Cập nhật nội dung chi tiết về Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2 mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2 trong trường hợp đặc biệt.
Có nhiều dạng toán trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán cần phải biết phương pháp giải phương trình bậc 2 thì mới làm được.
Định nghĩa phương trình bậc 2
Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0. Với
x là ẩn số
a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).
Phương pháp giải phương trình bậc 2
Giải phương trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta (Δ)
Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:
Nếu phương trình bậc 2 có:
Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:
Nếu phương trình có dạng x 2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.
Nếu phương trình có dạng x 2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và -v.
Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.
Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.
Tóm lại:
x 2 – 5x + 6 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.
x 2 – 7x + 10 = 0 Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.
Ví dụ phương trình:
Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.
Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.
Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.
Nếu u ≠ 0 và v = 1/ u thì phương trình (1) có dạng:
Các Dạng Toán Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn, Cách Giải Và Tính Nhẩm Nghiệm Nhanh
Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu cách giải phương trình bậc 2 một ẩn, cách tính nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức Vi-et, đồng thời giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn để thông qua bài tập các em sẽ nắm vững nội dung lý thuyết.
– Nếu a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x=(-b/a)
– Nếu a = 0, b ≠ 0, phương trình vô nghiệm
– Nếu a = 0, b = 0, phương trình có vô số nghiệm
+) Δ < 0: PT vô nghiệm.
+) Δ’ < 0: PT vô nghiệm.
– Gọi x 1 và x 2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax 2 + bx + c = 0 (a≠0):
– Ta có thể sử dụng định lý Vi-et để tính các biểu thức của x 1 , x 2 theo a,b,c:
– Cho 2 số x, y, biết x + y = S và x.y = P thì x, y là nghiệm của phương trình: X 2 – SX + P = 0
– Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
– Chuyển hạng tử tự do sang vế phải
– Chia cả 2 vế cho hệ số bậc 2, đưa về dạng x 2 = a.
+ Nếu a = 0, phương trình có nghiệm x = 0
+ Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm
– Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải
– Sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với 1 số phương trình đặc biệt.
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=±√2.
⇔ x = 0 hoặc x + 4 =0
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=0 và x=-4.
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.
– PT đã cho: x 2 – 5x + 4 = 0 có các hệ số a=1; b=-5; c=4 và ta thấy: a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0 nên theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x 1 = 1; x 2 = c/a = 4/1 = 4
⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.
♦ Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường, không cần giải theo công thức, ví dụ: x 2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1) 2 = 0 ⇔ x = 1.
♦ Phải sắp xếp lại đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax 2 + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức, ví dụ: x(x – 5) = 6 ⇔ x 2 – 5x = 6 ⇔ x 2 – 5x – 6 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp,…
♦ Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,… tùy vào cách ta chọnbiến, ví dụ: a 2 – 3a + 2 = 0; t 2 – 6t + 5 = 0.
Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng phương pháp đặt ẩn phụ
– Tìm điều kiện xác định của phương trình
– Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu
– Giải phương trình vừa nhận được
– Kiểm tra điều kiện các giá trị tìm được, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện, các giá trị thoả điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
– Ta thấy a + b + c = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = 2 (đều thoả ĐK t ≥ 0)
⇒ Kết luận: Phương tình có nghiệm (-√2; -1; 1; √2)
– Quy đồng khử mẫu, PT (*) ta được:
– Cả 2 nghiệm trên đều thoả ĐK x ≠ 3; x ≠ 2;
– Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải,
+ Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép
+ Nếu Δ < 0: phương trình vô nghiệm
Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx 2 – 5x – m – 5 = 0 (*)
– Trường hợp m = 0 thì (*) trở thành: -5x – 5 = 0 ⇒ x = -1
– Trường hợp m ≠ 0, ta có:
– Ta thấy: Δ = (2m+5) 2 ≥ 0, ∀ m nên PT(*) sẽ luôn có nghiệm
– Với điều kiện về nghiệm số của đề bài giải tìm m
– Bảng xét dấu nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0
chúng tôi nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
a) Giải phương trình với m = -2.
* Phương pháp: Vận dụng linh hoạt theo yêu cầu bài toán để lập phương trình và giải
Ví dụ: Trong lúc học nhóm Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số, sao cho 2 số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 bạn Minh và Lan phải chọn nhưng số nào?
