Cập nhật nội dung chi tiết về Cách Tìm Hình Chiếu Của Một Điểm Lên Đường Thẳng, Mặt Phẳng Cực Hay mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Cách tìm Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d
– Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d
Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng (P)
– Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Tìm hình chiếu vuông góc của A(1; 2; 1) trên đường thẳng d:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d có vecto chi phương .
+ Gọi mặt phẳng (P) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình của (P) là:
1(x – 1) + 2. (y – 2) – 2.(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 3 = 0
+ Tìm H là giao điểm của d và (P)
Tọa độ H( t – 2; 2t + 1; -2t – 1) thỏa mãn :
Vậy H là hình chiếu của A trên d và
Chọn A.
Ví dụ: 2
Cho M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z +2 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P)
A. ( 2; 1; 0)
B. ( – 2;0; 1)
C.(-1; 0; 0)
D. ( 0; 2; 1)
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .
Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương
Phương trình của d là:
+ Tìm H là giao điểm của d và (P)
Tọa độ của H(1+2t, -1-t; 2+2t) thỏa mãn:
2(1+2t) – (-1-t) + 2(2+2t) + 2 = 0
⇔ 2+ 4t + 1+ t + 4 + 4t + 2 = 0
⇔ 9t + 9= 0 ⇔ t= – 1 nên H ( – 1; 0; 0)
Chọn C.
Ví dụ: 3
Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
A. ( 1; 2; 1)
B.( 5; – 3; 4)
C. ( -2; 1;3)
D. ( 1;1;3)
Hướng dẫn giải
Phương trình tham số của d là:
Xét điểm H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi
⇔ 2(2t-1) – 1(-t) + 2(2t-8) = 0
⇔ 4t- 2+ t + 4t – 16 = 0
⇔ 9t – 18= 0 nên t= 2
Chọn B.
Ví dụ: 4
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?
A. ( -1;3; 0)
B. ( -2; 1; 0)
C. ( -1; 2; 1)
D. ( – 2; -1; 1)
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ta được:
Chọn A.
Ví dụ: 5
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2y – z+ 5= 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)
A. ( 1; 0; 2)
B. ( -1; 0; 2)
C. (- 2; 0; 2)
D. ( -1; 2; -2)
Hướng dẫn giải
+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua M ( -1; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
+ Điểm H- hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Thay x= – 1+ t; y= 2+ 2t;z= 1- t vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
( -1+ 2t)+ 2(2+ 2t) – ( 1- t) + 5= 0
⇔ – 1+ 2t+ 4 + 4t – 1+ t+ 5= 0
⇔ 7t+ 7= 0 ⇔ t= – 1 nên H( -2; 0; 2)
Chọn C.
Ví dụ: 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M(1; 1; 1). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?
A.( 1; 0; – 2)
B. ( -2; 1; 1)
C. ( 1; 2; 3)
D. (- 1; 0; 6)
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d đi qua A(0; 0; 2) và có vecto chỉ phương
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) nhận vecto chỉ phương của đường thẳng d làm vecto pháp tuyến
-1( x- 1) + 2( y-1) + 1( z- 1) = 0 hay – x + 2y + z – 2= 0
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)
+ Điểm H thuộc đường thẳng d nên H(- t; 2t; 2+ t) . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
– ( – t) + 2. 2t+ 2+ t- 2= 0 ⇔ 6t = 0 ⇔ t= 0
+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’.
Chọn D.
Ví dụ: 7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y – 4= 0 và điểm A( 1; 1; 0). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.
A. ( 3; -3; 0)
B. ( -2; 1; 3)
C. ( 0;2; -1)
D. (-2; 3; 1)
Hướng dẫn giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A( 1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó đường thẳng d có vecto chỉ phương là ( 1; -2; 0)
+ Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( P). Khi đó; H chính là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P):
1+ t – 2( 1- 2t) – 4= 0 hay t= 1
Vậy hình chiếu vuông góc của A lên ( P) là H( 2; -1; 0) .
+ Do A’ là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của AA’.
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tìm hình chiếu vuông góc của A(- 2; 1;0) trên đường thẳng
A. ( -2; 0; 1)
B. ( 2; -1;- 5)
C. ( 0;3;-3)
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d có vecto chi phương .
Chọn B.
Câu 2:
Cho M( 0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z +2 = 0. Gọi H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?
A. – 2
B. 6
C. – 4
D. 4
Hiển thị lời giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
Phương trình của d là:
Chọn D.
