị:
Xác định điểm đặc biệt:
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y=0, hay
Vậy giao điểm với trục hoành là (-2;0) và (1;0)
Giao điểm với trục tung: ta thế x=0 vào hàm số y, được y=-4.
Vậy giao điểm với trục tung là (0;-4).
Điểm uốn: Vậy điểm uốn của đồ thị là (-1;-2)Ta thu được đồ thị sau:
Nhận xét: cách trình bày trên phù hợp với các bài toán tự luận, ngoài ra đồ thị hàm số bậc 3 còn được sử dụng rộng rãi trong các bài toán trắc nghiệm mà ở đó, đòi hỏi những kỹ năng nhận dạng một cách nhanh chóng, chính xác để tìm ra đáp án bài toán.
y=x3-3x+1
y=-x3+3×2+1
y=-x3+x2+3
y=x3-3×2+3x+1
Hướng dẫn:
Hàm số này không có cực trị, nên loại đáp án A.
Vậy đáp án D đúng.
Nhận xét: bài toán này, các bạn có thể lý luận theo một cách khác, để ý hàm số đi qua điểm (0;1), vậy loại đáp án C. Mặt khác, đồ thị đi qua (1;2) nên loại A, B. Vậy suy ra đáp án D đúng.
Ví dụ 3: Cho hàm số bậc 3: có đồ thị:
Tìm đáp án chính xác:
Hướng dẫn:
Từ hình vẽ đồ thị, dễ dàng nhận thấy a<0.
Lại có: :
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, nên y’(0)=0, suy ra c=0. Loại đáp án A.
Vậy đáp án đúng là D.
Ví dụ 4: Cho hàm số . Xét 4 đồ thị sau:
Hãy lựa chọn mệnh đề chính xác:
Khi a khác 0 và f’(x)=0 tồn tại hai nghiệm phân biệt thì đồ thị (II) xảy ra.
Đồ thị (I) khi a<0 và f’(x)=0 tồn tại hai nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
Đồ thị (II) khi a<0, vậy loại B vì điều kiện a ở mệnh đề này không đủ chặt chẽ.
Đồ thị (IV) xảy ra khi a<0, vậy loại A.
Kết hợp sự phân tích trên, D là đáp án chính xác.
Một Số Mẹo Phân Tích Đồ Thị Hàm Bậc 3 Để Giải Toán
1. Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số
a. Bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R
Nhìn vào hình vẽ ta thấy hình số 1 và 2 không đồng biến, nghịch biến trên R được, còn hình số 3 và 4 thì hiến nhiên sẽ đồng biến và nghịch biến trên R. Lúc này các bạn để ý sẽ thấy điều kiện thỏa mãn (hay điều kiện để biện luận cho bài toán) là phương trình $y’ =0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
b. Bài toán tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng bất kì
Với bài toán có yêu cầu như trên thì ta thấy 4 trường hợp trên đều có thể sảy ra. Hai hình số 1 và 2 hiển nhiên sẽ có các khoảng đồng biến và nghịch biến. Hai hình số 3 và 4 thì luôn đồng biến, nghịch biến trên R nên chắc chắn sẽ đồng biến, nghịch biến trên một khoảng bất kì nào đó. Vì các khoảng này đều là tập con của tập R mà.
Như vậy nếu gặp bài toán có đề bài như trên thì chúng ta sẽ biện luận theo 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt
Trường hợp 2: Phương trình $y’=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
Tùy theo bài toán hỏi đồng biến hay nghịch biến thì ta có thêm điều kiện của hệ số a nữa là xong rồi.
Xem đầy đủ:
Dạng toán trắc nghiệm dựa vào đồ thị hàm số – nhận dạng đồ thịChuyên đề tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
2. Dạng toán về cực trị của hàm số
Nhìn vào dạng đồ thị của hàm số trong 4 trường hợp ta thấy nếu bài toán có hỏi về tìm cực trị thì chỉ có thể sảy ra 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu). Điều này chỉ sảy ra ở hình số 1 và hình số 2. Với yêu cầu của bài toán như vậy thì các bạn chỉ cần biện luận: phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt, kết hợp với hệ số $aneq0$
Trường hợp 2: Hàm số không có cực trị. Điều này chỉ có thể sảy ra ở hình số 3 và hình số 4. Trong trường hợp này các bạn chỉ việc biện luận: phương trình $y’=0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
Qua hình vẽ về các dạng đồ thị ở trên ta thấy sẽ không có câu hỏi nào mà nội dung là: tìm m để hàm số bậc 3 có một cực trị?
Như vậy việc dựa vào dạng đồ thị của hàm bậc 3 trong trường hợp tổng quát ta có được rất nhiều kinh nghệm, tư duy trong việc phân tích bài toán. Nếu để nhớ một cách máy móc những điều kiện ở trên thì sẽ rất nhanh chóng bị lãng quên lúc nào mà không hay biết. Còn việc chúng ta nhớ được dạng đồ thị của hàm bậc 3 ở trên thì lại quá đơn giản phải không?
Đó là 2 mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3 để sử dụng cho bài toán tìm cực trị và tính biến thiên của hàm số. Ngoài việc áp dụng đồ thị dạng tổng quát, thầy sẽ gửi tới chúng ta một thêm một kỹ năng nữa trong việc pjaan tích bài toán và đọc hiểu đồ thị hàm bậc 3.
Xem đầy đủ: Chuyên đề cực trị hàm số
3. Dạng toán về sự tương giao của hai đồ thị
a. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt
Do đó điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt là: Điều kiện để hàm số có 2 cực trị và $y_{(cd)}.y_{(ct)} =0$
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm
Với yêu cầu này của bài toán thì ta có 2 trường hợp sảy ra:
Trường hợp 2: Hàm số không có cực trị (tức là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên R)
Việc tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị thì bên trên thầy đã có một mẹo để nhớ rồi, còn việc tìm $y_{(cd)}$ và $y_{(ct)}$ thì các bạn nên thay vào phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Bạn đang đọc nội dung bài viết Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bậc 3 trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!