– Gọi số bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5
– Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 nên ta có: x(x+5) = 150
– Vậy có 2 cặp số thỏa là: (10; 15) và (-15; -10)
Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2: Dùng công thức nghiệm giải các phương trình sau
– Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp tính nhẩm nghiệm
Bài 3: Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình x 2 – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 4: Gọi x 1 và x 2 là nghiệm của phương trình 3x 2 + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 5: Cho phương trình (2m-1)x 2 – 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0)
Bài 6: Cho phương trình có ẩn x: x 2 – mx + m – 1 = 0 (m là tham số).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và của m tương ứng
Công Thức Nghiệm Và Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Cần Biết
({displaystyle ax^{2}+bx+c=0})
với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao cho a khác 0. Các số a, b, và c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay số hạng tự do.
II. Giải phương trình bậc 2
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến thường được sử dụng trong chương trình giáo dục là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị.
1. Phương pháp công thức nhân tử hóa
Đây là phương pháp phân tích một phương trình bậc hai về dạng tích của các nhân tử. Một khi biểu thức bậc hai đã được phân tích thành nhân tử, bạn có thể tìm được đáp án khả thi cho giá trị của x bằng cách cho từng nhân tử bằng không và giải. Vì đang cần tìm giá trị của x sao cho phương trình bằng không, bất kỳ x nào khiến một nhân tử bằng không cũng sẽ là nghiệm khả thi của phương trình đó.
Ví dụ: Giải phương trình sau (x^2 + 5x + 6 = 0) bằng phương pháp nhân tử chung?
(x^2 + 5x + 6 = 0)
(leftrightarrow (x+3)(x-2)=0)
(leftrightarrowleft[begin{array}{l} x+3=0 \ x-2=0 \ end{array}right.)
(leftrightarrowleft[begin{array}{l} x=-3 \ x=2 \ end{array}right.)
Vậy nghiệm của phương trình bậc 2 là x = -3 hoặc x = 2
2. Phương pháp phần bù bình phương
Trong đại số sơ cấp, phần bù bình phương là phương thức chuyển đổi một đa thức bậc hai theo dạng ({displaystyle ax^{2}+bx+c,!}) thành dạng:
({displaystyle a(x-h)^{2}+k,})
Theo nghĩa này, “hằng số k” không phụ thuộc vào x. Biểu thức bên trong dấu ngoặc đơn có dạng (x − k). Do đó, ta có thể chuyển đổi ({displaystyle ax^{2}+bx+c,!}) thành ({displaystyle a(x-h)^{2}+k,}) và ta phải tìm h và k.
Ví dụ: Giải phương trình (2x^2 + 4x – 4 = 0) bằng phương pháp phần bù bình phương?
({displaystyle Leftrightarrow x^{2}+2x=2})
({displaystyle Leftrightarrow x^{2}+2x+1=2+1})
({displaystyle Leftrightarrow left(x+1right)^{2}=3})
({displaystyle Leftrightarrow x+1=pm {sqrt {3}}})
({displaystyle Leftrightarrow x=-1pm {sqrt {3}}})
3. Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc 2
Đối với phương trình (ax^2+bx+c=0(aneq 0)) và biệt thức (Δ=b^2−4ac):
Công thức nghiệm của phương trinh bậc hai:
(x1= dfrac{-b+sqrt{Delta}}{2}) và (x2= dfrac{-b-sqrt{Delta}}{2})
+) Nếu Δ=0 thì phương trình có nghiệm kép (x1=x2=-dfrac{b}{2a})
+) Nếu Δ<0 thì phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình bậc 2 sau: (2x^2-7x+3=0)
(2x^2-7x+3=0)
Ta có: a=2, b=-7, c=3
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
(x_1=dfrac{-(-7)-sqrt{25}}{2.2}=dfrac{7-5}{4}=dfrac{1}{2})
(x_2=dfrac{-(-7)+sqrt{25}}{2.2}=dfrac{7+5}{4}=dfrac{12}{4}=3)
4. Phương pháp đồ thị
Phương pháp giải:Ta biết rằng hàm số: (y = ax^2 + bx + c), với a ≠ 0 được gọi là Parabol (P), có đồ thị:
Số nghiệm của phương trình (ax^2 + bx + c = 0) chính bằng số giao điểm của đồ thị parabol (y = ax^2 + bx + c) với trục hoành.Để biện luận theo tham số m, số nghiệm của phương trình: (ax^2 + bx + c = m)ta xét vị trí tương đối của đường thẳng (d): y = m với Parabol (P): (y = ax^2 + bx + c)Để giải một phương trình bằng phương pháp đồ thị ta thực hiện tuần tự theo các bước sau đây:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu về dạng: (ax^2 + bx + c = g(m))
Bước 2: Vẽ (P): (y = ax^2 + bx + c)
Bước 3: Khi đó, số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng (d): y = g(m) với Parabol (P): (y = ax^2 + bx + c).