Câu 3:
Cho điểm M ( – 2; 1; – 2) và đường thẳng Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
A. ( 1; 2; 1)
B.( 0; 2; 2)
C. ( – 1; 2; 0)
D. (0; 1; 0)
Hiển thị lời giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( -2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?
A. (1; 0; -2)
B. ( -2; 1; 0)
C. ( -1; 2; 1)
D. ( – 2; -1; 1)
Hiển thị lời giải
Chọn B.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x+ 2z+ 3= 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P)
A. ( 1; 0; 2)
B. ( -1; 0; 2)
C. (- 2; 0; 2)
D. ( -3; 1; 0)
Hiển thị lời giải
+Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
+ Gọi d là đường thẳng đi qua M (- 2; 1; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương
Chọn D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm M( 1; 0; 2). Xác định điểm M’ đối xứng với M qua d?
A.
B. ( -2; 1; 1)
C.
D. ( 2; 2; 1)
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Chọn C.
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x – 2y- 3z – 11= 0 và điểm A( 2; 1; 1). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P). Tìm A’.
A. ( 4; – 3; – 5)
B. ( -2; 1; 3)
C. ( 0;2; -1)
D. (-2; 3; 1)
Hiển thị lời giải
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .
Chọn A.
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp
Tìm Tọa Độ Hình Chiếu Vuông Góc Của Một Điểm Lên Một Mặt Phẳng
Để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng (P) cho trước thì trong bài giảng này thầy sẽ chia sẻ với chúng ta 02 cách làm. Đó là cách làm theo kiểu tự luận và công thức trắc nghiệm nhanh. Tuy nhiên cách giải tự luận sẽ giúp chúng ta hiểu rõ bản chất, còn công thức giải nhanh thì có thể quên bất cứ khi nào.
Bài toán:
Cho mặt phẳng (P): $Ax+By+Cz+D=0$ và một điểm $M(x_0;y_0;z_0)$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Đường thẳng d có phương trình là: $left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ctend{array}right.$
Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là H. Ta sẽ có H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).
Tọa độ điểm H chính là nghiệm của hệ phương trình:
$left{begin{array}{ll}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ct\Ax+By+Cz+D=0end{array}right.$
Ví dụ 1: Cho điểm $M(1;2;3)$ và mặt phẳng (P) có phương trình là: $2x+3y-z+9=0$. Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).
Hướng dẫn:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $vec{n}(2;3;-1)$
Gọi d là đường thẳng di qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đo đường thẳng d sẽ nhận $vec{n}(2;3;-1)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng d là: $left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t end{array}right.$
Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó điểm H chính là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình sau:
$left{begin{array}{ll}x=1+2t\y=2+3t\z=3-t\2x+3y-z+9=0 end{array}right.$
Vậy tọa độ điểm H là: $H(-1;-1;4)$
Phương pháp 2: Áp dụng công thức tính nhanh tọa độ hình chiếu của điểm
Công thức tính nhanh tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$
Với $k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$
Tại sao có công thức này thì thầy có thể giải thích như sau:
Theo cách làm ở phương pháp 1 thì tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
$left{begin{array}{ll}x=x_0+Ak\y=y_0+Bk\z=z_0+Ck\Ax+By+Cz+D=0end{array}right. kin R$
Thay 3 phương trình đầu tiên trong hệ vào phương trình thứ 4 ta sẽ có:
$A(x_0+Ak)+B(y_0+Bk)+C(z_0+Ck)+D=0$
$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$
Với k được xác định như vậy đó.
Mặt phẳng (P): $2x+3y-z+9=0$ có $A=2; B=3; C=-1$
Tọa độ điểm $M(1;2;3)$
$k=-dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{A^2+B^2+C^2}$
Tọa độ điểm H là: $left{begin{array}{ll}x_H=x_0+Ak\y_H=y_0+Bk\z_H=z_0+Ckend{array}right.$
Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là $H(-1;-1;4)$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Góc Giữa Hai Đường Thẳng; Góc Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
A. Phương pháp giải
– Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương
Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ: 1
Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Trục Ox có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và Ox là:
Chọn B.
Ví dụ: 2
Tính góc giữa và d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x + 2y – z + 1 = 0 và (Q): 2x + 3z – 2 = 0?
Hướng dẫn giải
Hai mặt phẳng (P)và (Q) có vecto pháp tuyến là:
d’ là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d’ là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và d’ là:
Chọn D.
Ví dụ: 3
Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết và (P): 2x – y + 2z – 1 = 0?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:
Chọn A.
Ví dụ: 4
Cho bốn điểm A( 1; 0;1) ; B( -1; 2; 1); C( -1; 2; 1) và D( 0; 4; 2). Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương
+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương .
