Cập nhật nội dung chi tiết về Các Dạng Bài Tập Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln), Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Hàm Số Và Cách Giải / 2023 mới nhất trên website Techcombanktower.com. Hy vọng thông tin trong bài viết sẽ đáp ứng được nhu cầu ngoài mong đợi của bạn, chúng tôi sẽ làm việc thường xuyên để cập nhật nội dung mới nhằm giúp bạn nhận được thông tin nhanh chóng và chính xác nhất.
* Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D ⊂ R.
– Nếu tồn tại một điểm x 0 ∈ X sao cho f(x) ≤ f(x 0) với mọi x ∈ X thì số M = f(x 0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên X.
– Nếu tồn tại một điểm x 0 ∈ X sao cho f(x) ≥ f(x 0) với mọi x ∈ X thì số m = f(x 0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên X.
II. Các dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của hàm số và cách giải
° Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị của nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
– Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì cahcs tìm GTLN và GTNN của f(x) trên [a;b] như sau:
– Bước 1: Tính f'(x), giải phương trình f'(x) = 0 ta được các điểm cực trị x 1; x 2;… ∈ [a;b].
– Bước 3: Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]; Số nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [a;b].
* Chú ý: Khi bài toán không chỉ rõ tập X thì ta hiểu tập X chính là tập xác định D của hàm số.
a) y = x 3 – 3x 2 – 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
b) y = x 4 – 3x 2 + 2 trên các đoạn [0; 3] và [2; 5]
– Để ý bài toán trên gồm 2 hàm vô tỉ, một hàm hữu tỉ và 1 hàm có chứa căn. Chúng ta sẽ tìm GTLN và GTNN của các hàm này.
a) y = x 3 – 3x 2 – 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0; 5]
+) Xét hàm số trên tập D = [-4; 4]
– Ta có: y’ = 3x 2 – 6x – 9 = 0 ⇔ x = -1 (∈ D) hoặc x = 3 (∈ D) nên:
+) Xét hàm số trên tập D = [0; 5]
– Ta có: y’ = 3x 2 – 6x – 9 = 0 ⇔ x = -1 (∉ D) hoặc x = 3 (∈ D) nên:
y(0) = 35; y(3) = 8; y(5) = 40.
+) Với D = [2; 4] có: y(2) = 0; y(4) = 2/3
+) Với D = [-3; -2] có: y(-3) = 5/4; y(-2) = 4/3
* Ví dụ 3 (Câu d Bài 1 trang 23-24 SGK Giải tích 12): Tìm GTLN và GTNN của hàm số chứa căn:
– Xét tập D = [-1;1] có:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác: f(x) = 2cos 2 x + 2cosx – 1
– Ở đây ta thấy hàm cosx có dạng pt bậc 2 nên dùng phương pháp đặt ẩn phụ như sau:
– Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1], ta có:
g(t) = 2t 2 + 2t – 1 với t ∈ [-1; 1].
– Vậy hàm số g(t) đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi:
– Từ công thức có cos2x = 1 – 2sin 2 x, ta có:
f(x) = 1 – 2sin 2x + 2sinx – 3 = -2sin 2 x + 2sinx – 2
– Ta có: g(t) = -2t 2 + 2t – 2
° Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị của nhất của hàm số trên khoảng (a;b).
* Để tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng (không phải đoạn, tức X ≠ [a;b]), ta thực hiện các bước sau:
– Bước 1: Tìm tập xác định D và tập X
– Bước 2: Tính y’ và giải phương trình y’ = 0.
– Bước 3: Tìm các giới hạn khi x dần tới các điểm đầu khoảng của X.
– Bước 4: Lập bảng biến thiên (BBT) của hàm số trên tập X
– Bước 5: Dựa vào BBT suy ra GTLN, GTNN của hàm số trên X.
– Ta có: D = (0; +∞)
– Ta thấy x = -2 ∉ (0; +∞) nên loại, mặt khác:
– Ta có bảng biến thiên:
– TXĐ: R{1}
– Ta thấy x = 0 ∉ (1; +∞) nên loại, mặt khác:
– Ta có bảng biến thiên sau:
Như vậy, các em để ý để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ta có thể sử một trong hai phương pháp là lập bảng biến thiên hoặc không lập bảng biến thiên. Tùy vào mỗi bài toán mà chúng ta lựa chọn phương pháp phù hợp để giải.
Thực tế thì với bài toán tìm GTLN, GTNN trên đoạn chúng ta thường ít khi sử dụng pp lập bảng biến thiên. Lập bảng biến thiên thường sử dụng cho bài toán tìm GTLN và GTNN trên khoảng.
Ngoài ra, bài toán về GTLN và GTNN còn được vận dụng để biện luận nghiệm của phương trình (hoặc bất phương) trình dạng f(x) = g(m) (hay f(x) < g(m)) mà HayHocHoi sẽ giới thiệu với các em ở chuyên đề sau.
Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Lượng Giác / 2023
Với các bạn học sinh trung bình thì “Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số lượng giác” ở đầu năm lớp 11 cũng là không dễ dàng. Nguyên nhân phổ biến là do các bạn không nắm vững kiến thức cơ bản và kĩ năng tư duy giải dạng toán này. Qua việc phân tích cách giải một bài tập đơn giản có trong SGK, bài viết cố gắng làm lộ ra những kiến thức và cách thức tư duy cơ bản thường dùng để giải các bài tập cùng loại.
1. Bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Chúng ta lấy “Bài 8, SGK Đại số và Giải tích 11, trang 18” làm ví dụ. Đề bài như sau:
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a)
b)
Một bài toán quá dễ phải không? Tuy nhiên, như mình đã nói ở trên, cái mình quan tâm không phải là nó dễ hay khó, mà là “Đường lối suy nghĩ” và những kiến thức cơ bản cần dùng để giải nó. Chúng rất đáng được quan tâm vì chúng là tối thiểu và còn được dùng nhiều sau này.
Chúng ta bắt đầu với câu a.
a) Thêm càng nhiều, tổng càng lớn 🙂
Phân tích
* Bài toán không chỉ rõ tìm GTLN của hàm số trên tập nào nên ta sẽ tìm trên tập xác định của hàm số. Điều kiện xác định là
* Nhận xét, biểu thức của hàm số là tổng của một số không đổi với nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào và nếu càng lớn thì tổng này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, tổng này sẽ lớn nhất khi lớn nhất. Giờ chúng ta chỉ cần tìm GTLN của là xong.
* Mà và khi nên lớn nhất là bằng 1. Đối chiếu với điều kiện thì giá trị thỏa mãn.
* Từ đó suy ra hàm số đạt GTLN bằng
Giải
* Điều kiện xác định:
* Ta có:
dấu “=” xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện)
* Do đó, hàm số đã cho có GTLN bằng 3 khi
Ok, xong câu a. Bạn có thấy lời giải khá đơn giản và tự nhiên không? Bạn có nhận ra chúng ta đã sử dụng những kiến thức cơ bản nào không? Nếu vẫn chưa thấy gì thì phải tiếp tục với câu b thôi 😀
b) Bớt càng ít, hiệu càng to 🙂
Phân tích
* Hàm số xác định với mọi Kiểu như khi hết duyên ấy: “Bắt được” anh nào thì “lấy luôn” anh đấy, khỏi cần “check in” nên bất cứ giá trị nào làm hàm số đạt GTLN thì đều là thỏa mãn mà không cần đối chiều điều kiện như câu a.
* Quan sát biểu thức của hàm số một chút, biểu thức của hàm số này có khác so với câu a. Nếu câu a là tổng của 2 số hạng thì câu này là hiệu của hai số hạng.
* Nhưng do là hiệu của một số không đổi với nên giá trị của hàm số chỉ phụ thuộc vào giá trị của và nếu càng nhỏ thì hiệu này sẽ càng lớn. Từ đó suy ra, hiệu này sẽ lớn nhất khi là nhỏ nhất. Kiểu như, bố mẹ chỉ cho 3$ để đi học cả tuần nên nếu tiêu càng ít thì tiền dư càng nhiều. Chả tiêu gì thì tiền dư là lớn nhất 😀 Giờ ta chỉ cần tìm GTNN của là xong!
* Mà và khi nên nhỏ nhất là bằng .
* Từ đó suy ra hàm số đạt GTLN bằng
Giải
* Tập xác định:
* Với mọi , ta luôn có
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
* Do đó hàm số đã cho có GTLN bằng 5 khi
* Thực chất đây không phải là bài toán mới, mà chỉ là một trường hợp của dạng tổng quát – các bạn đã từng gặp ở lớp dưới. Đó là,
Cho là số không đổi thì tổng lớn nhất khi lớn nhất và hiệu lớn nhất khi nhỏ nhất.
Nếu trước đây bạn thường giải bài toán này với
là một hàm bậc hai, chứa căn,… thì giờ nó là một hàm lượng giác.
* Ở câu a, ngoài cách giải trên bạn còn có thể giải theo cách sau từ đó suy ra ,… Tương tự, bạn cũng có thể giải câu b theo cách này.
* Biểu thức của các hàm số trên đều chỉ chứa hoặc hoặc , vậy nếu biểu thức của hàm số mà chứa đồng thời cả lẫn thì chúng ta sẽ làm như thế nào? Chẳng hạn như, tìm GTLN của hàm số hay ,…
Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Một Biểu Thức / 2023
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức lớp 8
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
1. Khái niệm
– Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
2. Phương pháp
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh
+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:
+ Chứng minh
+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A
B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
I. Dạng 1: Tam thức bậc hai
Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.