Bước 4: Bằng việc dịch chuyển đường thẳng (d) song song với Ox ta sẽ nhận được kết luận tương ứng.
Bước 5: Kết luận.
Chú ý: Phương pháp này tỏ ra đặc biệt hiệu quả với yêu cầu về nghiệm thuộc (α; β) cho trước.
III. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương trình trùng phương: (ax^4 + bx^2 + c = 0), (a ≠ 0) (*)
Phương pháp: đặt (t = x^2 ≥ 0) thì (*) (⇔ at^2 + bt + c = 0)
(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0) với (dfrac{e}{a} =dfrac{d}{b}^2 ne 0)
Phương pháp: Chia hai vế cho (x^2 ne 0), rồi đặt (t = x + dfrac{a}{x} ⇒ t^2 = (x + dfrac{a}{x})^2) với (a = dfrac{d}{b})
((x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex^2) với (a.b = c.d)
Phương pháp giải: Đặt ( t = x^2 + ab + dfrac{a+b+c+d}{2}x) thì phương trình
(⇔ (t + dfrac{a+b-c-d}{2}x)(t – dfrac{a+b-c-d}{2}x) = ex^2) (có dạng đẳng cấp)
Phương pháp giải: Đặt (x = t-dfrac{a+b}{2} ⇒ (t + a)^4 + (t – a)^4 = c) với (a = dfrac{a-b}{2})
IV. Giải bất phương trình bậc 2
Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng:
Đặt (Δ = b^2 – 4ac). Ta có các trường hợp sau:
1. Nếu Δ < 0 và:
a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ({displaystyle varnothing }).
2. Nếu Δ = 0 và:
a < 0 thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ({displaystyle varnothing }.)
({displaystyle x_{1}={frac {-b-{sqrt {Delta }}}{2a}};quad quad x_{2}={frac {-b+{sqrt {Delta }}}{2a}}})
Khi đó:
Nếu a < 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là: ({displaystyle (x_{1};x_{2}),})
Giải Phương Trình, Bất Pt Bậc Cao
Trong chương trình Đại số, phương trình và bất phương trình là một nội dung quan trọng, phổ biến trên nhiều dạng toán xuyên suốt các cấp học, cũng là bộ phận thường thấy trong các kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán các cấp và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức hết sức phong phú, đa dạng. Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thống nhưng không vì thế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản tăng dần đến mức khó thậm chí rất khó, với các biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ năng vẫn làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT.
Vì thế về tinh thần, nó vẫn được đông đảo các bạn học sinh, các thầy cô giáo và các chuyên gia Toán phổ thông quan tâm sâu sắc. Sự đa dạng về hình thức của lớp bài toán căn này đặt ra yêu cầu cấp thiết là làm thế nào để đơn giản hóa, thực tế các phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực đã hình thành, đi vào hệ thống. Về cơ bản để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình này chúng ta ưu tiên hạ hoặc giảm bậc của bài toán gốc, cố gắng đưa về các dạng bậc hai, bậc nhất hoặc các dạng đặc thù (đã được khái quát trước đó). Trong chuyên đề này, chuyên đề đầu tiên của lớp phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tác giả chủ yếu đề cập tới các bài toán từ mức độ đơn giản nhất tới phức tạp nhất, dành cho các bạn học sinh bước đầu làm quen, tuy nhiên vẫn đòi hỏi tư duy logic, tỉ mỉ và chính xác. Tài liệu nhỏ được viết theo trình tự kiến thức tăng dần, không đề cập giải phương trình bậc hai, đi sâu giải phương trình bậc ba (dạng đặc biệt với nghiệm hữu tỷ và phân tích hằng đẳng thức), dạng toán trùng phương (bậc 4) và mở rộng với bậc chẵn, các phép đặt ẩn phụ cơ bản và phép đặt hai ẩn phụ quy về đồng bậc, phạm vi kiến thức phù hợp với các bạn học sinh THCS (lớp 8, lớp 9) ôn thi vào lớp 10 THPT, các bạn học sinh THPT thi học sinh giỏi Toán các cấp và luyện thi vào hệ đại học, cao đẳng, cao hơn là tài liệu tham khảo dành cho các thầy cô giáo và các bạn yêu Toán khác.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Và Tính Nhẩm Nghiệm Pt Bậc 2 trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!