Chọn C.
Ví dụ: 5
Cho đường thẳng . Xác định m để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
A. m= 2
B. m = – 4
C. m= (- 1)/2
D. m= 1
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương
Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương
Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
Chọn C.
Ví dụ: 6
Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ my- z+ 100= 0. Xác định m để cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là ?
A. m= ± 1
B.m= ± 2
C. m= 0
D. m= ± 3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
Theo giả thiết ta có:
Chọn A.
Ví dụ: 7
Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 4x- 4y+ 2z- 9= 0. Xác định m để
A. m= 1
B.m= – 1
C. m= – 2
D. m= -1 hoặc m= -7
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
Theo giả thiết ta có:
Chọn D.
Ví dụ: 8
Cho đường thẳng ; điểm A( 2; 0; 0); B (0; 1; 0) và C( 0;0;- 3).Xác định sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (ABC) ?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Phương trình mặt phẳng (ABC):
Hay ( ABC): 3x + 6y – 2z – 6= 0
Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến .
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương .
Chọn A.
Ví dụ: 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A( -1; 0; -1), cắt , sao cho cosin góc giữa d và là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ 1 là M( 1+ 2t; 2+ t; -2- t)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
Đường thẳng Δ 2 có vectơ chỉ phương
Khi đó; M( 1; 2; – 2) và
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng và (P):x+y-z+2=0?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến nên sin góc giữa d và (P) là:
Chọn C.
Câu 2:
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz; gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oy góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?
A. ( -3; 0; 4)
B. ( 3; 0; 2)
C. ( -1; -2; -1)
D. ( 1;2;1)
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng này?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng d 1 có vecto chỉ phương .
Đường thẳng d 2 có vecto chỉ phương
Chọn B.
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho A(-1; 2; 0); B( 2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x- y+ z- 2= 0. Sin góc của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là . Tính a?
A . 5
B.10
C. 8
D. 7
Hiển thị lời giải
+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:
+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:
Chọn B
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 5= 0 và M( 1; -1; 0). Đường thẳng Δ đi qua điểm M, cắt d và tạo với mặt phẳng (P) một góc thỏa mãn sin (Δ; (P))= 0,5
A.
B.
C.
D.
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua A( 3; -1; 1) nằm trong mặt phẳng (P): x- y+ z- 5= 0 đồng thời tạo với một góc 45 o. Phương trình đường thẳng d là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A( 1; -1; 2) , song song với (P): 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng một góc α sao cho cosα đạt giá trị nhỏ nhât. Phương trình đường thẳng d là.
A.
B.
C.
D.
Câu 8:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A( -2; 0; 0), đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45 o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:
A. ( 2;2; 1) hoặc ( 2;- 2; 1)
B . ( 2; -1;0) hoặc ( 2; 1;0)
C. ( 1;2; 0) hoặc ( – 2; 1;0)
D. ( 2; 2; 0) hoặc ( 2; -2; 0)
Hiển thị lời giải
Trục Oy có vectơ chỉ phương là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương .
+ Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
+Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
Chọn D.
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại chúng tôi
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp
Lý Thuyết Phương Trình Đường Thẳng Trong Mặt Phẳng Oxy
Đường thẳng trong mặt phẳng Oxy là dạng toán gần như không thể thiếu trong mọi đề thi đại học. Đây là dạng toán khá hay và các bạn học sinh cũng rất yêu thích phần này. Tuy nhiên khi làm những bài tập cơ bản trong sách thì cũng không khó khăn nhưng đối với những bài trong đề thi đại học thì cũng hơi khó nhằn đó.
Vectơ pháp tuyến: Vectơ $vec{n}$ khác $vec{0}$ có giá vuông góc với đường thẳng $Delta$ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Delta$
Phương trình tổng quát: Trong mặt phẳng tọa độ mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng: $ax+by+c=0$, với $a^2+b^2neq 0$
Ngược lại: Mọi phương trình dạng $ax+by+c=0$, với $a^2+b^2neq 0$ đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận $vec{n}=(a;b)$ làm vectơ pháp tuyến.
Với mỗi đường thẳng d bất kì luôn có rất nhiều vectơ có giá vuông góc với đường thẳng. Vì vậy mà một đường thẳng d cho trước luôn có rất nhiều vectơ pháp tuyến.