Tổng quát:
Ví dụ 1:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của
b, Tìm giá trị lớn nhất của
Lời giải:
a,
min A = -7 khi và chỉ khi x = 2
b,
max
Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai
b, Tìm max P nếu a < 0
Lời giải:
Ta có
Đặt
b, Nếu a < 0 thì
a,
b,
c,
d,
e,
f,
II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:
Cách 1: Dựa vào tính chất
Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a.
b.
Lời giải:
a,
Đặt
min A = 1
b,
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
Ta có
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải:
Ta có (1)
Và (2)
Vậy
Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi
Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi
Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi
III. Dạng 3: Đa thức bậc cao
Dạng phân thức
Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
Các phân thức có dạng khác
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a.
b.
c.
Lời giải:
a,
Đặt
Min
b,
c,
Ta có
thì
Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3
Bài tập vận dụng Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a,
b,
c,
d,
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
………………………………
Các Dạng Bài Tập Giá Trị Tuyệt Đối Và Cách Giải / 2023
Vậy làm sao để giải các dạng bài tập giá trị tuyệt đối chính xác? Chắc chắn chúng ta phải rèn kỹ năng giải toán bằng cách làm thật nhiều bài tập dạng này. Bài viết này chúng ta cùng ôn lại các dạng toán giá trị tuyệt đối ở chương trình toán lớp 7.
I. Kiến thức về Giá trị tuyệt đối cần nhớ
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. Tức là:
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. Tức là:
* Trong hai số âm, số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn:
* Trong hai số dương, số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn:
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối:
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối:
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó:
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu:
II. Các dạng Bài tập Giá trị tuyệt đối
⇒ A = (x – 3,5) + (4,5 – x) = 1
⇒ B = (x – 3,5) + (4,5 – x) = 1.
– Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức (trị tuyệt đối của mọi số đều không âm).
– Kết luận: Có 2 giá trị của x thỏa điều kiện là x = 1 hoặc x = 3/4.
– Vậy có 2 giá trị x thỏa yêu cầu bài toán là x = 4 hoặc x = -0,6.
– Kết luận: Vậy x = -5/12 hoặc x = -13/12 thỏa.
– Vậy x = 2 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán
– Vậy x = 1 và x = 0 thỏa điều kiện bài toán.
1- Điều kiện B(x)≥0
3- Tìm x rồi đối chiếu x với điều kiện B(x)≥0 rồi kết luận.
– TH1: Nếu A(x)≥0 thì (*) trở thành A(x) = B(x) (sau khi tìm được x đối chiếu x với điều kiện A(x)≥0)
– TH2: Nếu A(x)<0 thì (*) trở thành -A(x) = B(x) (sau khi tìm được x đối chiếu x với điều kiện A(x)<0)
– Đối chiếu với điều kiện x≤5/2 thì chỉ có x=2 thỏa, x = 8/3 loại
– Kết luận: Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
¤ TH1: (x – 3) ≥ 0 ⇒ x ≥ 3. Ta có:
(*) trở thành (x – 3) = 5 – 2x ⇒ 3x = 8 ⇒ x = 8/3
Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 8/3 < 3 nên loại.
¤ TH2: (x – 3) < 0 ⇒ x < 3. Ta có:
(*) trở thành -(x – 3) = 5 – 2x ⇒ -x + 3 = 5 – 2x ⇒ x = 2
Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 2 < 3 nên nhận.
– Kết luận: Vậy x = 2 là giá trị cần tìm.
* Nhận xét: Ở dạng này thường giải theo cách 1 bài toán gọn hơn, các em lưu ý đối chiếu lại giá trị x tìm được với điều kiện.
III. Một số bài tập về giá trị tuyệt đối
– Vận dụng phương pháp giải các dạng toán trị tuyệt đối ở trên các em hãy làm các bài tập sau:
* Bài 1: Rút gọn biểu thức với x < -1,5
* Bài 2: Rút gọn biểu thức sau
Đến đây có lẽ các em đã nắm được cơ bản tính chất của trị tuyệt đối cách vận dụng giải một số bài toán tìm x trong bài toán có dấu trị tuyệt đối.
Thực tế còn khá nhiều bài toán dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và các bài toán hỗn hợp khác mà có thể HayHocHoi sẽ cập nhật sau.
Bạn đang đọc nội dung bài viết Các Dạng Bài Tập Tìm Giá Trị Lớn Nhất (Gtln), Giá Trị Nhỏ Nhất (Gtnn) Của Hàm Số Và Cách Giải / 2023 trên website Techcombanktower.com. Hy vọng một phần nào đó những thông tin mà chúng tôi đã cung cấp là rất hữu ích với bạn. Nếu nội dung bài viết hay, ý nghĩa bạn hãy chia sẻ với bạn bè của mình và luôn theo dõi, ủng hộ chúng tôi để cập nhật những thông tin mới nhất. Chúc bạn một ngày tốt lành!