Ví dụ 1:
Giả sử cho đường thẳng d có phương trình: $2x+4y-1=0$, các hệ số $a=2; b=4$. Khi đó ta có các vectơ pháp tuyến của d là: $vec{n_1}=(2;4)$ hoặc $vec{n_2}=(1;2)$ hoặc $vec{n_3}=(-2;-4)$hoặc $vec{n_4}=(frac{1}{2};1)$…
Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Như vậy để viết được phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác định được vectơ pháp tuyến $vec{n}=(a;b)$ và một điểm bất kì $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng d. Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng:
$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ Ví dụ 2:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ biết đường thẳng đi qua điểm $A(2;-3)$ và nhận vectơ $vec{n}=(-2;5)$ làm vectơ pháp tuyến.
Theo lý thuyết ở trên thì phương trình đường thẳng $d$ sẽ có dạng như sau: $-2(x-2)+5(y+3)=0 Leftrightarrow -2x+5y+19=0$
Ví dụ 3:
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $d’$ có phương trình $-x+2y-3=0$ và điểm $B(2;-3)$ thuộc $d$
Giải:
Vì đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d’$ nên vectơ pháp tuyến của $d’$ cũng chính là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$. Vectơ pháp tuyến của $d’$ là $vec{n’}=(-1;2)$
Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ là: $vec{n}$ = $vec{n’}=(-1;2)$
Phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là: $-1(x-2)+2(y+3)=0 Leftrightarrow -x+2y+8=0$
Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát:
Cho đường thẳng d: $ax+by+c=0$. Có các trường hợp sau sảy ra, phụ thuộc vào hệ số a, b, c
Nếu $a=0$ thì d có dạng $by+c=0$ (khuyết ẩn x). Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox
Nếu $b=0$ thì d có dạng $ax+c=0$ (khuyết ẩn y). Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy
Nếu $c=0$ thì d có dạng $ax+by=0$. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ $vec{u}$ khác $vec{0}$ có giá song song với đường thẳng $Delta$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$
Phương trình tham số: của đường thẳng $Delta$ có dạng $left{begin{array}{ll}x=x_0+at\y=y_0+btend{array}right. (a^2+b^2neq 0)$
Trong đó $M(x_0;y_0)$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng và $vec{u}=(a;b)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$
Chú ý: Để xác định những điểm thuộc đường thẳng thì ta chỉ cần cho t một giá trị cụ thể. Với mỗi giá trị của t sẽ cho ta một điểm cố định thuộc đường thẳng đó.
Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
Để viết được phương trình đường thẳng d dạng tham số các bạn cần xác định được vectơ chỉ phương $vec{u}=(a;b)$ và một điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đường thẳng.
Bạn có quan tâm: Giải phương trình chứa căn bằng phương trình đường thẳng
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong phương trình tham số $left{begin{array}{ll}x=x_0+at\y=y_0+btend{array}right.$ của đường thẳng, nếu $aneq 0; bneq 0$ thì bằng cách khử tham số t từ hai phương trình trên, ta đi đến phương trình:
$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}$ $(aneq 0, bneq 0)$
Phương trình này gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng.
Trong trường hợp $a=0$ hoặc $b=0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
Ví dụ 4:
Giả sử đường thẳng d đi qua điểm $A(5;3)$ và nhận $vec{u}=(-2;4)$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó đường thẳng d sẽ có phương trình chính tắc là: $frac{x-5}{-2}=frac{y-3}{4}$
Ví dụ 5:
Viết phương trình đường thẳng $d$ dạng chính tắc biết $d$ đi qua điểm $A(2;0)$ và $B(2;3)$.
Giải:
Vì hai điểm $A, B$ đều thuộc đường thẳng $d$ nên $d$ nhận vectơ $vec{AB}(0;3)$ làm vectơ chỉ phương.
Khi đó ta có đường thẳng $d$ đi qua điểm $B(2;3)$ nhận vectơ $vec{AB}(0;3)$ làm chỉ phương sẽ có phương trình là: $frac{x-2}{0}=frac{y-3}{3}$.
Kết luận như trên có đúng không?
Nếu không chú ý thì các bạn sẽ kết luận phương trình trên là phương trình đường thẳng dạng chính tắc của $d$.
Thực chất thì không tồn tại phương trình trên vì vectơ chỉ phương $vec{AB}=(0;3)=(a;b)$ có $a=0$. Do đó không thỏa mãn điều kiện để tồn tại phương trình chính tắc.
4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Đường thẳng có phương trình $frac{x}{a}+frac{y}{b}=1$ $(aneq 0, bneq 0)$ đi qua hai điểm $A(a;0)$ và $B(0;b)$. Phương trình có dạng như vậy được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn luôn cắt 2 trục tọa độ tại hai điểm A và B và tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông tại O.
Bạn muốn xem: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn trong không gian
Ví dụ 6:
Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm $M(2;0)$ và điểm $N(0;5)$ thì đường thẳng d sẽ có phương trình là: $frac{x}{2}+frac{y}{5}=1$
5. Bài tập áp dụng
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC biết tọa độ đỉnh là $A(1;2)$; $B(3;2)$ và $C(2;-3)$
a. Viết phương trình đường thẳng trung trực của cạnh AB.
b. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C.
c. Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC.
d. Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt hai cạnh AB và AC.
Hướng dẫn giải:
Trong tất cả các ý của bài toán không yêu cầu cụ thể viết phương trình đường thẳng theo dạng nào: Tổng quát, tham số hay chính tắc. Do đó thuận lợi theo cách nào thì viết theo cách đó.
a. Viết phương trình đường thẳng trung trực của cạnh AB.
Gọi $d$ là đường trung trực của cạnh AB. Đường trung trực của cạnh AB đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với đoạn AB. Do đó $d$ sẽ nhận $vec{AB}(2;0)$ làm vectơ pháp tuyến.
Tọa độ trung điểm I của cạnh AB là: $I(2;2)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $2(x-2)+0(y-2)=0 Leftrightarrow x-2=0$
b. Viết phương trình đường trung tuyến đi qua đỉnh C
Gọi $d$ là đường trung tuyến đi qua C của tam giác ABC. Đường trung tuyến đi qua đỉnh C của tam giác ABC do đó nó sẽ đi qua trung điểm của cạnh AB. Như vậy $d$ sẽ đi qua hai điểm là I và C
Đường thẳng $d$ nhận $vec{CI}=(0;5)$ làm vectơ chỉ phương và đi qua $C(2;-3)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $left{begin{array}{ll}x=2+0.t\y=-3+5tend{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x=2\y=-3+5tend{array}right.tin Z$
Ở ý này các bạn có thể viết ở dạng phương trình chính tắc.
c. Viết phương trình đường cao ứng với cạnh BC.
Gọi $d$ là đường cao ứng với cạnh BC của tam giác ABC. Ta có $d$ sẽ vuông góc với BC và đi qua $A(1;2)$ do đó $d$ sẽ nhận $vec{BC}=(-1;-5)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường cao ứng với cạnh BC là:
$-1(x-1)-5(y-2)=0Leftrightarrow -x-5y+11=0$
d. Viết phương trình đường trung bình của tam giác ABC cắt hai cạnh AB và AC.
Đường trung bình của tam giác ABC sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh AB và AC. Trước tiên các bạn xác định tọa độ trung điểm của hai điểm này.
Trung điểm của cạnh AB là $I(2;2)$
Gọi P là trung điểm của cạnh AC $Rightarrow P(frac{3}{2};frac{-1}{2})$
Ta có vectơ $vec{IP}$ là: $vec{IP}(frac{-1}{2};frac{-5}{2})$
Đường trung bình IP của tam giác ABC có vectơ chỉ phương là: $vec{u}=-2vec{IP} =-2(frac{-1}{2};frac{-5}{2})=(1;5)$
Đường trung bình IP đi qua điểm $I(2;2)$ nhận $vec{u}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là:
$frac{x-2}{1}=frac{y-2}{5}$
Ở trên thầy lấy vectơ chỉ phương của đường thẳng IP như vậy là cho dễ tính và nó cũng gọn gàng hơn. Các bạn có thể lấy những vectơ chỉ phương khác miễn sao nó vẫn tỷ lệ với $vec{IP}$ là được.
Ngoài ra các bạn có thể viết phương trình đường trung bình trên bằng cách cho đi qua điểm I và nhận $vec{BC}$ làm vectơ chỉ phương. Như vậy sẽ nhanh hơn được một chút.
6. Lời kết
Đó là toàn bộ lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và bài tập áp dụng viết phương trình đường thẳng. Vì bài viết này khá dài rồi, đọc xong chắc các bạn cũng chán luôn, nên thầy chỉ đưa ra vài ví dụ và bài tập như vậy thôi. Nhưng viết ngắn hơn thì không chịu được mà cũng chẳng muốn bỏ phần nào nên hẹn gặp lại các bạn trong phần bài tập tiếp theo. Thầy sẽ trình bày theo từng dạng cụ thể ở những bài giảng sau để các bạn tiện theo dõi.
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
Bạn đang đọc nội dung bài viết Cách Tìm Hình Chiếu Của Một Điểm Lên Đường Thẳng, Mặt Phẳng Cực Hay trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!